Nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều

i=1 LèIMeĐAU Giáitíchbienphândnatrêncáckháini¾mc bánnh nónphápơnsâusactói ưoc tuyenkhôngloi, d óiưoc viphânkhôngloi,vàđoiđaohàmquagióihandotácgiá B.S.Mordukhovichđexuatđãthuhútđ ocưoc sn

tr òngưoc ĐaihocS phamHàưoc N®i2nóichung,đãtaođieuki¾nchotôitrongsuotquátrìnhhoct¾pvànghiêncúutaitr òng.ưoc

Tôixinbàytólòngbiet nơnsâusactói sâusactóigiađìnhtôivànhungng òiđãưoc giúpđõtôi,đ®ngviêntôitrongsuotquátrìnhhoct¾pvàhoànthànhkhóalu¾nnày

Sinhviên

TNVănKhanh

Mé đau 1

Chương1.KienthNcchuanb% 4

1.1 KienthúccơbánvekhônggianRn 4

1.2 T¾ploi,nónloi,hàmloi 7

1.3 Hàmloiđ%aphưocơnsâusactói 9ng 1.4 Cácđ%nhlýtách 10

1.5 Ánhxađatr% 11

Chương2.Pháptuyencúat¾phep 12

2.1 Đ%nhnghĩavàcáctínhchatc bánơnsâusactói 12

2.2 Phéptínhcácpháptuyensuyr®ng 29

Chương3.NguyênlýcNctr% 32

3.1 H¾cnctr% 32

3.2 Cácnguyênlýcnctr% 37

3.3 Nguyênlýcnctr%trongkhônggianhuuhanchieu 40

Ketlu¾n 49

Tàili¾uthamkháo 50

B hìnhcauđóngđ nơnsâusactói v%trongkhônggianX

Bε hìnhcauđóngđ nơnsâusactói v%tâm0bánkínhε

i=1

LèIMeĐAU

Giáitíchbienphândnatrêncáckháini¾mc bánnh nónphápơnsâusactói ưoc tuyenkhôngloi,

d óiưoc viphânkhôngloi,vàđoiđaohàmquagióihandotácgiá

B.S.Mordukhovichđexuatđãthuhútđ ocưoc snquantâmđ¾cbi¾tcúanhieunhómnghiêncúutrênthegiói.PhancơnsâusactóisólýthuyetcúaGiáitíchbienphânđ ocưoc trìnhbàytrong4c

hưocơnsâusactói đau(T¾p1),phanúngdnngđ ocng ưoc trìnhbàytrong4chưocơnsâusactói cuoi(T¾p2)cúangb®sách[5,6]vóitongc®ngh nơnsâusactói 1200trangin.LýthuyetnàylàsnkethopcúaGiáitíchkhôngtr nơnsâusactói vàGiáitíchđatr%

Cácnguyênlýcnctr

%súdnngnónpháptuyenkhôngloilàcơnsâusactóisóđexâydnngcácquytactínhtoánvàcácđ

%nhlýcơnsâusactóisócúagiáitíchbienphân.Theo[5,trang249],nguyênlýcnctr

%chotr ònghopkhônggianEuclidehuuhanưoc

chieu-d óitênưoc goilà"ph ương trìnhEulersuyr®ng"- ng

đãđ ocưoc KrugervàMordukhovich[2]đ araưoc năm1980.Ketquánàycónguongoctrongcôngtrìnhđ occôngưoc bonăm1976cúaMordukhovich[3].Têngoi"ngu

%,óđónónpháptuyenFréchetvàt¾pcácε-pháptuyenFréchetđ ocsúdnngưoc thaychon ó n pháptuyenquagióihan.

Làm®tsinhviênkhoaToán,tôimongmuontìmhieusâuh nơnsâusactói vekienthúcToánhocnóiriêngvàcáclĩnhvnckhoahockháccúađòisongnóichung.Vóimncđíchlàmtăngthêmsnhieubietvecácnguyênlýcnctr

%trongkhônggianhuuchieu,cũnglàđetíchlũykinhnghi¾mchobánthânđephncvnchocôngtáchoct¾p,giángdaysaunày,đongthòigióithi¾uchocácbansinhviêncócáinhìntongquanvàsâusach nơnsâusactói vecácnguyênlýcnctr%trongkhônggianhuuhanchieu.Vìnhunglýdotrên,cùngvóisngópý,đ®ngviên,giúpđõt¾ntìnhcúacácthaycô,đ¾cbi¾tlàthayThS.NguyenQuocTuanvàc®ngthêmsnđammêcúabánthân,tôiđãmanhdannghiêncúuđetài

"NguyênlýcNctr%trongkhônggianhÑuhanchieu".

hieuvecáchtínhnónpháptuyencúam®tt¾phop(cóthelàt¾ploiho¾ct¾pkhôngl o i ) Khóalu¾nbaogomlòimóđau,bachưocơnsâusactóing,phanketlu¾n,vàdanhmnctàili¾uthamkháo

Chưocơnsâusactói 1.Trìnhbàycáckienthúccơnsâusactóibán(cáckienthúcvet¾ploi,hàmloi,ánhxađngatr% )

Chưocơnsâusactói 2.Trìnhbàycáckháini¾mε-ng

pháptuyensuyr®ngvànónpháptuyenquagióihancúat¾phopbatkỳ(cóthelàkhôngloi)trongkhônggianRn

Chưocơnsâusactói 3.Trìnhbàycáckháini¾mveh¾cnctrng

%,kháini¾mtáchcáct¾phop(cóthelàkhôngloi)vàbanguyênlýcnctr%

(nguyênlýcnctr%chínhxác,nguyênlýcnctr%xapxí,nguyênlýε-cnctr

%)trongkhônggianRn

Tôixinđ ocưoc bàytólòngbiet nơnsâusactói

sâusactóiThS.NguyenQuocTuan-ng òiưoc đãt¾ntìnhh óngưoc dan,giúptôitrongsuotquatrìnhthnchi¾nkhóalu¾n.Đongthòi,tôixinchânthànhcám nơnsâusactói cácthaycôtrongtoGiáitích,cácthaycôtrongkhoaToán,giađìnhtôivànhungng òiđãgiúpưoc đõ,đ®ngviêntôitrongsuotquátrìnhhoct¾pvàhoànthànhkhóalu¾nnày

HàN®i,tháng05năm2013

Sinhviên

TNVănKhanh

a+b=(a1+b1,a2+b2, ,a n +b n ),

vàtađ

%nhnghĩatíchcúađiemavóim®tsothncλ,kýhi¾uλa,làm®tđiemt r o n g R nvóicáctoađ®là

λa=(λa1,λa2, ,λa n ).

Quy óc:ưoc kýhi¾u0làđiemcótatcácáctoađ®bang0vàgoilàđiemgoc,còn

−alàđiem(−1)a(túclàđiemcótoađ®ng oc ưoc dauvóicáctoađ®điema).

Đ%nhnghĩa1.2(Tíchvôh óng)ưoc .Tíchvôh óngcúaưoc haivéctơnsâusactóia=(a1,a2, ,a n)

Nh¾nxét1.1 Tíchvôh óngưoc trongđ%nhnghĩa1.2vàchuantrongđ

%nhnghĩa1.3tưocơnsâusactóingúngđ ocưoc goilàtíchvôh óngưoc vàchuanEuclide.Ngoàira,trongRnchúngtacòncóthetrangb

%đ ocưoc ratnhieucáctíchvôh óngưoc vàcácchuankhác

|x1y1+x2y2+···+x n y n |≤ x2+x2+···+x2 y2+y2+···+y2.

1 2 n 1 2 n

(A ∗ y,x)=(y,Ax),∀y∈R m ,∀x∈R n

Đ%nhnghĩa1.9(Khônggianliênhop).TagoikhônggianL(R n ,R)các

phiemhàmtuyentínhliêntnctrênkhônggianRnlàkhônggianliênhop(haykhônggianđoingau)cúakhônggianRnvàkíhi¾u(Rn)∗tha ychokýhi¾uL(R n ,R)

Nh¾nxét1.2.N g ư ò i tađãchúngminhđ ocưoc rangkhônggianđoingau(R

n)∗cúa không gianRnđang cauvóikhông gianRn.Vìv¾y,ta có thecoikhônggianđoingau(Rn)∗cúakhônggianRnchínhlàkhônggianRn

Nh¾nxét1.4 T¾pAlàloineuvóimoix1,x2∈Athì[x1,x2]∈A.

M¾nhđe1.1.G i á súA α ⊂R n (α∈I)làcáct¾ploi,vóiIlàt¾pchísobat

kỳ.Khiđó,t¾pA=T

∈ A αcũnglàt¾ploi

Tùđ%nhnghĩa1.10tanh¾nđ ocưoc cácm¾nhđe1.2,1.3,1.4

M¾nhđe1.2.G i á sút¾ploiA i ⊂R n ,λ i ∈R,(i=1, ,m).Khiđó,t¾p

thu®cK.NónKđ oc ư goilànóncóđínhtaix0neuK–

%nhnghĩa1.16.Mienhuuhi¾u(effectivedomain)cúahàmf,kíhi¾ulàdo m f,đ ocưoc xácđ%nhbói

gianRn ,A ∩ B=0/,intAƒ=0/ Khiđó,tontaix ∗ ∈R n ,x ∗ ƒ=0táchAvàB.

%).ChoF:R n ⇒R m làánhxatùR n vàot¾phopgomtoànb®cáct¾pconcúaR m (đ oc ư

kýhi¾ulà2Rm).TanóiFlàánhxađatr%tùR n vàoR m

Nhưocv¾y,vóimoiphantúx∈R nánh F(x)làm®tt¾phopconcúaR m.Do đó,

khôngloaitrùkhá nănglàvóim®t sophan túx∈R nnàođó

Đ%nhnghĩa2.1(Pháptuyensuyr®ng).ChoΩ∈R n làt¾pconkhácrong.

ácpháptuyenFréchetđ ocưoc goilànónpháptuyenFréchetcúaΩtai

x,vàđ ockíhi¾ubóiưoc Nˆ (x;Ω).Neux∈/Ω,thìtaquy óc ưoc rangNˆ ε( x;Ω)=0/.

(ii) Chox∈Ω.Khiđóx ∗∈ R nđ ư o cgoilàpháptuyencơnsâusactóibán(basicnorm

đ ocưoc goilànónpháptuyenquagióihan(haynónpháptuyenc bán,nónơnsâusactói pháptuye

Tr òng ư hop1:Neux ∗ ∈ Ω2,khiđótachonu=kx ∗ vóimoisothnckƒ=0ta

thuđ ocưoc cos(x ∗ ,u)=1nêntacó"x ∗ "≤ε.

(x ∗ ,u−x)=(x ∗ ,u)="x ∗ ""u"cos(x ∗ ,u)và" u − x"="u".

Tr òng ư hop1:Neux ∗ ∈ Ω3,khiđótachonu=kx ∗ vóimoisothnckƒ=0ta

thuđ ocưoc cos(x ∗ ,u)=1nêntacó"x ∗ "≤ε.

M¾nh đe2.1.C h o xbatkìvóix=(x1,x2)∈Ω1×Ω2⊂R n ×R m.Khiđó,tacó:

Nˆ (x;Ω1×Ω2)=Nˆ(x1;Ω1)×Nˆ(x2;Ω2),

N (x;Ω1×Ω2)=N(x1;Ω1)×N(x2;Ω2).

KhiΩlàt¾ploi,nónpháptuyenFréchettrùngvóinónpháptuyentheonghĩaGiáitíchloi[9].Cntheh n,ơnsâusactói tacóm¾nhđe2.2

M¾nhđe2.2(ε-pháptuyencúat¾ploi).ChoΩlàm®tt¾ploitrongR n.Khiđó,tacó

Nˆ ε (x;Ω)={x ∗ ∈ R n | (x ∗ ,x− x)≤ε"x− x",∀x∈Ω}

theonghĩaGiáitíchloi

TacanchúngminhrangM=Nˆ ε( x;Ω).HiennhiêntacóM⊂Nˆ ε( x;Ω).Dođó,

tachícanchúngtórangNˆ ε( x;Ω)⊂M.Laytùyýu ∗∈ Nˆ ε( x;Ω)vàcođ

%aph ngưocơnsâusactói xungquanhđiemđó,túclàtontailânc¾nU⊂R ncúa xsao choΩ∩Ulàm®tt

Sauđâychúngtatìmhieuhaidangbieudienđ¾cbi¾tcúanónpháptuyenquagióihantrongtr ònghopưoc Ωlàt¾pđóngcúakhônggianhuuhanchieuRn.Docácchuantrongkhônggianhuuhanchieulàt ngđ ngưocơnsâusactói ưocơnsâusactói vóinhaunêntaquy ócưoc chonchuanEuclide

k

k

k k

Súdnngsnh®itnω k→ x kkhi α↓0,đ%nhnghĩacúacácvéctơnsâusactóiε k-pháptuyen,

vàtínhchatx ∗ ∈ Nˆ ε (x k;Ω),tachonđ ocưoc dãysodưocơnsâusactói α=αng kđ echo

Đethuđ ocưoc (2.12),do(2.11)tachícanchúngminhrang

LimsupNˆ(x;Ω)=Limsup [cone (x−Π(x;Ω))].

Vóix∈Ωvàx ∗ ∈ Nˆ(x;Ω)layc o đ % n h , t ađ ¾ t x k = x+1x ∗ vàlayω k ∈

Π(x k ;Ω)vóik∈N.Đieuki¾nω k∈ Π(x k;Ω)hiennhiêntưocơnsâusactói đng ưocơnsâusactói vóing

điemtrongkhônggianRnlênm®tt¾pconbatkỳ(cóthelàt¾pkhôngloi).NeuΩlàt¾ploi,thìvepháicúabatđangthúctrong(2.17)cóthelaybang0

u→x

V¾ybaohàmthúc”⊂”trong(2.12)đãđ ocưoc chúngminh.

Đechúngminhbaohàmthúc”⊂”trong(2.12),taxétánhxang ocưoc cúaphépc

haivecúa(2.18)khix Ω xvàsúdnng(2.11),tathuđ ocưoc

Limsup cone Π−1 (x;Ω)− x =Limsup[cone (x−Π(x;Ω))]

(2.12)vancóthekhôngđúngneuchuanđ ocưoc xétkhôngpháilàchuanEuclide.Phánvídnsauđâychothayđieuđó.

Vídn2 4 LayX=R2,"x":=max{|x1| , |x2|}vóimoix=(x1,x2)∈R2,

%nhnghĩa2.3(ÁnhxakháviFréchet).Á n h xaf :R n→ R mđưocgoilàkháviFréch

ettaixneutontaitoántútuyentínhliêntnc5f(x):R n→ R m,đ ocưoc goilàđaohàmFr

làtoànánh.

ưoc ơnsâusactói f −1( Θ)=.x∈R2| x1=x2

vóimoik∈Nđúlón. (3.1)

Khiđó{Ω1, ,Ω m ,x}đ oc goi ư làh¾cnctr%trong khônggianR n.

Neukhôngnóigìkhác,taquy ócrangkhiưoc xétlânc¾nUcúađiemcnctr%đ

%aph ngưocơnsâusactói thìUđưocgiáthietlàlânc¾nmó.

Rn vóimoi(i=1, ,m),saocho{a ik }→0khik→∞thóamãnđieuki¾n(3.1).C h o

n ε >0s a o chox +2εB⊂U.Xétc á c dãyb ik = a ik −a mk vói

i=1, ,m−1.Doa ik →0khik→0vóii=1, ,m−1,tacób ik →0khi

k→0.Theogiáthietphánchúng,cácdãyb ikđưoc chonnhưoctrêncùngvóilânc¾nV

v ∈R}.Rõràngrangx=(0,0)∈Ω1∩Ω2nh ngưoc (0,0)khôngpháilàđiemcnctr%đ

%aph ngưocơnsâusactói cúah¾t¾p{Ω1,Ω2}.Giásúphánchúng:xlàđiemcnctr%đ

%aph ngưocơnsâusactói cúah¾t¾p{Ω1,Ω2}.Theom¾nhđe3.1,tontaia k ,a k →0vàlânc¾nmóU

cúaxthóamãnđieuki¾n

(i=1, ,m)làcáct¾pkhông loi trongRn vóiít nhatm®t

điemchungvàintΩi ƒ=0/,i=1, ,m−1.Khiđó,đieuki¾n(3.9)vóiU=R n làca

%)đ ocưoc goilànghi¾mđúngtrongkhônggianRn,neuđúngvóimoih¾cnctr%

{Ω1, ,Ω n ,x}trongR n,óđóΩilàcáct¾pđóngđ%aph ngxungưocơnsâusactói quanhx

Cođ%nhx∈intΩvàε≥0,taxét dãyu t =x+te,óđóe∈R n làvéctơnsâusactóiđ nơnsâusactói v

%batkì.Dox∈intΩ,tacóu0+te∈Ωvóit>0đúbé,tùđâysuyrarangu t → xkhit→0.

\.Ω

r

i

Chúngminh.C h o n lânc¾nUcúaxvàcácdãy{a ik }(i=1, ,m)thóamãn

(3.1).Chonρ>0saochoB 2ρ (x)⊂Uvàa ik ∈B ρ (0)vóimoii∈{1, ,m}

− a ik tontaiz i ∈Ω i ∩ B ρ (x)saochox=z i − a ik Dođ ó x∈Ω i − a ik M¾tkhác,

doz i ∈B ρ (x)và"a ik "≤ρnên

M¾tkhác,talaicóΩr ,(i=1, ,m),lànhungt¾pđóngđ%aph ngưocơnsâusactói xung

quanhx.V¾ybangcáchthayΩ i (i=1, ,m)bóiΩ r (i=1, ,m)làgiao

cúaΩiv óim®thìnhcauđóngcótâmtaixvàbánkínhd ng,ưocơnsâusactói tacó(3.19),

%trongkhônggianhuuhanchieuRn,vóiΩi (i=1, ,m),lànhungt¾pđóngđ

%aph ngưocơnsâusactói xungquanh

x Dobođe3.2,tontai{a ik }⊂R n ,a ik →0khik→∞,saocho(3.1)đ ocưoc

Vìa ik →0khik→∞,vóimoii=1, ,m,nênd k (x)↓0.Dođótacóx k →x

vàα k↓ 0khik→∞.Laybatkìω ik∈ Π(x k +a ik;Ωi )batkì(ω ikl àxapxít o t nhatcúa

x k+ a iktrongt¾pđóngΩi).Khiđó,bàitoán(3.20)t ngđ ngưocơnsâusactói ưocơnsâusactói vóibàitoánsau

Doα k> 0theochúngminhótrên,ρ klà hàmmnctiêucúa(3.22)theobienxvàápdnngđ

%nhlýFermatveđieuki¾ncancnctr%cúabàitoántoi ukhôngưoc ràngbu®c,tathuđ ocưoc

gianhuuhanchieuRn.KhiđóΩ1vàΩ2l àtáchđ ocưoc theonghĩaGiáitíchloi

V¾ycáct¾pΩ1,Ω2làtáchđ ocbóisiêuưoc phang{x∈R n |(x ∗ ,x)=(x ∗ ,x)}

H¾quáđãđ ocưoc chúngminh

Nh¾nxét3 6 H ¾ quátrênchothayrangnguyênlýcnctr

%chínhxáclàdangmór®ngmangtínhchatđ

%aph ngưocơnsâusactói cúakháini¾mtáchcáct¾ploitrongGiáitíchloichoh¾đóng(cóthekhôngloi)

M¾nhđe3.6.G i á súψ i :R n →R,i=1, ,m,làcáchàmkháviliêntnc.

Đ¾tΩi ={x∈R n |ψ i (x)=0} ,i=1, ,m,vàgiásúx∈ T m Ωi.Khiđó,tacócáckhangđ%nhsau:

(i) Neu{5ψ1(x), ,5ψ m (x)}đ®cl¾ptuyentínhthì{Ω1, ,Ω m ,x }

k

"x ∗ "+ +"x ∗ " =1. (3.29)

Tù(3.29)suyracácx ∗không đongthòibangkhông.V¾ytontaichísoivói

α iƒ =0,khiđó(3.28)kéotheo{5ψ1(x ), ,5ψ m( x )}làphnthu®ctuyentính,

mâuthuanvóigiáthiet.V¾y(i)đ ocưoc chúngminh

Hiennhiêntacóψ1(x,y),ψ2(x,y)làcáchàmtr n.Đ¾tơnsâusactói

Ωi =.(x,y)∈R2| ψ i (x,y)=0.(i=1,2).

x k − α k ,x3−

β k.∈Ω1− a k (3.34)Kethop(3.32),(3.33)và(3.34)tathuđ ocưoc

làđ®cl¾ptuyentính.Theom¾nhđe3.6(i),{Ω1,Ω2,(0,0)}khônglàh¾cnctr%.

3) Trìnhbàycáckháini¾mveh¾cnctr

%,kháini¾mtáchcáct¾phop(cóthelàkhôngloi)vàbanguyênlýcnctr%(nguyênlýcnctr

%chínhxác,nguyênlýcnctr%xapxí,nguyênlýε-cnctr%)trongkhônggianR n

M¾cdùđãcónhieucogang,songdonhieuhanchevethòigianvàkienthúcnênkhoálu¾nkhôngtránhkhóinhungthieusót.Tôikínhmongcácthaycôcùngcácbanđocđónggópýkientraođoiđekhoálu¾nhoànthi¾ntoth n.ơnsâusactói

Tôixinchânthànhcámơn!

[7]B.S M o r d u k h ovich,N.M.Nam,N.D.Yen( 2 0 0 9 ) , S u b gradientso fmarginalfunctioninparametricmathematicalprogramming,Math-ematicalProgrammingVol.116,Ser.B,369-396.

[B] Tàili¾utiengVi¾t

[8]NguyenPhn Hy (2005),Giáitíchhàm, NXB Khoa hocvàKythu¾t.

[9]ĐoVănL u-ưoc PhanHuyKhái(2000),GiáiTíchLoi,NXBKhoahoc