KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCSMÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: a.. Câu 4: Cho hình vuông ABCD tâm O.. Gọi K, N lần lượt là trung điểm của
Trang 1KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1:
a Cho a, b > 0, c ≠ 0 Chứng minh rằng: 1 1 1 0 a b a c b c
ab c
b Giải hệ phương trình: 2 2
1
Câu 2:
a Cho p ≥ 5 là số nguyên tố sao cho 2p + 1 cũng là số nguyên tố Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6 và 2p² + 1 không phải là số nguyên tố
b Giải phương trình nguyên: x³ = y³ + xy + 8
Câu 3:
a Tìm tất cả các số nguyên n để bất đẳng thức: (n² – 1)x < – 3n³ – 4n² +
n + 2 đúng với mọi số nguyên dương x
b Cho x, y, z là các số thực không âm và x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của P = xy + yz + zx
Câu 4: Cho hình vuông ABCD tâm O Gọi K, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và F là trung điểm của NC Từ A kẻ đường thẳng song song với KF cắt CD tại G Chứng minh FG là tiếp tuyến của đường tròn tâm
O nội tiếp trong hình vuông
Trang 2Câu 5: Giải phương trình:
x
Trang 3KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1:
a Chứng minh nếu b là số nguyên tố lớn hơn 3 và 10b + 1 cũng là số nguyên tố thì 5b + 1 chia hết cho 6
b Tìm nghiệm nguyên của phương trình x² + x + 13 = y²
Bài 2: Cho xyz = 1, chứng minh rằng: 1 1 1 1
1 x xy 1 y yz 1 z xz
Bài 3: Rút gọn biểu thức: ( 2x 1 x 1 2x2 2).1 x2
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 13 x 2 x 4 9 x 2 x 4 với 0 ≤ x
≤ 1
Bài 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh 1 đơn vị Trên cạnh BC và CD lần lượt lấy M và N sao cho MC + CN + MN = 2 Các đoạn thẳng AM,
AN lần lượt cắt đường chéo DB tại I, K Chứng minh các đoạn thẳng BI,
LK, KD lập thành ba cạnh của một tam giác vuông