Trên cạnh BC lấy điểm E.. Tia AE cắt đờng thẳng DC tại F.. Trên cạnh AB, CD lần lợt lấy điểm M, N sao cho MN vuông góc với AE.. Đờng phân giác của DAE cắt CD tại P.
Trang 1Đề thi học sinh giỏi huyện khối 9
Năm học 2010 – 2100 2100
Môn: Toán
Thời gian làm bài 120 phút
-Câu1:
6
9 3
2 2
3 :
9
3 1
x x
x x
x x
x x
x x
a) Tìm điều kiện và rút gọn P
b) Tìm x để P > 1
Câu2:
a/ Cho các số dơng a,b,c và a+b+c = 3 Chứng minh
9
16
abc
b a
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2 2
2 2
2
2
) ( )
b b
a b
a
Câu3:
1 Cho a =
2
2
6 và b =
2
2
6 Tính S = 15 15
b
2 Tìm nghiệm nguyên dơng của: z
y
x
1 1
Câu4:
Cho tứ giác ABCD có AB = 3, BC = 3, CD = 2 3, DA = 3 3 và A = 600
Tính các góc còn lại của tứ giác ABCD ?
Câu5:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB =
2
3
AD Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đờng thẳng
DC tại F Trên cạnh AB, CD lần lợt lấy điểm M, N sao cho MN vuông góc với AE Đờng phân giác của DAE cắt CD tại P Chứng minh rằng:
a) MN =
3
2
BE + DP
9
4 1
1
AF AE
-Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi huyện khối 9
Năm học 2010 – 2100 2100
Môn Toán
điểm a) Tìm đợc điều kiện xác định của P là: x > 0, x 4, x 9 1 điểm
Trang 2Qui đồng và rút gọn đợc: P =
2
3
x
b) P > 1 =>
2
3
x > 1 =>
2
3
x - 1 > 0 =>
2
5
x
x > 0 Giải và kết hợp với ĐK đợc kq: 4 < x < 25 và x 9 thì P > 1
(Nếu quên không kết hợp với điều kiện thì trừ 1 điểm ở câu b)
2 điểm
1 điểm
1 điểm
đ a/ (2đ) Cho các số dơng a,b,c và a+b+c = 3 Chứng minh
9
16
abc
b a
(1) (1) 9(a+b) 16abc
Ta có (a b) 2 4ab 4c(a b) 2 16abc
Ta chứng minh 9(a+b) 4c(a+b)2
9 4 ( ) 9 4 ( 3 ) 4 2 12 9 0 ( 2 3 ) 2 0
Vậy 9(a+b) 16abc Hay
9
16
abc
b
b/ (2đ) B = 2 2
2 2
2
2
) ( )
b b
a b
a
Ta có (a+b)2 2(a2+b2)
B
) (
2 )
(
2 2
2
2
2
b a a
b b
a
b
a
2 2
2
2
2 3 ) 3
b b
a
a
2 2 2 2
2
2 2 2
2 3
2 3 3
2
3 2
b a
b a b b a
b a a
= 3 (a2+b2)( 2 2 2 2
2 3
1 3
2
1
b a b
2
2 3
1 3
2
1 2
3 3
2
5
3
b a b a b a b
a
12 2
3 3 2
1 2
2 3 3 2
2
.
5
3
2 2 2 2 2
2 2 2
b a b a b
a b a
5
2 2
5
12
Vậy B
5
2
Dấu “=” xảy ra khi a=b
2 điểm
4đ
1 Theo bài ra ta có : a + b = 6 và ab = 1
Mà: S = 15 15
b
5 5
b a
b
a = a5 + b5 (vì ab = 1)
Mặt khác: a5 + b5 = (a + b)5 – 5(a3 + b3) -10a2b2(a + b)
Biến đổi và thay: a + b = 6 và ab = 1 vào đợc S = 11 6 2 điểm
2 2 Ta có: x + y = xyz Vì vai trò của x, y nh nhau nên giả sử : x y
=> xy z = x + y y + y = 2y => xz 2 Vì x, z nguyên dơng nên có thế xẩy
ra: x = 1, z = 1 hoặc x = 1, z = 2 hoặc x = 2, z = 1
Từ đó lập luận ta có nghiệm (x, y, z) = (2, 2, 1); (1, 1, 2)
1 điểm
1 điểm
2,5 đ
Trang 3Hình vẽ:
1 2
1
3
3
3
3
2 3
3
3
E
A
Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE = 3=> ED = 2 3
Ta có:ABE cân ở A có A = 600 => ABE đều
Kẻ DH BE => EDH vuông ở H có ED = 2 3 và E1= E2 = 600 =>
D1 = 300 => EH = ED/2 = 3 => BH = 2 3
=> Tứ giác BCDH là hình chữ nhật
Từ đó tính đợc: C = 900, D =600, B = 1500
1điểm
1,5điểm
4,5 đ Hình vẽ:
0,5
điểm
a) Qua A kẻ vuông góc với AE cắt tia CD tại Q
Vì A2 = A3 nên A1 = A4 => ADQ đồng dạng với ABE (g.g)
=>
3
2
AB
AD BE
DQ
AE
AQ
(1) Mà MN // AQ => MN = AQ
Ta lại có: A34 = A12 = APQ => APQ cân ở Q
=> AQ = QP = MN (2)
Từ (1), (2) => MN = QP = QD + DP =
3
2
BE + DP (ĐPCM)
2,5
điểm
b) Theo ĐL 4 cho AQF vuông ở A có AD QF ta đợc:
1,5
Trang 42 2
2
1 1
1
AF AQ
AD mà AD =
3
2
AB, AQ =
3
2
AE => 2 2 2
9
4 1
1
AF AE
điểm
Chú ý: HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
