Phương pháp quy nạp toán học 11-NC

Vậy 1 đúng với mọi n  Điều phải chứng minh Từ lời giải của bài toán trên, hãy nêu cách giải cho bài toán tổn "Chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với g quát sau: mọi.

Lê Thanh Bình - THPT Tĩnh Gia 1

Lờ Thanh Bỡnh - THPT Tĩnh Gia 1

*,

3

Bài toán: Chứng minh rằng với mọi n ta luôn có

n n





)

Hãy kiểm tra đẳng thức (1) khi

Em có thể kiểm tra đẳng thức (1) với mọi giá trị nguyên d ơng của hay

H

g?

1

khôn

b

n



*?

Vậy làm thế nào để khẳng định đ ợc

đẳng thức (1) đúng với mọi n  

Nếu (1) đúng khi thì (1

Hãy chứng minh

) cũng đúng khi

rằng:

Lờ Thanh Bỡnh - THPT Tĩnh Gia 1

*,

3

Bài toán: Chứng minh rằng với mọi n ta luôn có

n n





1

*

1

(1) đúng khi Nếu (1) đúng khi thì (1) cũng

Với hai khẳng định:

1)

Ta có thể suy ra đ ợc (1) đúng với mọi hay không?

đú

Vì

ng khi

s ?ao

k

n

n











*,

2)

1 Bằng cách kiểm tr

Nh vậy, để chứng minh (1) đún

Chứng minh (1) đúng khi

Chứng minh khẳng địn

h:

Nếu (1) đúng kh

ể làm nh s

i

au: 1)

thì (1) cũng đúng khi

a trực tiếp

n n

n

n k

k

k







*

: (1) đúng với mọi

Lờ Thanh Bỡnh - THPT Tĩnh Gia 1

*,

3

Bài toán: Chứng minh rằng với mọi n ta luôn có

n n





1 Với n thì (1) trở thành

Giả sử (1) đúng khi n k k , ng ĩa làh

   1  2  

3

1 chứng minh (1) đúng khi

3

Giải:

  1 1. 1  2  

3

1 11   1

Thật vậy, từ (**) ta có:

1.2 2.3

3



 1  2 1  1  2  3

3

3

*

Vậy (1) đúng với mọi n  Điều phải chứng minh

Từ lời giải của bài toán trên, hãy nêu cách giải cho bài toán tổn

"Chứng minh mệnh đề chứa biến

đúng với

g quát sau:

mọi

Lờ Thanh Bỡnh - THPT Tĩnh Gia 1

: Chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với

 

 

1

1

*

Chứng minh đúng khi Chứng minh khẳng định:

Nếu đúng khi

B ớc 1: (Cơ sở, hay "khởi đầu")

B ớc 2: (

thì cũng đúng kh

Quy nạp, hay "d

i : đúng vớ

i tru

yề

) n"

uận

A











H2 Cmr: với mọi n ta luôn có     n n

2

3

(Ph ơng pháp chứng minh quy nạp toán học)

Cách giải:

H2

H3

Giả thiết A n đúng khi n k k   đ ợc gọi là giả thiết quy nạp

Lờ Thanh Bỡnh - THPT Tĩnh Gia 1

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị của n n sao cho n  n là đúng

H ớng dẫn:

1;2 3 8 "  3;4 5;  3 8 "

Với n thì " n  n sai Với n thì " n  n đúng

" đúng với mọi số nguyên d ơ

Dự đoán n  n ng n 

Ta chứng minh dự đoán trên bằng ph ơng pháp quy nạp toán học !  *,  * 

Hãy nêu các b ớc chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với

bằng ph ơng pháp quy nạp toán

mọi

học ?

Lờ Thanh Bỡnh - THPT Tĩnh Gia 1

 

 

*,

*

*

"

1

,

Chú ý

Chứng minh đúng kh

: Các b ớc chứng minh đún

i Giả sử đúng khi

Ta chứng minh c

g với bằng ph ơng pháp quy nạp toán học

B ớc 1:

B ớc 2:

ũng đúng khi

Kết

p

k

k

k

A

p





















: đúng với mọ

lu nậ A n i n n p

Lờ Thanh Bỡnh - THPT Tĩnh Gia 1

 

*,

1 "

*

*, "

Để chứng minh

bằng ph ơng pháp quy nạp toán học ta thực hiện hai b ớc cơ bản sau:

B ớc 1:

mệnh đề chứa biến đúng với mọi

đú

Chứng minh

B ớc 2: Chứng minh

ng

" đúng với

A p

p

 



: Khẳng định sau đúng hay

: Sai lầm ở

1 *

1

*

Cộng vào cả hai vế của (*), ta đ ợc

"

hay

(1) là đúng với mọi

1

(

k

n k

 

 



*

1) đúng với mọi n  

Lờ Thanh Bỡnh - THPT Tĩnh Gia 1

Ôn lại lý thuyết, đọc tiếp phần còn lại của bài 1 và làm các bài tập trang 100-101 SGK.

Lờ Thanh Bỡnh - THPT Tĩnh Gia 1

*,





1 Với n thì (1) trở thành

Giả sử (1) đúng khi n k k , ng ĩa làh

1 3 5     2k  1 k *

1 chứng minh (1) đúng khi

1 3 5     2n 1  2n 1  n 1

Giải:

2

1 1 Hiển nhiên đúng

1

(1) đúng khi

Thật vậy, từ (*) ta có:

1 3 5     2n  1  2n 1 n  2n 1  n1

*

Vậy (1) đúng với mọi n  Điều phải chứng minh

Re

Lờ Thanh Bỡnh - THPT Tĩnh Gia 1

*,

1 Với n thì (1) trở thành

Giả sử (1) đúng khi n k k , ng ĩa làh

 

2 2

3

k k

1 chứng minh (1) đúng khi

2

3

Giải:

2





1

(1) đúng khi

Thật vậy, từ (*) ta có:

2

3

*

Vậy (1) đúng với mọi n  Điều phải chứng minh

 

2 2

3

n n

Re