hạ hoà môn thi: Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao
đề)
Ngày thi: 9 tháng 12 năm 2011 Câu 1 (6 điểm)
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (a b c+ + )3− − −a3 b3 c3
2) Rút gọn biểu thức sau:A= 4+ 10 2 5+ + 4− 10 2 5+ − 5
Câu 2 (4 điểm)
Tìm các số nguyên dơng a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện:
a b c− + = a− b+ c và 1 1 1 1
a b c+ + =
Câu 3 (8 điểm)
Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC.
a) Chứng minh: 12 12 42
R +r =a
b) Chứng minh: 82 3 32 2
ABCD
R r S
R r
= + ; (Kí hiệu S ABCD là diện tích tứ giác ABCD)
Câu 4.(2 điểm)
Cho A=5n+2+26.5n+82 1n+ ; với n N∈ Chứng minh: A chia hết cho 59.
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
hớng dẫn chấm
Câu
1
6điể
m
1)
3đ Ta có: (a b c+ + )3− − −a3 b3 c3
(a b c) a b 3 (ab a b) c
1
3 (a b c+ + ) − a b c+ + −3(a b c a b c+ ) ( + + −) 3 (ab a b+ )
=3(a b c a b c+ ) ([ + + +) ab] 1 3(a b a c b c)( )( )
5
2)
3 đ Đặt B = 4+ 10 2 5+ + 4− 10 2 5+ ,B>0
Ta cóB2 = +4 10 2 5 4+ + − 10 2 5 2 (4+ + + 10 2 5 )(4+ − 10 2 5 )+
2 8 2 16 (10 2 5)
1
( )2
2 8 2 5 1 6 2 5
( )2
Trang 22
4điể
m
Có a b c− + = a− b+ c
a b c b a c a b c b a b c b a c ac
a b
b a b c ac a b b c
b c
=
1
Nếu a = b và a, c dơng.Ta có
1 1 2c a ac (a 2)(c 1) 2
a b c+ + = ⇔ + = ⇔a c + = ⇔ − − =
Vì a,b,c nguyên dơng nên ta có các trờng hợp sau:
1
Nếu b = c và b,c dơng.Ta có
1 1 2a b ab (b 2)(a 1) 2
a b c+ + = ⇔ + = ⇔a b + = ⇔ − − =
Vì a,b,c nguyên dơng nên ta có các trờng hợp sau:
1
Vậy các cặp số nguyên dơng (a;b;c) thoả mãn là (3;3;3)
Câu
3
8điể
m
I E
K M
D
O
B
Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là
đờng trung trực của đoạn thẳng BD,BD là đờng trung trực của AC.Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của
đờng trung trực của đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I,K là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp các tam giác ADB,ABC
Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy một
điểm E đối xứng với điểm I qua M,
Ta có BEAI là hình thoi (vì có hai đ-ờng chéo EI và AB vuông góc với nhau
và cắt nhau tại trung điểm mỗi đ-ờng)
1
Ta có ãBAI =EBAã mà ãBAI ABO+ã =900 ⇒ãEBA ABO+ã =900 1 Xét ∆EBK có ãEBK =900,đờng cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có 12 12 1 2
BE +BK = BM
1
Mà BK = r, BE = BI = R; BM =
2
a
Nên 12 12 42
Xét AOB∆ và AMI∆ có ãAOB AMI=ã =900 và àA chung
AOB AMI
2
AO
Chứng minh tơng tự ta đợc . 2
2
BM AB AB BO
1
1
4
ABCD
AB
Rr
Mà theo định lí Pi ta go trong tam giác vuông AOB ta có
1
Trang 32 2 4
R r
R r
+
Từ đó ta có:
3 3
2 2 2
8
ABCD
R r S
R r
= +
1
Câu
4 (2
điể
m)
{
59 (64 5)
5 26.5 8 25.5 26.5 64 8 51.5 8.64 59.5 8.64 8.5 59.5 8.(64 5 ) 59
A
A
−
M
14 2 43
1 1