Giới hạn của dãy số 1.. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: • Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n... • Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng
Trang 1TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG CHUYÊN MÔN LỚP 11
CHƯƠNG IV GIỚI HẠN
I Giới hạn của dãy số
1 Giới hạn đặc biệt:
1
n→+∞n = ; lim 1 0 ( )
k
n
+
lim n 0 ( 1)
→+∞ = < ; lim n C C
2 Định lí :
a) Nếu lim u n = a, lim v n = b thì
• lim (u n + v n ) = a + b
• lim (u n – v n ) = a – b
• lim (u n v n ) = a.b
• lim n
n
v =b (nếu b ≠ 0)
b) Nếu u n ≥ 0, ∀n và lim u n = a thì a ≥ 0 và lim
n
c) Nếu u n ≤v n ,∀n và lim v n = 0
thì lim u n = 0
d) Nếu lim u n = a thì lim u n = a
3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … = 1
1
u q
− ( q <1)
1 Giới hạn đặc biệt:
lim
→+∞ = +∞ >
2 Định lí:
a)Nếu limu n = +∞ thì lim 1 0
n
u =
b) Nếu lim u n = a, lim v n = ±∞ thì lim n
n
u
v = 0 c) Nếu lim u n =a ≠ 0, lim v n = 0
thì lim n
n
u
v =
neáu a v neáu a v n n 0
d) Nếu lim u n = +∞, lim v n = a thì lim(u n v n ) = { 0
neáu a neáu a 0
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0
0,
∞
∞, ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử dạng vô định.
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
• Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
VD: a)
1 1
3
n
n
+
1
3
1
n
n
+ −
c) lim(n2 4n 1) limn2 1 4 12
n n
• Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức
( a− b) ( a+ b) = −a b; (3a−3b) (3a2 +3ab+3b2)= −a b
VD:lim( n2+ −3n n)= ( ) ( )
2
lim
3
3 lim
3
n
n + +n n =
3 2
• Dùng định lí kẹp: Nếu u n ≤v n ,∀n và lim v n = 0 thì lim u n = 0
Trang 2VD: a) Tính limsinn
n .
Vì 0 ≤ sinn n ≤ 1n và lim1 0
n= nên
sin
b) Tính lim3sin 24 cos
n
−
Vì 3sinn−4 cosn ≤ (32+4 )(sin2 2n+cos ) 52n =
nên 0 ≤ 3sin 24 cos 25
Mà lim 25 0
3sin 4 cos
n
+
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
• Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng 0.
• Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
• Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ là +∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung của
tử, mẫu riêng).
Bài 1: Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử và mẫu cho n a với số mũ a cao nhất Hoặc đặt nhân tử chung) 1) lim(n2− n + 1) ĐS: +∞
2) lim(−n2 + n + 1) ĐS: -∞
3) lim 2n2 − n−8 ĐS: +∞
4) lim3 1 + n − n 3 ĐS: -∞
5) lim(2n + cosn) ĐS: +∞
6) lim(21n2− 3sin2n + 5) ĐS: +∞
7) un =
1 2
1 3
n
n
−
+
ĐS: +∞
8) un = 2n− 3n ĐS: - ∞
9) lim 3 2 21
n
+ + + ĐS: 0
10)
2
4
1 lim
n
+ + + ĐS: 0
11)lim
2
4
1
n
+ + + ĐS: 0
12)lim 2 22 3
− + + + ĐS: 2/3
13)lim3 3 32 2
4
n
14)
4 2
lim
n
n+ +n n + ĐS: 1
15)lim ĐS: -1/2 16)lim ĐS: 2 17)lim
1 n 2 n
3 n 2
3 3 − +
−
ĐS: 2
18)lim 2 34 22 3
− + ĐS: +∞
−
2
lim
4
n ĐS: -∞
20) − + +
+
2
lim
n ĐS: -∞
Bài 2: Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa cĩ cơ số lớn nhất)
1) lim1 3
4 3
n
n
+
2) lim4.3 7 1
2.5 7
+
+
3) lim4 1 6 2
+ + +
4)lim2 5 1
1 5
n
+
+
5) lim1 2.3 7
5 2.7
6) lim1 2.31 6
n n+
− ĐS: 1/3
Trang 3Bài 3: Tính các giới hạn sau: (Tử ở dạng vơ cùng ±vơ cùng; Mẫu ở dạng vơ cùng + vơ cùng ;bậc của tử và mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất;)
Chú ý: n k cĩ mũ 2k; 3 k n cĩ mũ 3k
1)
2
2
lim
+ + + ĐS: 2
2)
2
2
lim
2
+ − −
+ + ĐS: 0
3)
3
1 lim
1
+ + ĐS: 0
4)
2 2
lim
+ + + + + ĐS: 2
5) lim(2 1)( 3)
( 1)( 2)
2
lim
+ + ĐS: -1/( 3 1+ )
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
Nếu bài tốn cĩ dạng: + Vơ cùng – vơ cùng khơng cĩ mẫu (hệ số của n bậc cao nhất giống nhau) + Cả tử và mẫu ở dạng: Vơ cùng- vơ cùng (hệ số của bậc cao nhất giống nhau) Thì ta nhân liên hợp cĩ căn bậc 2,3 rồi chia cho lũy thừa cĩ số mũ cao nhất
Nếu bài tốn ở dạng vơ cùng + vơ cùng thì kq là vơ cùng ta đặt nhân tử chung cĩ mũ cao nhất rồi tính giới hạn Hoặc hệ số của n bậc cao nhất khác nhau ta chia hoặc đặt nhân tử chung.
1) lim( n2+3n n ĐS: ++ ) ∞
2) lim( n2−2n n− +2013) ĐS: 2012
3) lim n( 2− −n n) ĐS: -1/2
5) lim( n2+2013− +n 5) ĐS: 5
6) lim n2+2n n− −1÷
7) lim n2+ −n n2+2÷
8) lim 32n n− 3 + −n 1÷
9) lim 1 +n2− n4+3n+1÷
2
lim
+ − ĐS: -1/( 3 1− )
11)lim 2 1 2
n + − n + ĐS: -∞
12)
2 2
lim
+ + − ĐS: -1/2
13)
3
1 lim
1
+ − ĐS: 0
Bài 5: Tính các giới hạn sau: (Giới hạn kẹp giữa hai biểu thức cĩ cùng kết quả)
1) lim2 cos2 2
1
n
n + ĐS: 0
2)lim( 1) sin(3 2)
n
3)lim3sin6 25cos (2 1)
1
n
4)lim3sin (2 3 2)2 2
2 3
n
+ +
Bài 6: Tính các giới hạn sau: (Rút gọn rồi tính giới hạn)
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
1.3 2.4 n n( 2)
3) lim 1 12 1 12 1 12
− − −
1.2 2.3 n n( 1)
5) lim1 2 2
3
n
+ + +
6) lim1 2 222 2
1 3 3 3
n n
Bài 7: Cho dãy số (u n) với un = 1 12 1 12 1 12
,với ∀n≥ 2
a) Rút gọn un.ĐS: (n+1)/2n b) Tìm lim un ĐS: 1/2
Trang 4Bài 8: a) Chứng minh: 1 1 1
1 2 2 1 2 3 3 2+ + + + +n n+ + +1 (n 1) n.
c) Tìm lim un ĐS : 1
Bài 9: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi:
1
1
1
1 ( 1) 2
u
=
a) Đặt vn = u n+1 – u n Tính v1 + v 2 + … + v n theo n.
b) Tính un theo n.
c) Tìm lim un ĐS: 2
Bài 10: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: 1 2
a) Chứng minh rằng: un+1 = 1 1
2u n
− + , ∀n ≥ 1
b) Đặt vn = u n – 2
3 Tính vn theo n Từ đĩ tìm lim u n ĐS: 2/3 Cho dãy số (un) xác định bởi 1 2
u 2012
u + 2012.u u
=
→+∞
+
+ + + (HSG lạng sơn 2011)
ĐS: - CM được dãy tăng : un 1+ − un = 2012u2n > ∀ 0 n
- giả sử cĩ giới hạn là a thì : a 2012a = 2 + ⇒ = > a a 0 2012 Vơ Lý
nên limun = +∞
- ta cĩ :
2
+
−
Bài 11: Cho dãy (xn) xác định như sau:
1
2
=
Đặt n
+ + + (n N * ∈ ) Tìm LimSn (HSG lạng sơn 2012)
Bài 12: Tổng Dãy là cấp số nhân lùi vơ hạn:
a S = 1 +
2
1 + 4
1
10
) 1 (
10
1 10
1
1 n
n
2 + + − +
Bài 13: Biểu diễn các số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số:
a 0,444 b 0,2121 c 0,32111 ĐS: a.4/9 b.21/99 c.289/900
Bài 14: L = 22 nn
n 1 b b b
a
a a 1 lim
+ + + +
+ + + +
∞
→ , với a, b < 1 ĐS: (1-b)/(1-a)
II Giới hạn của hàm số
Trang 5Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực
1 Giới hạn đặc biệt:
lim
x x x x
0
lim
x x c c
→ = (c: hằng số)
2 Định lí:
a) Nếu 0
0
lim ( )
lim ( )
x x
x x
→
→
=
0
lim ( ) ( )
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( )
0
lim ( ) ( )
x x f x g x L M
*
0
( )
lim
( )
x x
→ = (nếu M ≠ 0)
b) Nếu
0
f(x) 0
lim ( )
x x f x L
→
≥
* L ≥ 0 *
0
lim ( )
c) Nếu
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
x x f x L
3 Giới hạn một bên:
0
lim ( )
x x f x L
⇔
lim ( ) lim ( )
x x f x x x f x L
1 Giới hạn đặc biệt:
lim k
→+∞ = +∞; lim k
x
nếu k chẵn
→−∞
+∞
= −∞
lim
k x
c x
0
1 lim
x→ − x = −∞;
0
1 lim
x→ + x = +∞
x→ − x =x→ + x = +∞
2 Định lí:
a) Nếu 0
0
lim ( )
x x
x x
g x
→
→
= ≠
0 0
0
lim ( ) 0 lim ( ) ( ) lim ( ) 0
x x
x x
x x
nếu L g x
→
→
→
*
0
( )
( )
x x
f x
g x
b) Nếu 0
0
lim ( ) 0
x x
x x
g x
→
→
= ≠
{
0
( )
x x
nếu L g x
g x
→
Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: 0
0,
∞
∞, ∞ – ∞,
0.∞ thì phải tìm cách khử dạng vơ định.
Một số phương pháp khử dạng vơ định:
1 Dạng 0
0
a) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
→ với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x 0 ) = Q(x 0 )= 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
4
x
−
b) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
→ với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
4
c) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
→ với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn khơng đồng bậc
Giả sử: P(x) = m u x( )−n v x với u x( ) m ( )0 =n v x( )0 =a
Ta phân tích P(x) = (m u x( )− + −a) (a n v x( )).
Trang 6VD: 3 3
3 2 6
2 Dạng ∞
∞: L =
( ) lim ( )
x
P x
Q x
→±∞ với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
VD: a)
2
2
2
x x
+ −
2
3 2
1
x
−
3 Dạng ∞ – ∞: Giới hạn này thường cĩ chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
4 Dạng 0.∞:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
2 2
4
x
x x
−
+
−
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu khác 0 thì giới hạn bằng f(a)
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu bằng 0 tử khác 0 thì giới hạn bằng ∞
1) limx→3(x2 + x) ĐS: 12
2) limx 1 x
x 1
→ − ĐS: ±∞
0
1 lim
1
x
x
→
+ ĐS: 1
1
lim
1
x
x
→−
+ −
− ĐS: -3/2
5)
2
sin
4 lim
x
x x
→
π
π
ĐS: 2 /π
1
1 lim
3
x
x
→−
− + − ĐS:-2/3
2
1 lim
1
x
x
→
− +
8) 2
1
lim
1
x
x
→
+ ĐS: 2 / 2
9)
1
8 3 lim
2
x
x x
→
+ −
10) 3 2
2
lim
1
x
x
→
11) 2
0
1 lim sin
2
x x
Bài 2: Tìm các giới hạn sau: (Khi thay x=a vào f(x) thấy tử =0; mẫu =0 ta rút gọn mất nhân tử rồi thay tiếp tới
khi mẫu khác 0 là xong) cịn nếu mẫu =0 tử khác 0 thì kq là ∞
1) limx 1x2 1
x 1
→
−
x
−
÷
ĐS: -1
Trang 73) xlim→2
4 x
8 x
2
3
−
− ĐS: 3
4) xlim→1
1 x
1 x
x 2
−
+
− ĐS: 2
5)
2 x
2 x x
2
lim
2
2
−
−
2
16 lim
2
x
x
→−
− + ĐS: -8
1
1 lim
x
→
− + ĐS: 0
8)
1 x
3 x x x
2 3
1
− +
−
9)
2 3 1
1
lim
1
→−
+ + +
+
x
x ĐS: 2
10)
9 x x
9 x x x
2 3
3
+ +
−
1
1 lim
1
x
x
x
→−
+ + ĐS: 5/3
12)
2 1
lim
(1 )
x
x
→
13)
1 x
x x x 4
5 6 1
+
−
14) 1 2
lim
ĐS: -1/2
lim
16) x 1 2 2
lim
→
17) 19921990
x 1
lim
→
+ − + − ĐS: 1993/1992
18)
1
1 lim
1
m n x
x x
→
−
− chú ý tổng của CSN ĐS: m/n
x
x
0
(1 5 )(1 9 ) 1 lim
→
19)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim
x
x
→
ĐS: 6
1
lim
1
n x
x
→
21)
n
2
x 1
lim
(x 1)
→
− ĐS: n(n-1)/2
Bài 3: Tìm các giới hạn sau: (Một căn bậc 2)
2
lim
4
x
x x
→
+ −
− ĐS:1/6
0
lim
x
x x
→
+ − ĐS:0
3)
x 4
3 5 x
lim
4
− +
→ ĐS: -1/6
4) xlim→9 2
x x
3 x
−
−
ĐS:-1/54
5)
49 x
3 x 2
7
−
−
6)
3 x x
4 x 7 x
1
− + +
7)
1 x
2 x x
3 1
−
−
8)
1 x
x x 3 x lim
3 2
1
− + +
Bài 4: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn Bậc 2)
1)
x
x 1 x 1
lim
0
x
−
− +
2)
2 3 x
1 x
lim
1
−
3)
3 1 x
x 2 x
lim
2
− +
4)
2
2 2 lim
7 3
x
x
x
→
+ − + − ĐS:3/2
5)
3 x 2
3 7 x
2
lim
1
− +
6)
1 x
x x
lim
2
1
−
→ ĐS:3
7)
x 5 1
x 5 3
lim
4
+
−
8)
1
lim
1
x
x
→
9)
3 x
2 x 3 x 2 lim
1
+
− +
−
10)
1 x
1 x 1 x lim
2 1
− +
−
+
11) xlim→0
9 x 3
1 1 x
+
−
− +
ĐS:-3/4
12) xlim→2
x 3 1 x
x 2 x
−
−
−
− +
ĐS:-1/4
13)
2
1 1 lim
16 4
x
x x
→
+ −
3
3 2 lim
3
x
→−
Trang 80
lim
x
x
→
a x
a x a x
−
− +
−
, với a> 0 ĐS:
a
1/ 2
17) limx→1
x x 3 x
1 x
3
2 + + −
−
ĐS:2
Bài 5: Tìm các giới hạn sau: (Một căn Bậc 3)
1) xlim→2
2 x
2 x
3
−
− ĐS :1/3 2) limx 1→ 32x 1 1
x 1
− −
− ĐS:2/3
3)
1 x 1
x lim
3
0
x → + − ĐS:3
4)
1 x
2 x x
lim
3
3 5
1
+ +
−
5) 3 22
0
1 x 1
→ ĐS:1/3 6)
3 3 1
1 lim
x
x x
→
−
7) xlim→0
x
1 1 x
5 + − ĐS:1
Bài 6: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn khác bậc)
0
lim
x
x
→
+ − + ĐS :1/6
2) xlim→0
1 x 1 x
1 x 1
3
+
− +
+ +
−
ĐS:4/3
3) 3
0
lim
x
x x
→
+ − + − ĐS:3/2
0
lim
x
x
→
+ − − ĐS:13/12
5)
4 x x
x 4 x
3
4
− +
6)
9 x
5 x 10 x
2
3
− + +
−
0
lim
→
x
8)
2 x
2 x x 10
lim3
2
+
−
−
2
lim
x
→
10) 2 23 2
0
lim
→
x
2
lim
x
→
2 1
lim
1
x
x
→
13)
4 x
2 x 6 x lim3 2 2
+
− +
14)
0
1 4 1 6 1 lim
x
x
→
0
lim
x
x
→
16)
n
x 1
(1 x ) lim
(1 x)
→
−
− ĐS: 1/n
17)
4
x 1
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) lim
(1 x)
→
18) 3
0
lim
x
x
→
+ − − ĐS:5/6
x 0
x lim
8) xlim→1
1 x x 2 x
1 x x 1 x
2 3
2
+
− +
−
+
− +
−
ĐS:0
Bài 7: Tìm các giới hạn sau: ( → =
x 0
sin x
x ;limx 0ta n x
x
→ =1)
1) x
2
sin x
lim
x
π
→ ĐS: 2/π
2) lim0 1
cos
x→ xĐS:1
3) lim0tan sin2x
cos
x
x x
→
+
ĐS: 0
4) x
4
tgx
lim
x
π
→ π − ĐS:4/3π
5) xlim0sin 5x
3x
→ ĐS:5/3
sin 3 sin 5 sin lim
x
x x x
7)
x 0
1 cos2x lim
xsin x
→
−
ĐS:2
x 0
1 cos4x lim
2x
→
−
ĐS:4
Trang 9x 0
sin 2x
lim
x 1 1
10) xlim01 cos2x2
x
→
−
ĐS: 2 11) xlim0cosx cos7x2
x
→
−
ĐS:12 12) x 0 2
cosx cos3x
lim
sin x
→
−
ĐS:2
13)
x 0
sin x
lim
tan 2x
14)
x
x x x
3 cos 2 cos cos
1
lim
−
15)
2
2
x 0
x sin
3 lim
x
→
ĐS:1/9
16)
2 sin
sin cos
.
sin
lim
x x x
x
−
17)
x
x
3 sin 1
1
lim
+
−
18)
x
x
cos
1
lim
0 −
−
19)
x 0
1 cos3x
lim
1 cos5x
→
−
20) limx 0→ 1 cos 2x2
xsin x
− ĐS:4
21) lim0sin 2 sin
3sin
x
x
→
+
ĐS:1
22)
x 0
sin 2x tan3x
lim
x
→
+
ĐS:5
23) lim01 sin cos2
sin
x
x
→
ĐS: -1
x 0
tan x sin x
lim
x
→
−
ĐS:1/2
25) limx 0→ 2
cos4x cos3x.cos5x
x
−
ĐS: 18
26) lim x 0
→
2
cos( cosx)
2
x sin
2
π
ĐS:π BĐ góc phụ chéo
27) x π
3
sin 3x
lim
1 2cos x
→ − ĐS: 4 3 Đặt ẩn phụ
28) ®
-p
2
x 2
lim
x
cos
4
29)
x 1
1 x cos
lim
1
+ π
→ ĐS:0
30) −
→
x x
lim
4
π
4 x sin(
tgx 1 lim
4
−
π
→
ĐS: -2
x
x x
3 sin 2 lim +
∞
33) lim tan(3 12)
− +
x x
34) lim(1 cos2x)tgx
2 x
+
π
→
ĐS:0
x
x
sin lim 6
−
→
π
36) lim2cos2sin2 11
−
x
37) xlimcosx1tanx
38)
3 4
) 1 sin(
lim 2
1 − +
−
→ x x
x
39)
x
x
4
sin lim
4 −
−
→
π
40) lim42cossin2 13
−
x
41)
tgx 1
x cos x sin lim
4
− π
→ ĐS:
2 2
−
42) lim11 cottgxgx
4
−
π
→
ĐS: -1 43) )
x sin x ( lim
x
π
∞
→ ĐS: π
44) lim tan( 82)
3
+
−
x
45) xlim0 1 3 x
sin x sin3x
→
ĐS: 0
22) xlim→0
x cos x sin 1
x cos x sin 1
− +
−
−
ĐS:-1
x 0
tan(a x).tan(a x) tan a
x
→
47) xlim 0(a x)sin(a x) a sin a
x
→
+ + − ĐS: (a+1)sina 48) (ĐHGTVT-98): limx 0→ 1 2x 1 sin x
3x 4 2 x
− + + + − − ĐS:0
0
lim
sin
→
x
50) x 0 2
2 1 cos x lim
tan x
®
ĐS: 2 / 8
Trang 1051) 2
2
x 0
1 sin x cosx
lim
sin x
→
52) ( )
1
lim 1 tan
2
x
x
53) 3 2 2
0
lim
1 cos
x
x
®
54) lim0 2
x
x
® + - ĐS:4/3
55)
0
1 sin 2 1 sin 2
lim
x
x
®
-ĐS:2 56) 23
x 0
cos x cos x
lim
sin x
®
-ĐS:-1/12
57) x 0lim 2sin x sin x 122
2sin x 3sin x 1
→
− + ĐS:-1
58) x 0 2
1 cos x.cos 2x.cos3x lim
x
→
−
ĐS:7 59) x 0 2
1 cos x.cos 2x.cos3x cos nx lim
x
→
−
ĐS:n(n+1)(2n+1)/12
60)
x 0
cos x cos
2 lim
sin tan x
→
π
ĐS:0 61) x 0lim 1 sin x 1 sin x
tan x
→
x 4
1 cot x lim
2 cot x cot x
→
−
63) x 0lim1 cos x cos 2x cos3x3
1 cos 2x
→
−
− ĐS:3/2
Bài 8: Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp,Đặt nhân tử, dấu giá trị tuyệt đối)
1) x lim→−∞(3x3−5x2 + 7) ĐS: -∞
2) lim(2x3 3x)
+∞
→ ĐS:+ ∞
3) xlim (2→±∞ x3−3 )x ĐS:± ∞
4) x lim→+∞ 2x 4 − 3x 12 + ĐS:+ ∞
5) lim 2 3 4
→±∞ − + ĐS:± ∞
6) x lim →+∞ −
+
3
2
x 5
x 1ĐS:+ ∞
7) 23
x
lim
→+∞
− + ĐS:+∞
8) xlim 2x 1
x 1
→+∞
+
9) x 44 5
lim
→−∞
− + + ĐS:+ ∞
x
lim
1 3x 5x
→−∞
+
− − ĐS:-1/5
11)
2 2 x
3x(2x 1) lim
(5x 1)(x 2x)
→−∞
−
− + ĐS:6/5
12) 2
x
x x 1 lim
→+∞
+
13) 2
x
4x 1
lim
3x 1
→∞
+
− ĐS:-2/3; 2/3
14)
→−∞
−
−
4 x
x x
lim
1 2x ĐS:+ ∞
x
lim
x 10
→−∞
+ +
16) lim 2 3 2
x
x
→−∞
− ĐS:1/3
17) xlim x2 2x 2 3x 1
→±∞
18) x ( ) 3
x lim x 5
− ĐS:1
x
2x 7x 12 lim
3 | x | 17
→−∞
− +
− ĐS: 2 / 3
x
x 4 lim
x 4
→−∞
+ + ĐS:-∞
21) x→lim+∞
x 1
1 x
x4 2
−
−
22) xlim→∞
2 x
2 x
2 +
+
ĐS:-1;1
23) lim 3 3 2 2
x
x
→−∞
23)
4 x x
x x
2 2
+
−
24) x 1→ − 2 +−
2 2x 1
2x 3
25) x 1→ − 2− +
5 lim
(x 1)(x 3x 2)ĐS:-∞
26) lim x 0→ −
2
1 1
x x ĐS:-∞
1
1 lim
2
x
x
+
→
−
− + ĐS: +∞
28) x 2 lim → − −
− − ÷
x 2 x 4 ĐS:-∞
29) lim 22 1
x
x
→+∞
+
− + ĐS:1/2
30) lim 2 2 1
2
x
x
→±∞
− +
Trang 1131) lim 32 2 21
x
x
→+∞
+
32)
2 2
lim
x
→±∞
33)
2 2
lim
x
→±∞
2
lim
5
x
→−∞
35)
2 2
lim
x
→+∞
36) lim 2 5 2
x
x
→−∞
+ ĐS:+ ∞
37) x→lim+∞ 2 3
x 9
10 x x
−
− +
ĐS:0 38) x→lim+∞
7 x
11 x
x4 3
−
+
39) xlim→∞ 22 22
) x 4 ( ) x 3 )(
x 2 (
) x 3 ( ) x 1 )(
x 1 (
−
−
−
+ +
−
ĐS:1
40) 6 3 2 2
x ( x 2 )
2 x x x lim
+
− + +
−∞
Bài 9: Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp)
1) lim 2
→+∞
2) xlim ( x→−∞ 2+ −x x)ĐS:+∞
3) lim( x2 3x 2 x)
+∞
4) lim( x2 3x 2 x)
−∞
5) ( 2 )
x lim x 1 x
6) lim ( 2 2 4 )
→±∞ − + − ĐS:+∞;-1
7) lim( +2− −2)
+∞
8) xlim ( x2 4x 3 x2 3x 2)
→±∞ − + − − + ĐS:1/2;-1/2
9)
x 1 x x
1 lim
2
x → +∞ + + − ĐS:2
10) ( 2 )
x lim 2x 1 x
→−∞ + + ĐS:+∞
11) lim ( 2 5 )
→±∞ + + ĐS:-1/2; +∞
12) ( 2 )
x lim x 1 x 1
→−∞ + + − ĐS:-1
13) Cho f(x) = x 2 + 2x 4 + - x 2 − 2x 4 +
Tính các giới hạn xlim→−∞f(x) và xlim→+∞f(x), từ đĩ nhận
xét về sự tồn tại của giới hạn xlim→∞f(x).ĐS :-2 ;2
14) xlim (3x 2→±∞ + − 9x2 +12x 3)− ĐS:-∞;0
→+∞
16) lim( 2 −3 +2+ −2)
+∞
17) lim( 2 −3 +2+ −2)
−∞
+∞
→
2
2 2 2
20) lim 2 1 3 3 1
→+∞
21) lim
→+∞
22) lim (32 1 32 1)
23) lim (33 3 1 2 2)
24) lim ( +3 − −1)
+∞
∞
→
26) lim(3 3 + 2 +1−3 3 − 2 +1)
∞
Bài 10: Tìm các giới hạn sau:
a x lim → 1 + x−1 b x lim → 5 − ( 5−x + x) c xlim→1+
1 x
x
− . d xlim→1−
1 x
x
− e. x lim → 1−
3
2 x x
1 x x 1
−
− +
−
ĐS:a 0 b 10 c.+∞ d -∞ e 0
Bài 11: Tìm các giới hạn sau nếu cĩ a x lim → 2 +
2 x
| 6 x
|
−
−
b x lim → 2 −
2 x
| 6 x
|
−
−
c xlim→2
2 x
| 6 x
|
−
−
ĐS: a 3 b -3 c.Ko xđ
Bài 12: Tìm các giới hạn sau: (Để ý đến dấu các biểu thức tử và mẫu khi tính giới hạn này)
1)
2
15 lim
2
x
x
x
+
→
−
2
15 lim
2
x
x x
−
→
−