Đề thi HSG toán lớp 9 (2)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCSMÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: a.. Câu 3: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp tuyế

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1:

a Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì số 2 3 n  1 chia hết cho 3n+1

nhưng không chia hết cho 3n+2

b Tìm tất cả các số nguyên x, y biết x > y > 0 thỏa mãn x³ + 7y = y³ + 7x

Câu 2: Giải phương trình x 3 2 x 4     x 4 x 4    a (a là tham số) Câu 3: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với A, B là các tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông góc

hạ từ điểm A đến đường kính BC Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH; Tính AH theo R và PO = d

Câu 4: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + c(b – c + 1)

Câu 5:

a Giải phương trình: 3 3 2

4(y 1) y 1 4

x 1





b Giải hệ phương trình x y2 22 8xy 16 8 y2







Câu 6: Trên đường thẳng 8x – 13y + 6 = 0, hãy tìm các điểm có tọa độ nguyên nằm giữa hai đường thẳng x = –10 và x = 50 Tìm số tự nhiên n,

biết rằng khi bỏ đi ba chữ số tận cùng bên phải của nó thì được số mới

có giá trị bằng 3 n

Câu 7: Cho các số thực x > 0, y ≥ 0 thỏa mãn x³ + y³ = x – y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x² + y²

Câu 8: Cho tam giác IDC ngoại tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường thẳng

AB tiếp xúc với (O) tại M và song song với CD (A thuộc ID, B thuộc IC) Kẻ đường kính MN của đường tròn (O) Gọi giao điểm của IN với

AB là M’ Chứng minh rằng: AM’.CN = BM’.DN; AM’ = BM

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1:

1 Rút gọn biểu thức: A 3( ab b) ( a b)3 2a a b b

  với a > 0, b > 0

và a ≠ b

2 Tính giá trị của biểu thức: y (x 3) 32





  với x 2   3 Câu 2:

1 Cho biểu thức: B = (3x – 2y)² + (y + z)² + (z – x)² Tìm các số nguyên

x, y, z để 0 ≤ B ≤ 1

2 Cho –1 ≤ x ≤ 1 và n là số nguyên dương Chứng minh rằng: (1 + x)n + (1 – x)n ≤ 2n

Câu 3:

1 Giải phương trình: (x 3) 10 x   2 = x² – x – 12

2 Giải bất phương trình: 4x 3 4 x 1     9x 16 30 x 1 2    

Câu 4:

1 Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại D tính tỉ số DCDB

2 Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy một điểm M Một đường thẳng d qua điểm M cắt AC và AB theo thứ tự tại N

và P Chứng minh rằng: BM CMBP  CN không đổi khi M và d thay đổi

Câu 5: Chứng minh rằng với mọi x, y khác nhau và khác 0 thì:

