Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.. Chứng tỏ rằng H là trực tâm của tam giác ABC.. Tính số đo góc A của tam giác ABC... Chứng tỏ rằng H là trực tâm của tam giác ABC.. Tín
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 09/01/2013
Câu 1 (3,0 điểm)
a (1,5 điểm) Cho x 1 = + 3 2 + 3 4,
Chứng minh rằng: P x = 3 − 3x 2 − 3x 3 + là một số chính phương
b (1,5 điểm):
1 Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng p =
6m± 1, với m là số tự nhiên
2 Tìm số nguyên tố p sao cho 8p2 + 1 là số nguyên tố
Câu 2 (3,0 điểm):
Cho biểu thức: P x 22 ( 1)(x 2 2 )
+
a Rút gọn P
b Tính P khi x= + 3 2 2
c Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
Câu 3 (6,0 điểm):
a) (2,0 điểm) Giải phương trình:
10
− ÷ + ÷
b) (2,0 điểm) Cho trước số hữu tỉ m sao cho 3 mlà số vô tỉ Tìm các số hữu tỉ
a, b, c để: a m 3 2 + b m c 0 3 + =
c) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
2 3
1 4
x
y
+ + + =
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O ; R), trên đó lấy một điểm cố định A và vẽ đường tròn (A ; R) Lấy điểm H di động trên (A ; R), cát tuyến của (O) đi qua A và H cắt (O) tại điểm thứ hai K Dựng trung trực của đoạn HK cắt (O) tại B và C
1 Chứng tỏ rằng H là trực tâm của tam giác ABC
2 Tính số đo góc A của tam giác ABC
Câu 5 (2,0 điểm): Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng:
a b c 2
b c + c a + a b >
- Hết
Trang 2-PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013 Câu I (3,0 điểm)
a (1,5 điểm) Cho x 1= + 3 2+ 3 4, Chứng minh rằng: P x= 3−3x2 −3x 3+ là một
số chính phương
( ) (2 ) ( )3
3 3
1
x 1 2 4
−
0,75 đ
x 2 1 1 2.x x 1 2.x x 1
3 2.x x 1
2x x 3x 3x 1 P x 3x 3x 3 4 2
Vậy P là số chính phương
0,75 đ
b (1,5 điểm): 1 Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết được
dưới dạng p = 6m± 1, với m là số tự nhiên
2 Tìm số nguyên tố p sao cho 8p2 + 1 là số nguyên tố
- Mọi p nguyên tố lớn hơn 3, p không chia hết cho 2 và 3 nên
≠
+
≠
+
≠
m p
m p
m p
6
2 6
3 6
, từ
đó
+
=
+
=
1 6
5 6
m
p
m
p
hay p =6m± 1
- Xét p>3 thay p =6m± 1 vào biểu thức A=8p2 + 1 thấy 3 < A 3 (loại)
thay trực tiếp p =3, A=73 (nhận)
p=2, A=33 (loại)
0,75
0,75
2 Câu 2 (3,0 điểm):
Cho biểu thức: P x 22 ( 1)(x 2 2 )
+
d Rút gọn P
e Tính P khi x= + 3 2 2
f Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
a
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)
P
+
1,0
b
2
3 2 2 2 2 2 1 ( 2 1) 2 1
( 1) 2 1 1 2 2
1 2
x
P
x
1,0
c
ĐK: x> 0;x≠ 1:
1
P
1,0
Trang 3Câu 3 (6,0 điểm): Đại số
a) (2,0 điểm) Giải phương trình:
10
− ÷ + ÷
1)
2,0đ
Đk: x≠ ± 1. Phương trình tương đương với
2
Đặt
2 2
2 , 1
x t x
=
− ta được phương trình
0
t − −t = ⇔ =t hoặc 2
3
t = −
Với 5,
3
t = ta được
2 2
1 3
x
− (vô nghiệm) Với 2,
3
t = − ta được
2 2
1 3
x
x = −
− suy ra
1 2
x= ±
b) (2,0 điểm) Cho trước số hữu tỉ m sao cho 3 mlà số vô tỉ Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: a m 3 2 + b m c 0 3 + =
3 2 3
a m + b m c 0 + = (1)
Giả sử có (1) ⇒ b m 3 2 + c m am 0 (2) 3 + =
Từ (1), (2) ⇒ (b ac) m (a m bc) 2 − 3 = 2 −
0.5
Nếu a m bc 0 2 − ≠
2 3
2
a m bc m
b ac
−
− là số hữu tỉ Trái với giả thiết!
b ac 0 b abc
a m bc 0 bc am
b a m b a m
⇒ = ⇒ = Nếu b≠0 thì3 b
m a
= là số hữu tỉ Trái với giả thiết!
a 0;b 0
Ngược lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng Vậy: a = b = c = 0 0.5
b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
2 3
1 4
x
y
+ + + =
+ + + =
2)
2,0đ
Đk: y≠ 0. Hệ tương đương với
2 2
3 3
4
4.
x
+ + + =
+ + + ÷=
Đặt
1
,
y x v y
= +
=
ta được hệ
1.
v
Trang 4Với 2
1,
u v
=
=
ta được
1 2
1 1.
1
x
x y
y
+ =
=
(thoả mãn điều kiện)
4 Câu 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O ; R), trên đó lấy một điểm cố định A và vẽ đường tròn (A ; R) Lấy điểm H di động trên (A ; R), cát tuyến của (O) đi qua A và H cắt (O) tại điểm thứ hai K Dựng trung trực của đoạn HK cắt (O) tại B và C
3 Chứng tỏ rằng H là trực tâm của tam giác ABC
4 Tính số đo góc A của tam giác ABC
(6,0 điểm)
4.1
(2
đ)
+ Ta có: Hai tam giác BHC và BKC đối xứng với nhau qua BC, nên chúng bằng nhau, suy ra:
Vẽ tia CH cắt AB tại E và tia BH cắt AC tại D
Ta có: BAK· = ·BCK (góc nội tiếp cùng chắn cung »BK ) và BCH· =BCK· (CI là đường cao của tam giác cân HCK, vừa là phân giác góc C)
Suy ra: BAK· = ·BCE
90
90
Do đó: · 0
90
BEC= , nên CE là đường cao thứ hai của tam giác ABC
H là giao điểm của hai đường cao AI và CE của tam giác ABC, vậy H là
trực tâm của tam giác ABC
0,25
0,25
0,5 0,5 0,5
4.2
(4
đ)
(2
đ)
+ Trường hợp H ở trong đường tròn (O):
Kẻ đường kính FG của (O) vuông góc với dây BC tại M, thì M là trung
điểm của BC
Trong đường tròn (O) hai dây AK và FG song song nên chắn hai cung
» »
KF =AG⇒KF =AG (1)
Tứ giác OHAG có OG // = AH = R nên OHAG là hình bình hành, suy
ra: AG = OH (2)
Từ (1) và (2) suy ra KF = HO, nên HKFO là hình thang cân
Mà BC là trung trực của HK nên cũng là trung trực của OF, nên
OC
60 2
BC)
0,25
0,25 0,25 0,25 0,5 0,5
+ Trường hợp H ở ngoài (O) nhưng vẫn ở trên
nửa đường tròn (A)chứa điểm O, đường kính
PQ là tiếp tuyến của (O) tại A
Khi đó tam giác ABC có 2 góc nhọn và một góc tù (góc C tù chẳng hạn)
0,25
Trang 5đ) nhau qua BI), ·IBK CAK= · (góc nội tiếp cùng chắn cung KC), nên
· · 90 0
giác ABC
Chứng minh tương tự trên, ta có M là trung điểm của OF và BAC· = 60 0
0,25 0,5
(1
đ)
+ Trường hợp H ở trên nửa đường tròn (A)
đường kính PQ và không chứa O:
Khi đó A là góc tù Ta cũng chứng minh tương
tự H là trực tâm tam giác ABC và M là trung điểm của bán kính OF
Suy ra ·MOC= 60 0 ⇒ ·BOC= 120 0
Mà BFC BOC· = · = 120 0 (2 góc đối xứng nhau qua BC)
Nhưng BAC BFC· = · (góc nội tiếp cùng chắn cung BKC
120
0,25 0,25 0,25
0,25
Câu 5 (2,0 điểm): Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng:
b c + c a + a b >
Bài 5
(2,5đ) Áp dung Côsi :
1
2
b c b c
Suy ra : a 2a
+ + + ( dấu " = " khi a = b + c) Tương tự : a b c ≥a 2b b c
+ + + ( dấu " = " khi b = c + a)
a c b ≥a 2b c c
+ + + ( dấu " = " khi c = a + b) Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên , ta được :
2
b c + c a + a b ≥
dấu " =" không xảy ra ⇒ a b c
2
b c + c a + a b >
0,5
0,5 0,25 0,25 0,5 0,5