ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 9 huyện hoàng hóa

Cho tam giác ABC có đờng cao kẻ từ đỉnh A, đờng trung tuyến kẻ từ tròn đó.. Tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác ABC... O và I lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp và bàng tiếp trong góc A của

Phòng giáo dục Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - cấp tỉnh (đề 1)

12

điểm M thuộc Parabol đều có khoảng cách đến đờng thẳng y =

Cho tam giác ABC có đờng cao kẻ từ đỉnh A, đờng trung tuyến kẻ từ

tròn đó Tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác ABC

Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 - cấp tỉnh

b b

a

4

14

b a b a

b a ab

b a ab

b a

ab

b a

2

22

(0,5đ)

b

b a b

b a b

a b a

)(2(0,5đ)

*Nếu a < 0  A =

a

a b a

b a b

a b a

(2

12

Do đó

a1 + a2 + a3 + + a2006 = (2a1 - 4a2) + (4a2 - 6a3) + + (4010 a2005 4012a2006) + a2006 (0,5đ)

= 2a1 - 4011a2006 = 1 - 4011a2006 (1)(0,25đ)

(0,25đ)

Do vậy từ (1) suy ra:

a1 + a2 + a3 + + a2006 < 1(0,25đ)

Bài 3: (2 điểm) (Dựa theo: Tự luyện thi Đại học - Phan Đức Chính, năm

(n + 1).xn + 2 + an + 2  (n + 2).n 2 ( xn2)n1 an2 = (n + 2).xn+1.a(0,5đ)

Vì a > 3 nên xn + 1.a > 3 xn +1  - 3.xn + 1.(0,5đ)

Do đó (n +1).xn + 2 + 3(n + 2) xn + 1 + an + 2 > 3(n + 2)xn + 1 - 3(n + 2)xn + 1 =

0 (0,25đ)

Vậy vế trái của phơng trình đã cho luôn dơng với mọi x, suy ra phơngtrình vô nghiệm

Bài 4: (2 điểm) (Báo toán học và tuổi trẻ)

Giả sử hệ có nghiệm khi đó, từ x2 + y2 = 1  x2, y2  1(0,25đ)

Vậy với a  > 2 hệ đã cho vô nghiệm(0,25đ)

Bài 5: (2 điểm) (Dựa theo Toán tuổi thơ 2)

Ta cã a  + b   a + b   a + b víi mäi a, b vµ a  + b  = a + b  a

chøa Ýt nhÊt 4 sè nguyªn

2

10

2

12

14

33

33

M(x;y )

x

y

O1

y = - 1

+ Với m < - 1 thì - m > 1 và - 1 < - 12

m < 0 Do đó  m ;m

12chứa ít nhất 4 số nguyên  - m  3  m  - 3(0,25đ)

Kết luận:

Để phơng trình (1) có ít nhất 4 nghiệm nguyên thì: m  - 3 hoặc

2

13

Dễ thấy f1(x3) - f1(1)  x2 + x + 1, f2(x3) - f2(1)  x2 + x + 1(0,25đ)

Vậy theo giả thiết suy ra: x.f2(1) + f1(1) x2 + x + 1(0,5đ)

suy ra f1(1) = f2(1) = 0 ( vì bậc của x.f2(1) + f1(1) nhỏ hơn bậc của x2 +

x + 1) (0,5đ)

Hay f2(x) và f1(x) chia hết cho x - 1 do đó ƯSCLN(f1(2006), f2(2006))  2005(0,25đ)

A B

CD

M N

suy ra ƯCLN(f1(2006), f2(2006))  2005

Dấu "=" xảy ra khi f1(x) = f2(x) = x - 1(0,25đ)

Bài 8: (2 điểm) (Dựa theo Toán tuổi thơ 2)

Giả sử AH, BM, CD tơng ứng là các đờng cao,

trung tuyến, phân giác của ABC; đồng quy tại

BC

MC OB

MO HB

MI



(0,25đ)

a

b BC

AC HB

HC





(0,25đ)

= 2a(a.HC + b.HB) = 2a.(ab) = 2a2b (theo (2)) (0,25đ)

Ta có điều phải chứng minh(0,25đ)

Bài 9: (2 điểm) (Toán tuổi thơ 2- Số 34)

Gọi E là giao của AC và LM

Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm của ABC

 G nằm giữa C và M sao cho GC = 2.GM (0,25đ)

Phần thuận:Lấy I nằm giữa O và M sao cho IO = 2.IM

I sao cho G' khác A1, B1 Gọi C' là giao của tia MG' với (O) Gọi G1 là trọng

tâm của ABC', ta có G1 nằm trên tia MC' (1) (0,25đ)

I ; kết hợp với (1)

ta có G1  G', hay G' là điểm của quỹ tích (0,25đ)

Vậy quỹ tích là đờng tròn 

I trừ hai điểm A1, B1 (0,25đ) -

Phòng giáo dục hoằng hóa

đề thi học sinh giỏi lớp 9 (Đề 2)

Môn toán – Thời gian 150 phút

Bài 1(2.0 điểm): Tìm các số tự nhiên m và n thoả mãn:

( 3 + 5 2)m = ( 5 + 3 2)n

Bài 2: (2.0 điểm): Cho a, b > 0 và 6a2 + ab = 35b2

Tính giá trị của M = 3a +5b +ab22 2 2

2a -3ab+4b

Bài 3: (2.0 điểm): Cho 2 phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1)

cx2 + bx + a = 0 (2) (a, b, c 0)

Chứng minh rằng nếu PT (1) có 2 nghiệm dơng x1 và x2 thì PT (2)cũng có 2 nghiệm dơng x3 và x4 Khi đó chứng minh x1 + x2 + x3 + x4 4

Bài 4: (2.0 điểm): Tìm a và b sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm

2

z y x

b y z xy

a y xyz

Bài 5: (2.0 điểm): Giải phơng trình: 13  4x4 - 23 5x2  4 = 1

Bài 6(2.0 điểm): Tìm trên đờng thẳng 8x – 13y + 6 = 0 những điểm

có toạ độ nguyên nằm giữa hai đờng thẳng x= -15 và x = 55

Bài 7: (2.0 điểm): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của S = x + y biết:

x2 + 3y2 + 2xy - 10x – 14y +

18 = 0

Bài 8 (2.0 điểm): Cho hình vuông ABCD Điểm M thuộc cạnh AB ( M khác

A và B) Đờng thẳng DM cắt đờng thẳng CB tại N Đờng thẳng CM cắt ANtại P Chứng minh PB  DN

Bài 9(2.0 điểm): Cho Tam giác ABC O và I lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp

và bàng tiếp trong góc A của ABC Hạ OHBC và IKBC M là trung điểmcủa BC

a Chứng minh M là trung điểm của HK

b Chứng minh MO đi qua trung điểm của AH

Bài 10: (2,0 điểm): Cho ABC đều có cạnh bằng 1 Lấy D bất kỳ trêncạnh BC Gọi r1, r2 lần lợt là bán kính của đờng tròn nội tiếp ABD và 

ACD Xác định vị trí của điểm D trên cạnh BC để tích r1r2 đạt giá trịlớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó

Đáp án đề số 2

Bµi 1(2 ®iÓm): T×m c¸c sè tù nhiªn m vµ n tho¶ m·n: ( 3 + 5 2)m = ( 5 +

1 (

1 (

x = 0 ( lần lợt chia cả 2 vế của (3) và (4) cho x12 và x22 ) 

 x1 + x2 + x3 + x4  4

Bài 4: (2.0 điểm): Nhận thấy nếu (x0, y0, z0) là một nghiệm của hệ PT trên thì (-x0, y0, -z0) cũng là một nghiệm của hệ Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = - x0 và z0 = - z0 suy ra x0 = z0 = 0 Thay các giá trị này vào hệ ta đợc y0 = a; y0 = b và y02 = 4

2 2 2

2

z y x

y z xy

y xyz

Lấy vế trừ vế của 2 PT đầu cho nhau ta đợc: xyz(y - 1) = 0 Từ đó ta thấy

hệ có nghiệm duy nhất đó là x = z = 0; y = -2

2 2 2

2

z y x

y z xy

y xyz

Làm tơng tự nh trên ta cũng có: xyz(y - 1) = 0 và nhận thấy hệ không chỉ một nghiệm là: x = z = 0, y = 2 mà còn có các nghiệm khác, chẳng hạn

Vậy chỉ có a = b = -2 là thỏa mãn đề bài

Bài 5(2.0 điểm): Giải phơng trình: 13  4x4 - 23 5x2  4 = 1

Với x=  1 thỏa mãn phơng trình đã cho.

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm đó là: x1= 1 và x2 = - 1

Bài 6(2.0 điểm): Tìm trên đờng thẳng 8x – 13y + 6 = 0 những điểm có

toạ độ nguyên nằm giữa hai đờng thẳng x= -15 và x= 55

Giải: Giả sử A(a, b) là điểm có toạ độ nguyên thuộc đờng thẳng trên

S = 2 khi x = y = 1 S = 8 khi x = 7 và y = 1

Bài 8: (2.0 điểm): Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK = BN

Gọi H là giao của đờng thẳng AN và CK Ta có: ABN = DAK (c.g.c)  BAN =  ADK

mà  BAN =  KAH và  KAH +  HAD = 900   ADK +  HAD = 900

K

Tõu (1) Vµ (2) suy ra H lµ trùc t©m cña NKD  DH KN (3)

L¹i cã: KB NC, KÕt hîp víi (2)  M lµ trùc t©m cña NKC

(1) ; CK= CL = AL-ACAL=AS = AB + BS = AB + BK = AB + (BC - CK)

A

O

M

L S

I

P

(  x  x = x2 – x + 1  AD = x2  x1

SABD= r1

4

32

.2

x AB DE BD

AD AB

)11

1

x r



) 1 x 2 x 3(1

x) x(1

4

3 ) 1 x 2 x x )(2 1 x 2 x x (1

x) x(1

1 ) 4

3 2 ) 2

1 (x (1 4

1 ) 1 x 2

Dấu “ = “ xảy ra khi x =

2

1

khi đó D là trung điểm của BC

Vậy giá trị lớn nhất của r1r2 là

13

2 2

3 9 3

m m

m

m m

a Rút gọn P

b Tìm m để P = 2

c Tìm giá trị m tự nhiên sao cho P là số tự nhiên

Bài 2(2.0 điểm): Giả sử các số hữu tỉ x, y Thoả mãn phơng trình

1 2

y m x

m my mx

a (1.25 điểm): chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x, y )

thì điểm M(x,y) luôn luôn thuộc một đờng thẳng cố định khi M thay

a (0.75 điểm): Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua 1

điểm cố định với mọi giá trị của m

b.(0.75 điểm): Tìm giá trị của m để khoảngcách từ gốc toạ độ đến

đờng thẳng (d) bằng 1

c (0.5 điểm): Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến

đờng thẳng (d) có giá trị lớn nhất

Bài 7(2.0 điểm): Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a2 + b2 = 1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

a.(0.75 điểm): Chứng minh OAM đồng dạng với O’AN

b.(0.75 điểm): Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí

của điểm M

c.(0.5 điểm): Xác định vị trí điểm M để SABQN đạt giá trị lớn nhất Tínhgiá trị đó theo R

Bài 9(2.0 điểm): Cho 1 hình thang cân có 2 đờng tròn tiếp xúc ngoài

nhau, mỗi đờng tròn tiếp xúc với 2 cạnh bên và tiếp xúc với một cạnh đáycủa hình thang Biết bán kính của các đờng tròn đó bằng 2cm và 8 cm.Tính diện tích hình thang

Bài 10(2.0 điểm): Cho đờng tròn (0, R ) và 1 điểm A cố định ở trên đó.

AB và AC là 2 dây cung quay quanh A Sao cho tích AB.AC không đổi Vẽ

đờng cao AH của tam giác ABC và đờng kính AD của (o; R)

a (1.0 điểm): Chứng minh rằng: AB.AC=AD.AH suy ra đờng thẳng

BC luôn tiếp xúc với 1 đờng tròn cố định

b (1.0 điểm): Trờng hợp AH > R tìm vị trí của dây cung BC sao cho

diện tích tam giác ABC lớn nhất

1 1

m

2 m 2)

m 1)(

m (

3 9m 3m

m (

2 m m 1 m 4 m 3 m 3 3m

1 m 2) m 1)(

m (

2 m 3 m

m m

c (0.75 điểm): P = 1+

1 m

2

 để P là số tự nhiên thì



 1 ; 2 1

Bài 2 (2.0 điểm) : Xét hai trờng hợp:

- Nếu xy = 0 Thì 1 – xy = 12 là bình phơng của một số hữu tỉ ( 0.5 điểm)

b (1.0 điểm): Để PT (k-1) x2 – 2kx +k – 4 = 0 có nghiệm thì cần phải

5 5 4

4

2 5 5

) y 2x

y x ( y

4x

) y (x xy

2 - S

S

Bài 4 (2.0 điểm) : a(1.25 điểm): Ta có hệ phơng trình:

1 2

y m x

m my mx

Có nghiệm duy nhất khi m 0 và m 1 ( 0,25

m x

0 1

m m

Vậy để điểm M thuộc góc vuông phần t thứ nhất thì m > 1 ( 0,5

điểm )

Bài 5 (2.0 điểm) : a (1.0 điểm):

x2 + 3x + 1 = ( x + 3 ) x2  1

0 1 3

1 3

) 1 ( 2  2   2   2  

0 ) 1 (

3 ) 1 (

0 ) 3 1 )(

1 ( 2   2   

 x x x (0,5 điểm)

2 2 3

1

1 0

3 1

0 1

2

2 2

x

x x

(0,5 điểm )

b.(1.0 điểm):

6x5 - 29x4 + 27x3 + 27x2 - 29x + 6 = 0

0 ) 6 35 62

35 6

)(

1 (  4  3  2   

35 6

1 0

1

2 3

x

x x

0 62 )

1 ( 35 )

1 (

6 2  2    



x

x x

5 0

50 35 6

2

1 2

t

t t

2 2

5

3

2

x x

3 3

10

5

4

x x

2

0

0 0

0

y x

0 0

0

y

x

(1điểm)

Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định B(0,2)

đòng thẳng (d) với trục hoành và trục tung

Ta tính đợc: 2 B

OA = 22m ; OB = 2 H

+

4

1 =

4

5 4 2



 m m

3 2

m m

Tơng ứng với các giá trị trên của m là hai đờng thẳng y = 3x+2 và y= - 3x+2

c (0 5 điểm): OH lớn nhất  m2 - 4m + 5 nhỏ nhất  m = 2

khi đó đờng thẳng là y=2 và OH = 2

Bài 7 (2.0 điểm) : áp dụng bằng đẳng thức x3 + y3 = ( x + y)3 – 3xy ( x + y)

Ta có: A = a6 + b6 = (a2 + b2)3 – 3a2b2 = 1 - 3a2b2

A = 1 - 3a2b2  1 Đẳng thức xảy ra khi a = 0 hay b = 0

Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 khi a = 0 hay b = 0

A = 1 - 3a2b2 do a2b2  0

Suy ra A nhỏ nhất khi a2b2 lớn nhất Mà a2 + b2 = 1

Lại có hai số tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số bằng nhau, suy

 góc O’AN= góc OAM ( đối đỉnh )

Các tam giác OAM và O’AN là các

1 2

2

2 '

AN

AM

R

R A O

OA AN

AM

MN

AM NQ

AB

5 , 1 2

3 2

3 3

c (0.5 điểm): SABQN = AB QN AH R R AH R.AH

4

5 ).

5 , 1 ( 2

1 ).

( 2

4

1 4 1

Q

H

1 3

AM AN

3 4

N, K

Tiếp tuyến chung của (O)và (O’) tại E cắt AD ở I

 IOO’ vuông ở I mà IE vuông góc với OO’  EI2 = EO’ EO = 8.2 =16

* Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: O’A vuông góc O’I ( 2 tia phân giác của 2 góc kề bù)

  AO’I vuông tại O’ mà O’H vuông góc AI  O’H2= IH.HA

mà IH = IE = 4cm (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (0,5

điểm )

O’H = 2 cm (gt)  4= 4.HA HA= 1cm

Tơng tự ta có: IOD vuông tại O mà OK vuông góc ID

AC AB

2

.

 Không đổi (0,5 điểm )

 H  (A,r ) với r =

R

AC AB

2

. BC

 BC luôn tiếp xúc với 1 đờng tròn cố định (0,5 điểm )

b (1.0 điểm): SABC =

2

1AH.BC Vì AH không đổi do đó:

SABC lớnnhất  BC lớn nhất

Vẽ OE BC ta có BC lớn nhất  OE bé nhất (0,5 điểm )

Góc I là giao điểm của (A,r) với AD

c (0.5 điểm): Tìm giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên

Bài 2( 2.0 điểm): Biết b 3a và 6a2 - 15ab + 5b2 = 0

Tính giá trị của biểu thức:

b a

a b b a

b a

5 3

2

Bài 3( 2.0 điểm): Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình x2+ 2004x + 1=

0 và x3, x4 là nghiệm của phơng trình x2 + 2005x + 1 = 0

Tính giá trị của biểu thức: ( x1+ x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2 – x4)

Bài 4( 2.0 điểm): Giải hệ phơng trình:

5 y x

y x

Bài 5( 2.0 điểm): Giải phơng trình:

Bài 6( 2.0 điểm): Cho A( 0; 5 ) ; B ( -3; 0 ) ; C ( 1; 1 ); M ( - 4,5; - 2,5 )

a.(1.0 điểm): Chứng minh rằng 3 điểm A, B, M thẳng hàng và 3

b (1.0 điểm): Cho N = K4 +2K3- 16K2 - 2K +15 (K thuộc Z)

Tìm điều kiện của K để N  16

x x

x x

x B

5 3

2 2

3 2

21

2x4  x3  x2  x 

Bài 8( 2.0 điểm): Cho tam giác ABC ( A = 900)

b (1.0 điểm): Tam giác EPQ là tam giác cân

Bài 10( 2.0 điểm): Cho đờng tròn ( O; R ) và điểm A cố định nằm bêntrong đờng tròn ( AO) Qua A vẽ dây cung tuỳ ý cắt đờng tròn ( O ) ở B

và C Tiếp tuyến kẻ qua B và C với đờng tròn ( O ) cắt nhau ở N Tìm tậphợp các điểm N khi dây BC thay đổi

3

4 3 2

3

12 2

3

3 5

x

x x x

x

x x x

x

x x

x

( 0,5 đ )

b (0.75 điểm): x =   4 2 3  3 1 3 1

3 4

3 2 2 3 2

3

3 3 5 3 3 3

5 3 2 1 3

4 1 3

2 2

2 2 2

x x

x B

B lấy giá trị nguyên khi 2  x-2

CE

BF AC

AB

 3 3

ab 3a 5b 15ab b

3ab 2ab

15ab) 5b

(6a b

9a b) b)(3a (3a

15ab 6b

b 9a

2 2

2 2

(x1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2-x4)=[x1x2+(x1+x2)x3+x32][x1x2-(x1+x2)x4+x42]

=(1-2004x3+x32)(1+2004x4+x42)=(x32+2005x3 + 1- 4009x3 )(x2

5 y x

y x

Do x5+ y5 =11 nên 5 x2y2 - 5xy – 10 = 0  (xy)2 – xy – 2 =0  xy = -1 hoặc xy = 2

1

xy

y x

1

xy

y x

hay x, y là nghiệm của phơng trình:

t2 – t- 1 = 0 và t2 – t + 2 = 0 Phơng trình: t2 – t - 1 = 0 có 2 nghiệm là

2

5 1

Phơng trình: t2 – t + 2 = 0 vô nghiệm

Vậy HPT có 2 nghiệm (x; y) là: (

2

5 1 ;

2

5 1 ); (

2

5 1 ;

2

5 1 )

4

9 ( 0,5 đ )

2

5 ; x2 = 2 ( 0,25 đ )

a) Gọi đờng thẳng y=ax+b là đờng thẳng AB

đờng thẳng này đi qua A(0;5) nên b=5

Đờng thẳng y= ax+5 đi qua B(- 3; 0 ) nên

0=a(-3) + 5C

=> a=

3

5 ( 0,25 đ ) -4,5 B

2

1

17

5 5

15 5

y x

 (x, y) = (0; 7) ; (10; 5)

b (1.0 điểm): N = K4 + 2K3 - 16K2 -2K + 15

= (K4- K2) + (2 K2 – 2 K) – (15K2 - 15) = (K2 -1) (K2 + 2K – 15)

= ( K-1)( K+ 1)(K -3) (K+5)

- Nếu K chẵn thì K – 1 ; K + 1 ; K – 3; K + 5 đều lẻSuy ra N không chia hết cho 16

; 90 ΔABC(A  0 

B

AB CE

BF DC

DNA CDA cùng chắn



DAsuy ra  

CDA EDC hay DC là phân giác của 

EDA Tơng tự CD là phân giác của 

ECA suy ra A và E đối xứng nhau qua CD  AE  CD

BC DC

BC BD AC

AB

.

2

2



2

2 4

4

DC

DB AC

AB



)

; 90 (D 0 DE AC

)

; 90 (D 0 DF AB



AC

AB CE

BF AC

E

PN

M

DC

AB



3 3



IB IA

)

- Phần đảo:

Trên đờng thẳng d lấy điểm N Qua N kẻ các tiếp tuyến NB và NC với

đ-ờng trong (O) ta cần chứng minh 3 điểm B, A, C thẳng hàng ( 0,25

EO

A

CB

A’