Hàm số, giới hạn, liên tục

Khái niệmhàm số sơ cấp tổng quát Hàm số sơ cấp tổng quát là hàm thu được bằng cách lấy tổng, hiệu, tích, thương, hợp của các hàm sơ cấp cơ bản... Khái niệm và phân loại hàm sốDành cho To

1 Khái niệm và phân loại hàm sô

2x, 32x = (3x)2= 9x, 3x = ex ln 3, .Hàm lượng giác

Ví dụ: sin x , cos x , tan x , cot x

Khái niệmhàm số sơ cấp (tổng quát)

Hàm số sơ cấp tổng quát là hàm thu được bằng cách lấy tổng,

hiệu, tích, thương, hợp của các hàm sơ cấp cơ bản

1 Khái niệm và phân loại hàm số

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

1 Khái niệm và phân loại hàm số

Các hàm số lượng giác ngược

1 Khái niệm và phân loại hàm số

Ví dụ 1.1

a) Tính arcsin(1

2), arccos(−

√3

2 ), arctan(

√3)

10a) arcsin(1

2) =

π

6, arccos(−

√3

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

1 Khái niệm và phân loại hàm số

1 Khái niệm và phân loại hàm số

x →∞arctan x không tồn tại

D Đặt α = arcsin x = arccos y suy ra x = sin α và y = cos α

Ta có x2+ y2= sin2α + cos2α = 1

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

2 Giới hạn của hàm số

Các định nghĩa giới hạn và tính chất có thể xem trong giáo trình

(đã học ở cấp THPT) Ở đây ta nhấn mạnh:

Các quá trình (được xét trong môn Toán B1)

Ta xét 2 quá trình: x → a, x → ∞ Ứng với 2 quá trình đó, các

2.1 Dạng vô định 0

0Phương pháp

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc phép chia Horner để

đặt nhân tử chung rồi khử (rút gọn) lượng vô định Trường hợp có

căn thức, ta thực hiện trục căn thức

= lim

x →1

x2− (2 − x)(x3− 1)(x +√2 − x )

= lim

x →1

(x − 1)(x + 2)(x − 1)(x2+ x + 1)(x +√2 − x )

= lim

x →1

x + 2(x2+ x + 1)(x +√2 − x )

(12+ 1 + 1)(1 +√2 − 1) =

1

2.

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

2.2 Giới hạn 1

0 và Giới hạn một bên (trái, phải)

Chú ý: Các trường hợp không xác định được biểu thức lấy

giới hạn âm/dương, ta khẳng định giới hạn không tồn tại

2.3 Dạng vô định ∞

∞Phương pháp

Chia tử và mẫu cho xbậc cao nhất ở mẫu rồi sử dụng giới hạn cơ bản

x2− x − 2−

13x − 6





= lim

x →2

3 − (x + 1)3(x + 1)(x − 2)

= lim

x →2

2 − x3(x + 1)(x − 2) = limx →2

−1

1

9.

.Mặt khác

nên giới hạn L9 không tồn tại

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

ln(1+(x −1))

x −1

i ln 10 = ln 10

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

2.6 Khái niệm vô cùng bé (VCB)

a) Định nghĩa

Hàm α(x ) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếu

lim α(x ) = 0 trong quá trình đó

Chú ý 1: x , sin x , arcsin x , tan x , arctan x , xα (α > 0) là các VCB

xét trong quá trình x → 0

xα (α > 0), qx (|q| < 1) là các VCB xét trong quátrình x → +∞

b) Tính chất

lim α(x ) = L ⇐⇒ {α(x ) − L} là một VCB

Nếu α(x ) là 1 VCB và |β(x )| ≤ M thì α(x ).β(x ) là 1 VCB

2.6 Khái niệm vô cùng bé (VCB)

c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình

Nếu limα(x )

β(x ) = 0 thì α(x ) gọi là VCB bậc cao hơn β(x ).

Nếu limα(x )

β(x ) = k thì α(x ) và β(x ) gọi là hai VCB cùng cấp.

Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x ) và β(x ) gọi là hai VCB

tương đương Kí hiệu α(x ) ∼ β(x)

d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp

sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u

2.6 Khái niệm vô cùng bé (VCB)

e) Dạng vô định 0

0 và VCB tương đương

Nếu α(x ) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x) thì

limα(x )β(x ) = lim

α(x )β(x ).

b) lim

x →a

sin x − sin a

x − a

 00

c) lim

x →0 +

3

√

x− 1x

2.6 Khái niệm vô cùng bé (VCB)

2.6 Khái niệm vô cùng bé (VCB)

b) lim

x →0(1 − cos x ) cot2x = lim

x →0

(1 − cos x )tan2x = limx →0

c) lim

x →0 +x4+ln x3 = ex →0+lim

3 4+ln x ln x

= ex →0+lim

3 ln x 4+ln x

= ex →0+lim

3

ln x+1 = e3.Chú ý: ta sử dụng công thức ab= eb ln a cho giới hạn lim[u(x )]v (x )

nếu nó không có dạng 1∞

3 Hàm số liên tục

Ta có f (0) = arccos 0 = π

2.lim

= lim

x →0 −

psin2x + 12− cos2xsin2xpsin2x + 1 + cos x



= lim

x →0 −

2 sin2xsin2xpsin2x + 1 + cos x

= lim

x →0 −

2p

sin2x + 1 + cos x

= 1Suy ra lim

x →0f (x ) không tồn tại Vậy hàm số đã cho gián đoạntại x = 0

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

Mô-đun: Hàm số, Giới hạn và Hàm số liên tục.

Hết.