Đa tạp hai chiều trong E3 và ứng dụng

Đongthòi rèn luy¾n tư duy logic, tính chính xác và can th¾n cho mình.Dưói góc đ® m®t sinh viên sư pham chuyên ngành Toán và trongkhuôn kho cna bài khoá lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đưoc sn

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

Hà N®i - 2013

LèI CÁM ƠN

Em xin chân thành cám ơn các thay cô trong to Hình hoc, cácthay cô và các ban sinh viên trong khoa Toán Trưòng Đai Hoc SưPham Hà N®i 2, ban chn nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n cho

em hoàn thành tot khóa lu¾n này

Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Nguyen Năng Tâm,thay đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn thànhkhoá lu¾n này

Hà N®i, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Bùi Th% Nhung

LèI CAM ĐOAN

Khoá lu¾n này là ket quá cna bán thân em trong quá trình hoct¾p và nghiên cúu Bên canh đó, em đưoc sn quan tâm cna các thay

cô giáo trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn hưóng dan t¾n tình cna thayNguyen Năng Tâm

Trong khi nghiên cúu hoàn thành khoá lu¾n này em đã thamkháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo

Em xin khang đ%nh ket quá cna đe tài “Đa tap hai chieu trong

E3 và úng dung” không có sn trùng l¾p vói ket quá cna các đe tàikhác

Hà N®i, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Bùi Th% Nhung

Mnc lnc

Má

đau 4

Chương 1 M®t so kien th Nc c huan b% 6

1.1 Không gian Euclide 6

1.2 Hàm vectơ 8

1.2.1 Hàm v ectơ 8

1.2.2 M®t so phép toán đai so v e hàm v ectơ 8

1.2.3 Giói han cna hàm v ectơ 9

1.2.4 Đao hàm cna hàm v ectơ m®t bien 9

1.3 Trưòng vectơ trên không gian Euclide E n 11

1.3.1 V ectơ tiep xúc 11

1.3.2 T rưòng v ectơ tiep xúc 11

1.3.3 T rưòng m uc tiêu 12

1.4 Cung tham so 12

1.5 Cung và cung đ%nh hưóng 15

1.5.1 Cung 15

1.5.2 Cung đ%nh hưóng 15

1.6 Cung c hính quy 16

1.6.1 Điem chính quy, điem kì d% 16

1.6.2 Cung chính quy, m®t dìm 16

1.7 Cung song c hính quy 17

1.8 Cung hình hoc .17

1.8.1 Cung hình hoc 17

1.8.2 Cung tham so kieu đo th% 18

1.9 Đưòng hình hoc .20

1.9.1 Đưòng hình ho c 20

1.9.2 Dau hi¾ u nh¾n biet m®t t¾p điem là đưòng hình ho c 21

1.10 Đưòng xác đ%nh b ói phương trình an 22

1.10.1 Đưòng xác đ%nh bói phương trình an trong E 2 .22

1.10.2 Đưòng xác đ%nh bói phương trình an trong E 3 .22

1.11 Mánh tham so 23

1.11.1 Mánh tham so 23

1.11.2 Điem chính quy, điem kì d%, mánh chính quy 23

1.12 Mánh hình hoc .24

1.12.1 Mánh hình hoc .24

1.12.2 Mánh tham so kieu đo th% 24

Chương 2 Đa tap hai chieu trong E 3 .

31 2.1 Đa tap 31

2.2 Đa tap hai chieu trong E 3 32

2.3 Dau hi¾u nh¾n biet m® t t¾p điem là đa tap hai c hieu trong E 3 32

Chương 3 Úng dnng cúa đa tap hai chieu trong E 3 36 3.1 Bài t¾p áp dung dau hi¾u nh ¾n biet 36

3.1.1 Áp dung dau hi¾u 1 36

3.1.2 Áp dung dau hi¾u 2 45 3.1.3 Áp dung dau hi¾u 3 57

3.2 Bài t¾p áp dung mánh hình h oc là đa tap hai c hieu 643.3 M®t so bài t¾p khá c 76

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Đa tap hai chieu trong E3 là m®t máng kien thúc trong mônhình hoc vi phân, đóng vai trò quan trong trong toán hoc

Sau khi hoc xong chương trình toán dành cho cú nhân sư pham,đ¾c bi¾t là sau khi hoc xong môn hình hoc vi phân, em mong muon

hoc hói và tìm hieu sâu thêm ve đa tap hai chieu trong E3 và úngdung cna nó Tù đó, xây dnng m®t h¾ thong bài t¾p ve đa tap hai

chieu trong E3 đay đn nhat cho bán thân theo tùng dang Đongthòi rèn luy¾n tư duy logic, tính chính xác và can th¾n cho mình.Dưói góc đ® m®t sinh viên sư pham chuyên ngành Toán và trongkhuôn kho cna bài khoá lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đưoc sn hưóngdan t¾n tình cna thay Nguyen Năng Tâm em đã chon đe tài “Đa

tap hai chieu trong E3 và úng dung” Hy vong, đe tài này giúp em

có cơ h®i hoc t¾p tot hơn

2 Mnc đích nghiên cNu cúa đe tài

Muc đích chính cna đe tài là h¾ thong lai nhung lý thuyet cơbán và phân dang các bài t¾p m®t cách chi tiet nhat ve đa tap hai

chieu trong E3

3 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong nghiên cúu là đa tap hai chieu trong E3

Pham vi nghiên cúu là lý thuyet và bài t¾p ve đa tap hai chieu

trong E3

6 Nhi¾m vn nghiên cNu cúa đe tài

H¾ thong lai nhung lý thuyet cơ bán ve đa tap hai chieu trong

H¾ thong các dang bài t¾p ve đa tap hai chieu trong E3

7 Phương pháp nghiên cNu

Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các khái ni¾m, tính chat

8 Cau trúc khóa lu¾n

Khóa lu¾n gom 3 chương:

Chương 1 M®t so kien thúc chuan b%

Chương 2 Đa tap hai chieu trong E3

Chương 3 Úng dung cna đa tap hai chieu trong E3

Chương 1

M®t so kien thNc chuan b%

Chương này trình bày m®t so đ%nh nghĩa và đ%nh lý: không gian

Euclide, hàm vectơ, trưòng vectơ trên không gian Euclide E n, cungtham so, cung và cung đ%nh hưóng, cung chính quy, cung song chínhquy, cung hình hoc, đưòng hình hoc, đưòng xác đ%nh bói phươngtrình an, mánh tham so, mánh hình hoc

1.1 Không gian Euclide

Đ%nh nghĩa 1.1 Không gian vectơ n −chieu trên trưòng so thnc goi là không gian vectơ Euclide n −chieu, kí hi¾u là →− E n neu vóimoi c¾p có thú tn .→−a , →−b thu®c →−

E n × →− E n xác đ

%nh m®t so thnc goi là tích vô hưóng cna hai vectơ →−a , →−

b Kí hi¾u là →−a →−

thóa mãn tiên đe sau:

Vói moi →−a , →−

(iii) (λ→−a ) →− b = λ( →− b →−a ),

(iv) →−a →−a ≥ 0, dau bang xáy ra khi và chí khi →−a là

vectơ không

Đ%nh nghĩa 1.2 Không gian Euclide n −chieu E n là không gian

afin liên ket vói không gian vectơ Euclide n −chieu →− E n

Nh¾n xét 1.1 Vói moi điem M thu®c →−E n, moi

Muc tiêu (0, →−e i )n, trong đó

không gian

1.2 Hàm vectơ

1.2.1 Hàm vectơ

Đ%nh nghĩa 1.5 Cho t¾p mó U ⊂ R m, (m ≥ 1) Moi ánh xa

đưoc xét vói tôpô thông thưòng và →−

E n là không gian vectơ

Ta goi ϕ i : U → R, p ›→ ϕ i (p) là hàm toa đ® i cna ϕ Vì

Khi đó có the xác đ%nh thêm tích có hưóng cna hai hàm vectơ

1.2.3 Giái han cúa hàm vectơ

Đ%nh nghĩa 1.8 Cho hàm vectơ →−ϕ : U → →−E n , điem p ∈

U Nói rang vectơ →−v

Nh¾n xét 1.2 Neu lim→−ϕ (x) = →−ϕ (p) thì nói ϕ liên tuc tai p Khi

x→p

→−ϕ liên tuc tai moi p ∈ U thì nói →−ϕ liên tuc trên U

Neu đã cho m®t h¾ toa đ® trong →−E n

1.2.4 Đao hàm cúa hàm vectơ m®t bien

Đ%nh nghĩa 1.9 Kí hi¾u J là khoáng, đoan, núa khoáng cna R

(ke cá trưòng hop J có mút ∞ hay −∞) và goi là khoáng tong quát

cna R Xét hàm vectơ →−ϕ : J → →− E n Cho t o ∈ J Neu ton

lim t→t o t −

t o

= →−v , thì giói han →−v này goi là đao hàm cúa ϕ tai t o và kí hi¾u là

Thưòng viet ∆t = t − to và giói han trên đưoc viet thành

Đ%nh nghĩa 1.10 Đ%nh nghĩa đao hàm cap cao theo quy nap: Giá

sú ϕ (k) xác đ%nh tai lân c¾n t o thì ϕ (k) là m®t hàm vectơ tai lân c¾n

đó và giá sú hàm này có đao hàm tai t o , kí hi¾u là ϕ (k+1) (t o) thì

ϕ (k+1) (t o) =

hàm khá vi f : J → R thì có các đang thúc sau (khi đao hàm ó ve

phái ton tai thì đao hàm ó ve trái ton tai):

lân c¾n liên thôn nào đó nam trong J

Nói riêng khi n = 3, ta có

c¾p (p, →−α ) đưoc goi là m®t vectơ tiep

(p, →−α ) = α p Kí hi¾u T p E n = {p} ×

→−

E n và đưoc goi là không gian

tiep xúc vói E n tai p T p E n có cau trúc không gian vectơ Euclide m®t cách tn nhiên chuyen tù −

n

1.3.2 Trưàng vectơ tiep xúc

Đ%nh nghĩa 1.12 Neu U là t¾p mó trong

E n , đ¾t T U = U × →− E n

và goi là không gian các vectơ tiep xúc cna

U , hay phân thó tiep xúc trên U.

ánh xa

→ T

−

− (→

.

Neu hàm

− X

Đ%nh nghĩa 1.13 Giá sú U là t¾p mó trong E n Ho n trưòng vectơ

moi p ∈ U, {X1(p), ., X n (p)} là cơ só cna không gian vectơ

T p E n Khi moi X i là trưòng vectơ song song, thì trưòng muc tiêu

= (p, →−e i),

là trưòng muc tiêu chính tac trên U (úng vói cơ só đó).

1.4 Cung tham so

Đ%nh nghĩa 1.14 Cho J là m®t khoáng tong quát cna R Moi ánh

xa ρ : J → E n goi là m®t cung tham so trong E n T¾p điem ρ(J ) goi là ánh cúa cung đó, còn J goi là mien tham so cna ρ.

Đ%nh nghĩa 1.15 Lay điem O co đ%nh cna E n ta l¾p đưoc hàm

vectơ cna ρ úng vói goc Q nào đó.

V¾y tính khá vi và đao hàm cna hàm bán kính vectơ không phu

thu®c vào cách chon goc Vì the ngưòi ta nói ρ khá vi khi →−

−

(→ t) khá

vi lóp C k

Đ%nh nghĩa 1.16 Giá sú ρ : J → E n là m®t cung tham so

Khi đó ánh xa X : J → T E n sao cho vói moi t ∈ J ,

X (t) = .ρ (t), →− X t ∈ T p(t) E n đưoc goi là trưòng vectơ doc ρ.

trưòng vectơ tiep xúc doc ρ.

Nh¾n xét 1.4 Trong không gian afin neu có →−v = − O −

1) Cung hang: ρ(t) = M o , ó đây M o là m®t điem co đ%nh cna E n

2) Cung thang: ρ(t) = M o + t→−v , (M o là m®t điem co đ%nh cna

E n còn →−v ƒ= →−0 là m®t vectơ không đoi cna →− E n)

o

3) Cung tròn: ρ(t) = O + r(cost→−e1 + sint→−e2 ), (r là m®t

hang so dương, (O, →−e 1 , →−e 2) là m®t muc tiêu trnc chuan

cna E2)

4) Cung elip: ρ(t) = O + acost→−e1 + bsint→−e2 , (a, b > 0, (O,

là m®t muc tiêu trnc chuan cna E2)

5) Cung hypebol: r(t) = O + acht→−e 1 + bsht→−e 2, (a ƒ=

0, b ƒ= 0, (O, →−e1 , →−e 2) là m®t muc tiêu trnc chuan cna

E2 Tùy theo a > 0 hay a < 0 mà ánh cna nó là nhánh phái hay

m®t muc tiêu trnc chuan cna E2) 2η →−e2 , (η ƒ= 0, (O,

7) Cung đinh oc tròn (đinh oc tru): ρ(t) = (acost, asint, bt), (a >

0, b ƒ= 0) (toa đ® ó đây là toa đ® Descartes vuông góc trong

E3) Ánh cna cung nam trên m¾t tru tròn xoay x2 + y2 = a2

8) Cung đinh oc nón: ρ(t) = a(tcost, tsint, t), (a ƒ= 0) (toa đ® ó đây là toa đ® Descartes vuông góc trong E3) Ánh cna cung nam

A (−a, 0), ρ(J ) nh¾n truc hoành làm truc đoi xúng vì ρ(t) và ρ(−t)

đoi xúng vói nhau qua truc hoành

Vói x = a không có t tương úng vói x Do đó de thay ρ(J )

có ti¾m c¾n đúng x = a và nam trong giái −a ™ x ™ a.

1.5 Cung và cung đ%nh hưáng

1.5.1 Cung

Đ%nh nghĩa 1.17 Cho hai cung tham so ρ : J → E n , γ : I → E n

Neu có m®t vi phôi λ : J → I (túc λ là song ánh khá vi mà λ −1 cũng khá vi) sao cho ρ = γ ◦ λ thì ta nói ρ tương đương vói γ và viet ρ ∼ γ Rõ ràng quan h¾ tương đương này là tương đương theo

lí thuyet t¾p hop Moi lóp tương đương theo quan h¾ đó đưoc goi

là m®t cung.

Vi phôi λ goi là phép đoi tham so tù ρ sang γ.

Moi cung tham so đai di¾n cho cung goi là m®t tham so hóa cna

cung đó

1.5.2 Cung đ%nh hưáng

Đ%nh nghĩa 1.18 Cho hai cung tham so tương đương ρ : J → E n,

γ : I → E n Giá sú λ : J → I là phép đoi tham so tù ρ sang γ thì

λ đơn đi¾u tăng ho¾c đơn đi¾u giám (vì λ là vi phôi) Suy ra ho¾c

λ r (t) > 0 vói ∀t ∈ J ho¾c λ r (t) < 0 vói ∀t ∈ J Neu λ r (t) > 0 ta nói λ là phép đoi tham so báo ton hưóng và nói ρ và γ cùng hưóng Neu λ r (t) < 0 ta nói λ là phép đoi tham so đáo hưóng và nói ρ và

γ ngưoc hưóng Rõ ràng quan h¾ cùng hưóng là m®t quan h¾ tương

đương theo lí thuyet t¾p hop Moi lóp tương đương theo quan h¾

này goi là m®t cung đ%nh hưóng.

V¾y cung đ%nh hưóng là t¾p hop tat cá các cung tham so tương

đương cùng hưóng vói m®t cung tham so ρ : J → E n Ta goi

ρ : J → E n là m®t đai di¾n hay m®t tham so hóa cna cung đ%nh

hưóng đó

Nh¾n xét 1.5 Hai cung đ%nh hưóng đưoc goi là ngưoc hưóng neu

có hai tham so hóa ngưoc hưóng

Tù đây tró đi ta nói cho cung (hay cho cung đ%nh hưóng ) ρ(Γ) cũng có nghĩa là cho m®t tham so hóa ρ : J → E n cna nó

1.6 Cung chính quy

1.6.1 Điem chính quy, điem kì d%

Đ%nh nghĩa 1.19 Cho cung Γ có tham so hóa ρ : J → E n Điem

ρ (t o ) (nói tat là điem t o ) đưoc goi là điem chính quy cna ρ neu

Đ%nh nghĩa 1.20 M®t cung mà moi điem cna nó đeu là điem chính

quy đưoc goi là cung chính quy.

Đ%nh nghĩa 1.21 Khi ρ r (t o ) ƒ= →− 0 , ánh xa ρ đưoc goi là

m®t dìm

tai t o Ánh xa ρ đưoc goi là m®t dìm neu nó là dìm tai moi điem.

1.7 Cung song chính quy

Đ%nh nghĩa 1.22 Cho cung Γ có tham so hóa ρ : J → E n,

Neu moi điem cna cung đeu song chính quy thì cung goi là cung song chính quy.

1.8 Cung hình hoc

1.8.1 Cung hình hoc

Đ%nh nghĩa 1.23 Cho cung tham so chính quy ρ : J → E n Neu

ρ : J → ρ(J ) ⊂ E n là m®t dìm và là m®t đong phôi lên ρ(J )

(đong phôi là m®t song ánh liên tuc và ánh xa ngưoc cũng liên

tuc) thì t¾p điem ρ(J ) goi là m®t cung hình hoc còn ρ goi là m®t

tham so hóa cna cung hình hoc đó

Neu ρ : J → ρ(J ) là m®t đong phôi thì ngưòi ta còn nói

ρ : J → E n là m®t đong phôi lên ánh

é đây ρ(J ) đưoc xét vói tôpô cám sinh tù tôpô trong E n

Ví dn 1.2.

1) Đưòng thang, đưòng parabol, m®t nhánh cna hypebol, đưòng đinh

oc tròn, đưòng đinh oc nón là nhung cunh hình hoc

2) Đưòng tròn, đưòng elip, đưòng hypebol không phái là cung hình hoc mà chí là ánh cna cung tham so

1.8.2 Cung tham so kieu đo th%

Đ%nh nghĩa 1.24 Trong E n cho m®t h¾ toa đ® afin (x1 , , x n)

Cung tham so ρ : J → E n mà tham so là m®t toa đ® nào đó, chang

han ρ(x1) = (x1 , x2(x1), , xn (x1)), goi là cung tham so kieu đo th

Đ%nh lý 1.3 Ánh cna m®t cung tham so kieu đo th% là m®t cung

hình hoc

afin cna E n Vì ρ r (t) = (1, xr (t), , xr (t)) ƒ= →− 0 nên ρ là cung

Lay điem M o = (t o , x2(to ), , x n (t o )) ta chúng minh ρ −1 liên tuc

tai M o Cho ε > 0 lay σ = ε thì vói moi điem M = (t, x2(t), ,

x n (t)) sao cho d(M, M o ) < σ = ε đeu có

d .ρ −1 (M ), ρ −1 (M o) = |t − t o | ≤ ,(t − t o)2 + + (x n (t) −

x n (t o))2

= d(M, M o ) < ε V¾y ρ −1 liên tuc tai M o

Vì ρ là đơn ánh liên tuc và ρ −1 : ρ(J ) → J liên tuc nên ρ là đong

phôi lên ánh

V¾y ρ(J ) là m®t cung hình hoc.

Đ%nh lý 1.4 Cho cung hình hoc có tham so hóa ρ : J → E n Vói

moi t o ∈ J có lân c¾n I cna t o , I ⊂ J và m®t cung tham so kieu

đo th% ρ˜ : I → E n tương đương vói ρ han che trên I (Nói tat: tai

m®t

điem bat kì cna cung hình hoc đeu có m®t lân c¾n đưoc xác đ%nhbói m®t tham so hóa kieu đo th%)

ρ (t) = (x1(t), , x n (t)) Vì ρ r (t o ) ƒ= →− 0 nên có the giá sú xr

(t o ) ƒ= 0.

Theo đ%nh lý hàm ngưoc, có lân c¾n A cna x1(t o ) đe vói moi X1 ∈

trong đó g là m®t hàm khá vi và g : A → g(A) là m®t vi phôi.

Do đó ρ(t) = ρ (g(X1)) = (X1 , X2.g (X1), , X n g (X1)) là

m®t

cung tham so kieu đo th%, có mien tham so A Đ¾t I = g(A) thì h¾ thúc ρ˜ = ρ ◦ g chúng tó rang ρ˜ và ρ han che trên I là tương đương bói phép đoi tham so g : A → I = g(A).

Đ%nh lý 1.5 Hai tham so hóa bat kì cna m®t cung hình hoc luôn

luôn tương đương

r : I → E n , u ›→ r(u) cna cùng m®t cung hình hoc Γ ⊂ E n thì ρ(J ) = r(I) = Γ Vì ρ và r là nhung đong phôi nên có the l¾p ánh xa λ = ρ −1 ◦ r : I → J , λ(u) = t và λ là m®t đong phôi Chí can chúng minh rang λ và λ −1 khá vi thì λ là m®t vi phôi và do đó ρ tương đương vói r.

1

Muon v¾y lay m®t h¾ toa đ® afin cna E n Giá sú cung r có

phương trình tham so r(u) = (x1(u), , x n (u)) Vói u o ∈ I, t o =

λ (u o) có lân

c¾n V (t o ) đe có the xem ρ là cung tham so kieu đo th% tai lân c¾n đó (xem đ%nh lý 1.5); nghĩa là tai lân c¾n V , cung ρ có phương trình tham so dang ρ(t) = (t, y2(t), , y n (t)) Vì r = ρ ◦ λ nên tai

ta có

r (u) = ρ ◦ λ(u) = (λ(u), y2(λ(u)), , y n (λ(u)))

= (x1(u), x2(u), , x n (u)) Suy ra λ(u) = x1(u) Vì x1 , , x n là nhung hàm khá vi nên λ =

tap m®t chieu) neu vói moi điem M ∈ γ có m®t t¾p mó U cna

E n chúa M sao cho U ∩ γ là m®t cung hình hoc Moi tham so hóa cna cung hình hoc này goi là m®t tham so hóa đ%a phương tai M

cna γ Ví dn 1.3.

1) Moi cung hình hoc là m®t đưòng hình hoc

2) Đưòng tròn, đưòng elip, đưòng hypebol là nhung đưòng hình hoc.3) Đưòng gap khúc, hai đưòng tròn tiep xúc nhau không phái làđưòng hình hoc.

1.9.2 Dau hi¾u nh¾n biet m®t t¾p điem là đưàng hình hoc

a Dau hi¾u trong E2

Cho h¾ toa đ® afin (x, y) cna E2 T¾p điem γ cna E2 là m®t

đưòng hình hoc khi và chí khi tai moi điem M o cna γ có m®t t¾p

mó U cna E2 chúa M o và m®t hàm khá vi F : U → R sao cho tai moi điem M (x, y) ∈ U ta có:

∂y

ƒ= 0 và U ∩ γ = {M (x, y) ∈ U : F (x, y) = 0}.

b Dau hi¾u trong E3

Cho h¾ toa đ® afin (x, y, z) cna E3 T¾p điem γ cna E3 là m®t

đưòng hình hoc khi và chí khi tai moi điem M o cna γ có m®t t¾p

mó U cna E3 chúa M o và hai hàm khá vi F : U → R, G : U → R sao cho tai moi điem M (x, y, z) ∈ U ta có:

1.10 Đưàng xác đ%nh bái phương trình an

1.10.1 Đưàng xác đ%nh bái phương trình an trong E2

Đ%nh nghĩa 1.26 Trong E2 cho muc tiêu toa đ® afin Oxy, t¾p

mó U và hàm khá vi F : U → R, M (x, y) ›→ F (x, y) T¾p hop

= 0 đưoc goi là đưòng phang xác đ%nh bói phương trình an F (x,

y ) = 0 Điem M o (x o , y o ) ∈ γ goi là điem chính quy hay điem kì d

1.10.2 Đưàng xác đ%nh bái phương trình an trong E3

Đ%nh nghĩa 1.27 Trong E3 cho h¾ toa đ® afin Oxyz, t¾p mó

∂F điem kì d% tùy theo ma tr¾n ∂x

1.11 Mánh tham so

1.11.1 Mánh tham so

Đ%nh nghĩa 1.28 Giá sú U là m®t t¾p mó khác ∅ cna R2 và

r : U → E n, (n ≥ 2) là m®t ánh xa: (u, v) ∈ U ›→ r(u, v) ∈ E n.Vói moi điem (u o , v o ) ∈ U thì các t¾p hop A = {u : (u, v o ) ∈

ánh xa:

r1 : A → E n , u ›→ r1(u) = r(u,

v o ),

r2 : B → E n , v ›→ r2(v) = r(uo , v)

là hop nhung cung tham so cna E n

Ta đã biet khái ni¾m đao hàm cap k cna cung tham so Ta goi ánh xa r : U → E n là m®t mánh tham so cna E n T¾p U goi

là mien tham so hay mien xác đ%nh cna mánh Cung r1 và r2 goi

là hai cung toa đ® cna mánh r tai điem (u o , v o) và còn goi là

cung v = v o (thay cho r1 ), cung u = u o (thay cho r2).

∂r Thưòng kí hi¾u rr (u o ) là rr (u o , v o)

Đ%nh nghĩa 1.29 Cho mánh tham so r : U → E n, (u, v) ›→ r(u, v).Điem (u o , v o ) ∈ U (hay điem r(u o , v o ) ∈ E n ) goi là điem chính quy

→−r r (u o , v o) đ®c l¾p tuyen tính

Điem không chính quy cna r đưoc goi là điem kì d% cúa r Neu moi điem cna U đeu là điem chính quy thì r đưoc goi là mánh chính quy.

Đ%nh nghĩa 1.30 Neu r : U → E n là m®t mánh tham so chính quy

và r : U → r(U ) là m®t ánh xa đong phôi thì t¾p điem r(U ) = (S) goi là m®t mánh hình hoc và r goi là m®t tham so hóa cna S.

Khi r : U → r(U ) là m®t đong phôi ngưòi ta cũng nói r : U → E n

là m®t đong phôi lên ánh

1.12.2 Mánh tham so kieu đo th%

Đ%nh nghĩa 1.31 Giá sú trong E n cho m®t h¾ toa đ® afin (x1, , x n)

và U là m®t t¾p mó trong m¾t phang R2 = {(x i , x j ), i ƒ= j} thì

m®t

mánh tham so r : U → E n có bieu thúc toa đ® dang

r (x i , x j ) = (f1(x i , x j ), , x i , , x j , , f n (x i , x j ))

nghĩa là r(x i , x j ) = (f1(x i , x j ), , f n (x i , x j )) trong đó f i (x i , x j ) = x i , f j (x i , x j ) = x j đưoc goi là mánh tham so kieu đo th%

(hai toa đ® x i , x j đưoc lay làm hai tham so)

Ví dn 1.5.

1) Mánh tham so r : R2 → E3, r(x, y) = (x, y, c) là m®t mánh tham

so kieu đo th% Ánh r(R2) là m®t m¾t phang

2) Mánh tham so r : R2 → E3, r(x, y) = (x, y, ax2 + by2 + c) là m®t mánh tham so kieu đo th% Ánh r(R2) là m¾t parabôlôit eliptic

hay parabôlôit hypebôlic (tùy theo ab > 0 hay ab < 0).

Đ%nh lý 1.6 Neu r : U → E n là m®t mánh tham so kieu đo th%

đ®c l¾p tuyen tính nên r là mánh chính quy.

Tiep theo ta chúng minh r : U → r(U ) là đong phôi.

(x1 , x2, f3(x1, x2), , fn (x1 , x2)) = (x˜1, x˜2, f3(x˜1, x˜2), ,

f n (x˜1 , x˜2))