Tia Bx vuông góc với AC.. Trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD=BA và BE=BC.. a Chứng minh rằng CD=AE và CD ⊥AE b Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, CD.. Gọi I là trun
Trang 1TRƯỜNG THCS ĐỒNG KH ỞI - CHÂU THÀNH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008
Bài 1: (4 đ)
1) Cho biểu thức
10
9 9 9 10
x B
−
=
a) Tìm điều kiện có nghĩa của B b) Rút gọn B
2) Chứng minh rằng A n = +8 4 n7 + 6 n6 + 4 n5+ n4 chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên
Bài 2: (4 đ)
1) Cho đa thức bậc hai P x ( ) = ax2 + bx c + Tìm a, b, c biết P(0)=33; P(1)=10; P(2)=2007 2) Chứng minh rằng: ( a b c a b c + − ) ( − + ) ( − + + ≤ a b c ) abc với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Bài 3: (2 đ)
Cho
2 2 13
1
x
+
− + Tìm các số A, B, C, D, E để đẳng thức trên là đẳng thức đúng với mọi x>0 và x≠4
Bài 4: (6 đ)
Cho đoạn thẳng AC=m Lấy điểm B bất kì thuộc đoạn AC (B ≠A, B ≠C) Tia Bx vuông góc với AC Trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD=BA và BE=BC
a) Chứng minh rằng CD=AE và CD ⊥AE
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, CD Gọi I là trung điểm của MN chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC
c) Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất này theo m
Bài 5: (4 đ)
Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm M Vẽ BH vuông góc với CM Nối DH, vẽ HN vuông góc DH (N thuộc BC)
a) Chứng minh rẳng ∆ DHC đồng dạng với ∆ NHB
b) Chứng minh rẳng AM.NB=NC.MB
Trang 2TRƯỜNG THCS ĐỒNG KH ỞI - CHÂU THÀNH ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008 Bài 1:
1)
10
9 9 9 10
x B
+
=
a) Giải phương trình x4 + 9 x3− 9 x2 + 9 x − 10=0
4 1 9 3 9 2 9 9 0
( x2 1 )( x2 1 ) 9 x x2( 1 ) ( 9 x 1 ) 0
2
1
10
1 0
x
x x
x
=
⇔ + = ⇔ = − ⇔ = −
+ = ∈∅
Vậy biểu thức B có nghĩa khi x ≠1 và x ≠-10
10
1 à 10
9 9 9 10
x
+
( ) ( ) ( )
2
2
10
10
x
x
+
( ) ( )
2
2
1
1
2)
8 4 7 6 6 4 5 4 4 4 4 3 6 2 4 1
A n = + n + n + n + n = n n + n + n + n +
4 4 3 3 3 3 2 3 2 3 1
Với x > -10 và x 1
Với x < -10 và x 1
Với x > -10 và x 1
Với x < -10 và x 1
Trang 3( )4 ( ) 4
= + = +
Vì n(n+1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
Do đó ( ) 4 4
1 2 16
M Vậy A M 16
Bài 2:
1) P x ( ) = ax2 + bx c +
P(0)=33 ⇒ a 02+ b 0 + = c 33 ⇒ = c 33
P(1)=10 ⇒ a 12 + b 1 + = ⇒ + + c 10 a b 33 10 = ⇒ + = − a b 23 (1)
P(2)=2007⇒ a 22 + b 2 + = c 2007 ⇒ 4 a + 2 b + 33 2007 = ⇒ 4 a + 2 b = 1974 ⇒ 2 a b + = 987 (2) Trừ vế theo vế của (2) và (1) ta được a = 1000
Thay a = 1000 vào (1) ta được b = - 1023
2) ( a b c a b c + − ) ( − + ) ( − + + ≤ a b c ) abc
Ta có:
2 − − ≤ 2 ⇔ − + + − ≤ 2(1)
2 − − ≤ 2 ⇔ − + + − ≤ 2(2)
2 − − ≤ ⇔ − +2 + − ≤ 2(3)
Lấy (1), (2) và (3) nhân vế theo vế ta được:
( a b c a b c ) ( ) ( a b c ) abc
⇔ + − − + − + + ≤ (đpcm)
Bài 3:
Đặt x m = ( 0 < ≠ m 2 ) Đẳng thức đã cho có dạng:
2
2 2 13
VP(*)= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
=
2 2
Vì các hệ số của các hạng tử ở hai vế chứa lũy thừa cùng bậc của m phải bằng nhau ta có:
Trang 42 0
A B
+ =
− =
− + + =
, giải ta tìm được A=1, B=-1; C=-2; D=-3; E=-4
Bài 4: (6 đ)
a) xét hai tam giác ABE và DBC, ta có:
AB=BD (gt)
BE=BC (gt)
ABE DBC 90 = =
Vậy ∆ ABE = ∆ DBC c g c ( − − ⇒ ) CD AE =
Gọi F là giao điểm của AE và CD, ta có:
EDF BDC = (đối đỉnh)
AEB BCD do ABE = ( ∆ = ∆ DBC )
EDF AEB BDC BCD
mà BDC BCD 90 · + · = 0 nên EDF AEB 90 · + · = 0 ⇒ DFE 90 · = 0 hay CD ⊥ AE
b) Gọi M’, I’, N’ lần lượt là hình chiếu của M, I, N xuống AC
ABE
∆ có M là trung điểm của AE, MM’//BE (cùng vuông góc với AC)
Nên MM’ là đường trung bình của ∆ ABE MM 1 BE
2 '
⇒ = hay 1
2 ' =
Chứng minh tương tự, ta có NN’ là đường trung bình của ∆ DBC NN 1 BD
2 '
⇒ = hay 1
2 ' =
Tứ giác MNM’N’ có MM’//NN’ (cùng vuông góc với AC) nên MNM’N’ là hình thang
I là trung điểm của MN, II’//MM’//NN’ (cùng vuông góc với AC) nên II’ là đường trung bình của hình thang MNM’N’
MM NN BC AB AC m
II
' '
⇒ = = = = (không đổi)
c) Vì ∆ ABE = ∆ DBC nên SABE = SDBC ⇒ SABE+ SDBC = 2SABE
mà ABE 1
2S 2 AB BE AB BE AB BC
2
Ta có:
AB BC − ≥ ⇔ 0 AB − 2 AB BC BC + ≥ ⇔ 0 AB + BC ≥ 2 AB BC
AB 2 AB BC BC 4 AB BC AB BC 4 AB BC
Trang 5Vì AB+BC=m (không đổi) nên
2
AC 4 AB BC m 4 AB BC AB BC
4
Dấu “=” xảy ra m
AB BC
2
= = ⇔B là trung điểm của đoạn AC Vậy max( ABE DBC) 2
m
4
+ = (đvdt) ⇔ B là trung điểm của đoạn AC
Bài 5: (4 đ)
a) Xét ∆ DHC và ∆ NHB có:
DHC NHB = (vì cùng phụ với góc ·CHN)
DCH NBH = (vì cùng phụ với góc ·HCB)
Do đó ∆ DHC : ∆ NHB (g-g)
b) ∆ MBHvà ∆ BCH có:
MHB BHC = ( = 90 )
BMH HBC = (vì cùng phụ với góc ·MBH)
Vậy ∆ MBH : ∆ BCH (g-g) MB HB
1
BC HC ( )
Mà NB HB
2
DC = HC ( ) (vì ∆ DHC : ∆ NHB)
và BC=DC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra MB=NB ⇒AM=CN
Suy ra AM.NB = NC.MB
