Đề thi HSG toán lớp 9 (6)

Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau.. Cha của A thuộc nhóm đó,

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Bài 1: (7 điểm)

Giải hệ phương trình:

4 4



 



Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thỏa mãn các bất đẳng thức:

a b b c c a      a b b c c a      a b b c c a     

Thì |a| = |b| = |c|

Bài 2: (6 điểm)

1 Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là

số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau

2 A, B, C là một nhóm ba người thân thuộc Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và người song sinh của C cũng ở trong nhóm đó Biết rằng C và người song sinh của C là hai người khác giới tính và C không phải là con của B Hỏi trong ba người A, B, C ai là người khác giới tính với hai người kia?

Bài 3: (7 điểm)

Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đường kính AB và CD

vuông góc với nhau Đường tròn (O1) nội tiếp trong tam giác ACD Đường tròn (O2) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD của tam giác OBD và

tiếp xúc trong với đường tròn (O) Đường tròn (O3) tiếp xúc với 2 cạnh

OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đường tròn (O) Đường tròn (O4) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với

đường tròn (O1) Tính bán kính của các đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1:

1 Tính giá trị của biểu thức:

59



2 Cho số N = k4 + 2k³ – 16k² – 2k + 15 với k là số nguyên Tìm điều kiện của k để số N chia hết cho 16

Câu 2: Cho biểu thức: 22 22 22 22

M

  , trong đó x, y, z là các biến khác 0 thỏa mãn điều kiện: 2 2 2

Hỏi biểu thức M có thể nhận giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Câu 3: Cho phương trình x² + 3y² + 2xy – 10x – 14y + 18 = 0 Tìm nghiệm số của phương trình mà tổng giá trị của x và y:

a Đạt giá trị lớn nhất;

b Đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4: Cho hai số thực a > 0 và x Chứng minh rằng:

Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở O Gọi diện tích của tứ giác ABCD là S, gọi diện tích của các tam giác

AOB và COD lần lượt là S1 và S2 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ

để hai cạnh AB và CD song song với nhau là: S  S 1  S 2