Toán tử tích phân và cơ sở sóng nhỏ trên một số không gian hàm

Ngược lại, cũng có thể sử dụng lý thuyết toán tử để nghiên cứu lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt trong việcnghiên cứu cấu trúc nghiệm của phương trình lọc xem [18], [19], [20].Ngày nay sự phá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

-

Đào Văn Dương

TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ

TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Đào Văn Dương

TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ

TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số : 62 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Minh Chương

HÀ NỘI – 2013

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướngdẫn khoa học của Giáo sư Nguyễn Minh Chương Các kết quả viết chungvới người hướng dẫn đã được sự nhất trí của người hướng dẫn khi đưavào luận án Các kết quả của luận án đều là mới và chưa từng được công

bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác

Tác giả

Đào Văn Dương

Lời cảm ơn

Luận án này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắccủa Giáo sư Nguyễn Minh Chương Thầy hướng dẫn và truyền đạt chotác giả những kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học và cả nhữngđiều thật quý báu trong cuộc sống Sự động viên, tin tưởng của Thầy làmột trong những động lực để tác giả hoàn thành luận án Nhân dịp này,tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả luôn nhậnđược sự động viên, hướng dẫn của các Thầy trong Khoa Toán - Tin,Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là Bộ môn Giải tích Tác giảxin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của các Thầy

Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả cũng nhậnđược sự giúp đỡ, góp ý của GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp, GS.TSKH NguyễnMạnh Hùng, PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, TS Trần Đình Kế, TS Cung ThếAnh Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các Thầy.Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo cùng các anh chị

em NCS, Cao học trong Xêmina "Toán tử giả vi phân, sóng nhỏ trên

các trường thực, p-adic" do Giáo sư Nguyễn Minh Chương chủ trì, ViệnToán học, và Xêmina của Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội, đã động viên, giúp đỡ tác giả trong nghiên cứu cũng như trongcuộc sống

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sưphạm Hà Nội, Phòng đào tạo Sau đại học cùng toàn thể cán bộ, côngnhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tác giả trong quá trình thực hiện luận án

Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy, Cô trongkhoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn cũng như các Thầy ở Viện Toánhọc đã tham gia giảng dạy cao học, khóa 7, Đại học Quy Nhơn, đã truyềnđạt cho tác giả những kiến thức toán học hữu ích

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Xây dựng Miền Trung,nơi tác giả đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt để tácgiả yên tâm hoàn thành luận án

Tác giả chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp gần xa, đặc biệt

là cha mẹ, vợ và con trai cùng những người thân trong gia đình, đã giúp

đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận án

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Đào Văn Dương

V M O(Rn) : Không gian VMO trên Rn

Mục lục

1.1 Không gian Lebesgue 18

1.2 Tích chập và biến đổi Fourier trên trường thực 20

1.3 Trường số p-adic 22

1.4 Độ đo và tích phân trên trường số p-adic 25

1.5 Biến đổi Fourier và tích chập p-adic 27

1.6 Các định lý nội suy 31

Chương 2 TOÁN TỬ TÍCH PHÂN SÓNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM 34 2.1 Giới thiệu 34

2.2 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov,

Chương 3 TOÁN TỬ TÍCH PHÂN HARDY-LITTLEWOOD

Chương 4 TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VLADIMIROV VÀ

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Trong khoảng 20 năm trở lại đây, lý thuyết sóng nhỏ xuất hiện và pháttriển rất mạnh Lý thuyết này đang là một công cụ rất có hiệu lực đểgiải quyết nhiều bài toán quan trọng trong Vật lý toán nói riêng và trongKhoa học, Công nghệ nói chung (xem trong các công trình [8], [21], [22],[36], [49], [50], [51], ) Nhờ lý thuyết sóng nhỏ, người ta nghiên cứu lýthuyết toán tử (đặc biệt là lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị Calderón-Zygmund hay lý thuyết toán tử giả vi phân) và lý thuyết các không gianphiếm hàm, từ đó đã tìm được những đặc trưng mới về các không gian

BMO (xem, chẳng hạn, [21], [36], [49]) Ngược lại, cũng có thể sử dụng

lý thuyết toán tử để nghiên cứu lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt trong việcnghiên cứu cấu trúc nghiệm của phương trình lọc (xem [18], [19], [20]).Ngày nay sự phát triển của lý thuyết sóng nhỏ gắn với lý thuyết cáctoán tử giả vi phân và lý thuyết các không gian hàm đã làm cho tínhkhoa học và tính ứng dụng của chúng ngày càng cao

Toán tử tích phân sóng nhỏ là một bộ phận quan trọng trong lýthuyết sóng nhỏ Sóng nhỏ, toán tử tích phân sóng nhỏ là một trong

những công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều bài toán quan trọng trongToán học, Vật lý, Khoa học và Công nghệ như xử lý ảnh, xử lý tín hiệu,địa chấn, nén dữ liệu, sinh học, y học, thị trường chứng khoán Đã cónhiều nhà toán học như Yves Meyer, Ingrid C Daubechies, David L.Donoho, Ronald R Coifman, Nguyễn Minh Chương, P R Massopust,

A Rieder, R S Pathak, G Strang (xem [8], [13], [14], [21], [23], [49],[52], [59], [64], [69], ) tham gia nghiên cứu và công bố nhiều công trình

về lĩnh vực lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt là toán tử tích phân sóng nhỏ.Năm 2004, Ram S Pathak [59] đã nghiên cứu toán tử tích phân sóng

Rn

Rn

thức này, ta thấy toán tử tích phân sóng nhỏ cũng là một toán tử giả vi

Pathak đã sử dụng lý thuyết toán tử giả vi phân để nghiên cứu toán tửtích phân sóng nhỏ trên không gian các phân bố Ngày nay do nhu cầucủa thực tiễn ứng dụng, lý thuyết sóng nhỏ không chỉ phát triển trêntrường số thực, phức mà đã được chuyển sang nghiên cứu trên trường sốp-adic, hoặc tổng quát hơn trên các trường địa phương, trên các khônggian siêu metric Năm 2002, các tác giả trong [53] đã nghiên cứu các kếtquả ban đầu của toán tử tích phân sóng nhỏ trên trường p-adic mà ýtưởng nghiên cứu tương tự như trên trường thực

Toán tử tích phân sóng nhỏ đã được nhiều nhà toán học trong và ngoàinước nghiên cứu trên nhiều không gian hàm khác nhau như Lebesgue,

Sobolev (kể cả trường hợp có trọng), Triebel-Lizorkin, không gian cáchàm suy rộng, (xem, chẳng hạn, [14], [59], [60], [61], [64]), trong đócác nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳngcấu, dáng điệu tiệm cận, cho toán tử tích phân sóng nhỏ Tính bị chặncủa các toán tử tuyến tính, dưới tuyến tính, trong các không gian tuyếntính định chuẩn là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích và

có nhiều ứng dụng Chẳng hạn, từ tính bị chặn của toán tử trong một

số trường hợp có thể giải quyết được tính tồn tại, duy nhất, nghiệmcủa phương trình, hay nói theo ngôn ngữ đại số, giải quyết được tínhtoàn ánh, đơn ánh, của toán tử Thậm chí Charles Fefferman [27] đãđưa ra được một chứng minh mới cho sự hội tụ từng điểm của chuỗi

chặn của một lớp toán tử cực đại Đối với toán tử tích phân sóng nhỏ,việc nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng cấu, dáng điệu tiệm cận ứng vớitham biến thang bậc a nhỏ, trên một số không gian hàm đang là vấn

đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học

Giải tích điều hòa và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng trên trườngthực cũng như trên trường p-adic ngày càng được nhiều nhà toán họcquan tâm nghiên cứu Một trong những toán tử quan trọng trong giảitích điều hòa là toán tử Hardy-Littlewood Năm 1920, G H Hardy [34]

đã thiết lập một bất đẳng thức tích phân (ngày nay gọi là bất đẳng thứctích phân Hardy), từ đó đưa ra một chứng minh đơn giản cho định lý vềchuỗi kép của Hilbert Bất đẳng thức Hardy giữ một vai trò quan trọngtrong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết cáckhông gian phiếm hàm (xem, chẳng hạn, [5], [24], [48]) Năm 1984, các

tác giả C Carton-Lebrun và M Fosset [87] đã giới thiệu toán tử tích phânHardy-Littlewood có trọng, là tổng quát của toán tử Hardy-Littlewood

từ một chiều lên nhiều chiều Kể từ đó, toán tử Hardy-Littlewood cótrọng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới,trong đó các nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu các điều kiệncần và đủ cho hàm trọng để toán tử Hardy-Littlewood có trọng là bịchặn trên các không gian Lebesgue, BMO, Herz, Triebel-Lizorkin vàđánh giá chuẩn của toán tử Hardy-Littlewood có trọng trong các khônggian hàm, (xem [29], [30], [47], [48], [72], [73], [74], [86]) Trên trườngp-adic, trong những năm gần đây toán tử tích phân Hardy-Littlewood cótrọng, toán tử Hausdorff cũng được nghiên cứu trên một số không gian

chỉ mới nghiên cứu cho điều kiện đủ với số chiều n = 1), (xem [63],[79], [80], [81], [82], [83]) Đặc biệt, gần đây công trình [35] đã nghiêncứu tính bị chặn của một lớp toán tử tích phân Hardy-Cesàro có trọngtrên các không gian Lebesgue, BMO có trọng trên trường p-adic, và từ

đó đưa ra một bất đẳng thức Hardy dạng rời rạc trên trường thực.Như chúng ta đã biết, nhiều lý thuyết toán học đã sớm được chuyểnsang xây dựng và nghiên cứu trên trường p-adic Tuy nhiên đối với lýthuyết các hàm suy rộng Schwartz trên trường p-adic, mãi đến năm 1988,

V S Vladimirov mới xây dựng không gian các hàm suy rộng, phép biến

1994, các tác giả V S Vladimirov, I V Volovich và E I Zelenov [77]

đã đề cập một cách có hệ thống giải tích p-adic và vật lý toán Như

đã nói ở trên, việc nghiên cứu và phát triển một số kết quả từ trường

thực sang trường p-adic đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quantâm Tuy nhiên đối với giải tích điều hòa p-adic, còn rất nhiều bài toánquan trọng chưa được nghiên cứu Chẳng hạn, mở rộng nghiên cứu cácbất đẳng thức tích phân Hardy, toán tử tích phân Hardy-Littlewood cótrọng, toán tử Hausdorff, trên các không gian hàm trên trường p-adic.Ngày nay nhiều lĩnh vực khác nhau trong Toán học đều có ảnh hưởng,thâm nhập lẫn nhau Đặc biệt, đối với lý thuyết toán tử vi tích phân kỳ

dị (giả vi phân), lý thuyết các không gian hàm và lý thuyết sóng nhỏ,

đã có rất nhiều công trình nghiên cứu mối liên quan qua lại giữa chúng(xem [2], [3], [8], [9], [41], [45], [49], [52], ) Ở đây, chúng tôi chỉ giới

sóng nhỏ p-adic được phát hiện từ một hệ hàm riêng của toán tử này

Cụ thể, năm 2002 nhà toán học người Nga S V Kozyrev trong [45] lầnđầu tiên đã phát hiện mối liên quan đặc biệt giữa giải tích phổ trêntrường p-adic và giải tích sóng nhỏ trên trường thực nhờ phép biến đổi

Vladimirov mà S V Kozyrev đã xây dựng được một cơ sở gồm các hàm

ánh chuyển cơ sở này thành một cơ sở sóng nhỏ trên trường thực Bởi

vừa tìm được là cơ sở sóng nhỏ p-adic Rõ ràng, đây là một phát hiệnrất quan trọng nói lên mối tương quan giữa hai lĩnh vực toán học khácnhau, đó là giải tích phổ và lý thuyết sóng nhỏ Từ đó giải tích sóng nhỏ

và giải tích phổ p-adic đã dựa vào nhau và cùng phát triển song song

Kể từ khi S V Kozyrev đưa ra các sóng nhỏ p-adic, lý thuyết sóngnhỏ và toán tử giả vi phân trên trường p-adic phát triển mạnh và đãđược nhiều nhà toán học trên thế giới và trong nước quan tâm như S.Albeverio, J J Benedetto, R L Benedetto, A Yu Khrennikov, V M.Shelkovich, M Skopina, S V Kozyrev, Nguyễn Minh Chương , trong

đó các nhà toán học chủ yếu tập trung vào nghiên cứu xấp xỉ đa phângiải p-adic, phương trình lọc p-adic, các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn p-adic,bài toán Cauchy đối với phương trình giả vi phân, phổ của toán tử giả viphân p-adic và những ứng dụng của chúng trong Khoa học và Công nghệ(xem [1], [2], [3], [4], [7], [12], [40], [41], [42], [45], [46] ) Việc nghiêncứu, phát triển lý thuyết sóng nhỏ p-adic, đặc biệt là việc biểu diễn cáchàm trong những không gian hàm qua các hàm riêng của toán tử giả viphân p-adic, đang là một trong những chủ đề được quan tâm hiện nay.Với những lý do nói trên, Giáo sư Nguyễn Minh Chương đã gợi ý chotôi nghiên cứu, phát triển một số lớp toán tử tích phân sóng nhỏ, toán

tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và các cơ sở sóng nhỏ p-adic

gồm các hàm riêng của toán tử Dα trên một số không gian hàm.

II Mục đích, đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứuLuận án này đề cập đến một số vấn đề của giải tích sóng nhỏ, giải tíchđiều hòa trên trường thực cũng như trên trường p-adic Cụ thể, chúngtôi nghiên cứu một số vấn đề sau đây:

(a) Nghiên cứu một số tính chất như tính bị chặn, dáng điệu tiệm cậnứng với tham biến thang bậc a nhỏ của toán tử tích phân sóng nhỏtrên các không gian hàm như Besov, BMO, VMO, Hardy, kể cảtrường hợp có trọng;

(b) Nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho hàm trọng để toán tửtích phân Hardy-Littlewood có trọng bị chặn trên các không gianTriebel-Lizorkin, Morrey-Herz trên trường p-adic Nghiên cứu cácđiều kiện đủ để các giao hoán tử của toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng với toán tử nhân các hàm Lipschitz là bị chặntrên không gian Morrey-Herz trên trường p-adic;

(c) Nghiên cứu cơ sở không điều kiện (unconditional basis), cơ sở Greedycủa hệ các hàm sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử tích

Một trong những thuận lợi khi nghiên cứu bài toán (a) là một số tínhchất của toán tử tích phân sóng nhỏ đã được nghiên cứu trước đó trênmột số không gian hàm như Lebesgue, Sobolev Tuy nhiên để giảiquyết bài toán (a), chúng tôi cần hiểu cách thiết lập các không gianBesov, BMO và Hardy, các tính chất của lớp hàm trọng ôn hòa, cũng

như sử dụng một cách thích hợp các bất đẳng thức tích phân Minkowski,

Trên trường thực toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng đã thuhút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học và đạt được nhiềukết quả Trên trường p-adic, toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọngcũng đã được nghiên cứu trên một số không gian hàm Đây là một trongnhững thuận lợi khi nghiên cứu bài toán (b) Tuy nhiên việc chuyển sangnghiên cứu bài toán trên trường p-adic gặp phải những khó khăn nhấtđịnh Khó khăn thứ nhất là ở sự khác biệt về cấu trúc số học và hìnhhọc giữa hai trường thực và trường p-adic Điều này làm thay đổi nhiềukết quả và phải đưa ra một chứng minh hoàn toàn khác so với trường sốthực Một số kỹ thuật sử dụng trên trường thực khi chuyển sang nghiêncứu trên trường p-adic sẽ không còn thích hợp Thứ hai, phép tính tíchphân trên trường p-adic căn bản là khác so với phép tính tích phân trêntrường thực Do đó không phải kết quả nào cũng dễ dàng chuyển sangnghiên cứu được trên trường p-adic Chẳng hạn, bổ đề van der Corputtrên trường p-adic chỉ mới được thiết lập gần đây bởi Keith M Rogers[65] Tuy nhiên cũng có một số thuận lợi khi nghiên cứu trên trườngp-adic, chẳng hạn chuẩn trên trường p-adic thỏa mãn bất đẳng thức tamgiác mạnh (tính chất siêu metric)

Một trong những thuận lợi khi nghiên cứu bài toán (c) là đã có lược đồnghiên cứu cụ thể Tuy nhiên do các hàm sóng nhỏ p-adic có dạng khác

so với các hàm sóng nhỏ trên trường thực và không có đạo hàm hiểutheo nghĩa cổ điển, cho nên nhiều kỹ thuật chứng minh phải thay đổi

Trong luận án này, chúng tôi chủ yếu sử dụng một số tính chất hình họcđặc thù trên trường p-adic mà trên trường thực không có, một số tínhchất của hàm đặc trưng cộng tính trên trường p-adic Đặc biệt, sử dụngmột số kiến thức về giải tích điều hòa trên trường p-adic như lý thuyếthàm cực đại, biểu diễn Calderón-Zygmund.

III Những đóng góp mới của Luận án

Những đóng góp chính của Luận án, về mặt kết quả là:

1 Thiết lập được tính bị chặn của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các

gian Besov và BMO có trọng Từ đó, thu được dáng điệu tiệm cậncủa toán tử tích phân sóng nhỏ ứng với tham biến thang bậc a nhỏ

2 Đưa ra các điều kiện cần và đủ cho hàm trọng để các toán tửtích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng

là bị chặn trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trêntrường p-adic Đặc biệt, tính được chuẩn của các toán tử này trongcác không gian đó Ngoài ra, luận án cũng đưa ra các điều kiện

đủ để các giao hoán tử của toán tử tích phân Hardy-Littlewood cótrọng và toán tử Cesàro có trọng với toán tử nhân hàm Lipschitz

là bị chặn trên không gian Morrey-Herz trên trường p-adic

3 Chứng minh hệ các sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán

Ngoài ra, luận án cũng chỉ ra rằng các sóng nhỏ p-adic sau khi được

IV Bố cục của Luận án

Luận án, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo,gồm 4 chương:

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian Lebesgue,trường số p-adic, lý thuyết tích phân và biến đổi Fourier Đây là nhữngkiến thức cần thiết cho việc trình bày các chương sau

Chương 2 dành cho việc nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cậnứng với tham biến thang bậc a nhỏ của toán tử tích phân sóng nhỏ trên

Besov và BMO có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa

Chương 3 dành cho việc nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho hàmtrọng để các toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tửCesàro có trọng là bị chặn trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trên trường p-adic; đưa ra các điều kiện đủ để các giao hoán tử củatoán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọngvới toán tử nhân hàm Lipschitz là bị chặn trên không gian Morrey-Herztrên trường p-adic

Chương 4 dành cho việc nghiên cứu cơ sở không điều kiện, cơ sở Greedycủa hệ cơ sở sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử tích phân

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT

đo được tổng quát và sẽ được sử dụng cho cả hai trường hợp trên trường

số thực và trên trường số p-adic Phần còn lại, chúng tôi trình bày sơlược về trường số p-adic, lý thuyết tích phân và biến đổi Fourier, toán

tử giả vi phân trên trường số p-adic Trong chương 1, chúng tôi có thamkhảo các tài liệu [28], [31], [42], [56], [71], [77]

Giả sử (X, M, µ) là một không gian đo với µ là một độ đo σ-hữu hạntrên σ-đại số M trong không gian X Cho 0 < q < ∞ Ta ký hiệu

Lq(X, M, µ), hay viết ngắn gọn hơn Lq(X), là tập hợp tất cả các hàm f

đo được, nhận giá trị phức trên X thỏa mãn



Z

sao cho tồn tại B > 0 để

Định lý 1.1.1 (Định lý hội tụ Lebesgue [28, trang 54]) Giả sử

Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức Minkowski [56, trang 159]) Giả

sử (X, M, µ) và (Y, N, ν) là các không gian đo σ-hữu hạn, và f (x, y) làmột hàm giá trị phức, µ × ν-đo được trên X × Y sao cho với ν-hầu khắp

qdµ(x)





1 q

≤Z

Y



Z

dν(y)

với giả thiết vế trái của bất đẳng thức trên là hữu hạn

Định lý 1.1.4 (Fubini [28, trang 68]) Giả sử (X, M, µ) và (Y, N, ν)

là các không gian đo σ-hữu hạn, và f (x, y) là một hàm đo được theo độ đo

λ = µ × ν Nếu f (x, y) không âm hoặc khả tích trên tập A × B ∈ M × Nthì ta có

hội tụ về 0 khi j → ∞ nếu với mọi đa chỉ số α, β ∈ Nn ta có

sup

Rn

f (x − y)g(y)dy

Định lý 1.2.2 (Bất đẳng thức Young [56, trang 192]) Nếu f ∈

1.3 Trường số p-adic

trên trường các số hữu tỷ Q Ta có không gian metric (Q, ρ) là không

nX

k=0

một dãy Cauchy trong Q ứng với metric ρ, tuy nhiên không có một sốhữu tỷ nào là giới hạn của nó Làm đầy trường Q bởi metric ρ ta được

chất quan trọng sau đây

Mệnh đề 1.3.1 ([77, trang 2-8]) (a) Mọi số p-adic khác không đềubiểu diễn được duy nhất dưới dạng chính tắc sau đây

mãn các tính chất sau đây:

và hoàn toàn không liên thông.

tử không, ký hiệu là 0, và có phần tử đơn vị, ký hiệu là 1

Định lý 1.3.3 (Ostrowski [77, trang 3]) Mọi chuẩn không tầmthường trên trường số hữu tỷ Q đều tương đương với hoặc là chuẩn giá

số thực và không gian các số phức không có, chẳng hạn tính chất

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tính chất hình học đặc thù củatrường số p-adic

Mệnh đề 1.3.4 ([77, trang 6-8]) (a) Bγ(a) là một nhóm giao hoánvới phép toán cộng.

chứa nhau, hoặc là rời nhau

đôi một rời nhau có cùng bán kính nhỏ hơn

Định nghĩa 1.3.5 ([77, trang 30]) Hàm đặc trưng cộng tính chuẩn

Giả sử x có biểu diễn chính tắc như trong (1.3), phần phân của x, ký

Mệnh đề 1.3.6 ([77, trang 33]) Mọi hàm đặc trưng cộng tính chuẩn

Một trong những tính chất cơ bản của hàm đặc trưng cộng tính là

nên tồn tại một độ đo Haar, đó là độ đo dương dx, bất biến với phép

Z

B0

dx = 1

Tôpô tích trên Qnp trùng với tôpô sinh bởi chuẩn | · |p Hơn nữa, (Qnp, +)cũng là một nhóm tôpô giao hoán, compact địa phương Độ đo Haar trên

Tương tự như trường hợp một chiều, ta cũng có thể định nghĩa hình cầu

đều là tâm của nó, và hai hình cầu bất kỳ hoặc là chứa nhau, hoặc là

giới hạn sau tồn tại

Khi đó giới hạn trong (1.5) được gọi là tích phân của hàm f trên toàn

Qnp

hơn về tính toán một số tích phân quan trọng khác trên trường số p-adic

có thể tham khảo trong tài liệu [77]

cho f (x + y) = f (x) với mọi y ∈ Bl(x) Ký hiệu E = E (Qnp) là tập hợp tất

hội tụ đều đến 0 trên E khi j → ∞

compact Mỗi hàm ϕ trong không gian D thỏa mãn đồng thời hai điềukiện sau:

Không gian D được gọi là không gian các hàm thử (hay gọi là các hàm

trên O thỏa mãn



Z

giá trị phức đo được, bị chặn hầu khắp nơi trên O với chuẩn xác định

kf kq := kf kLq (Q n

mọi 1 ≤ q < ∞

Nếu f và g là hai hàm suy rộng và α, β là hai số phức bất kỳ thì αf + βgcũng là một hàm suy rộng xác định bởi (αf + βg, ϕ) = α(f, ϕ) + β(g, ϕ)

Qnp

Mệnh đề 1.5.3 ([77, trang 100]) Biến đổi Fourier là một đồng phôi

ϕ ∈ D(Qnp) Khi đó biến đổi Fourier cũng là một đồng phôi từ D0(Qnp)vào chính nó và biến đổi Fourier ngược được xác định bởi công thức

chính nó

được xác định bởi công thức

xác định bởi

(f ∗ g, ϕ) = lim

trong đó hàm ψ : O → C có thể mở rộng trên toàn bộ Qnp, bằng 0 ngoài

của toán tử A Một trong những toán tử giả vi phân p-adic quan trọng

Giả sử T là một toán tử xác định trên không gian các hàm đo được,giá trị phức trên không gian đo (X, µ) và lấy giá trị trong tập các hàm

đo được, giá trị phức, hữu hạn hầu khắp nơi trên một không gian đo(Y, ν) Nếu

T (f + g)(x) = T f (x) + T g(x), và T (αf )(x) = αT f (x),

với mọi hàm đo được f, g, với mọi α ∈ C và x ∈ X, thì T được gọi là toán

tử tuyến tính Nếu |T (f + g)(x)| ≤ |T f (x)| + |T g(x)| và |T (αf )(x)| =

|α||T f (x)|, thì T được gọi là toán tử dưới tuyến tính

gọi là loại yếu (q, r).

Định lý 1.6.1 (Định lý nội suy Marcinkiewicz [31, trang 31])Cho (X, µ) và (Y, ν) là các không gian đo, T là một toán tử dưới tuyến

và nhận giá trị trong không gian các hàm ν-đo được trên Y Giả sử tồn

dương A không phụ thuộc vào f sao cho

Định lý 1.6.2 (Định lý nội suy Riesz-Thorin [31, trang 34-35])Cho (X, µ) và (Y, ν) là các không gian đo, T là một toán tử tuyến tính

và nhận giá trị trong không gian các hàm ν-đo được trên Y Giả sử tồn

trong đó 1 ≤ q0, q1 ≤ ∞ Khi đó, với mọi 0 < θ < 1, ta có

Mệnh đề 1.6.3 ([71, trang 29]) (i) Toán tử cực đại Hardy-Littlewood

là loại yếu (1, 1) và loại mạnh (q, q) với 1 < q ≤ ∞

limγ→−∞

Chương 2 TOÁN TỬ TÍCH PHÂN SÓNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG

GIAN HÀM

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính bị chặn của toán tử tích

với giả thiết các sóng nhỏ cơ sở có giá compact nằm trong một hình cầu

có tâm tại gốc, chúng tôi cũng đưa ra tính bị chặn của toán tử tích phânsóng nhỏ trên các không gian Besov và BMO có trọng ứng với lớp hàmtrọng ôn hòa Từ đó chúng tôi thu được dáng điệu tiệm cận của toán tửtích phân sóng nhỏ ứng với tham biến thang bậc a nhỏ Nội dung củachương này dựa trên bài báo thứ nhất thuộc danh mục công trình đãcông bố liên quan đến luận án

Từ lâu, người ta đã ứng dụng biến đổi tích phân Fourier vào lĩnh vựcphân tích và xử lý tín hiệu Để tìm hiểu về thông tin phổ của tín hiệu,

người ta sử dụng biến đổi tích phân Fourier của hàm f ∈ L2(R) (gọi là

R

ở đó t, ξ được hiểu là biến thời gian và tần số tương ứng của tín hiệu.Nếu sử dụng phép biến đổi Fourier để lấy ra được thông tin về phổ củatín hiệu f thì ta phải quan sát tín hiệu f trên toàn bộ biến thời gian t,nghĩa là thông tin nhận được từ việc quan sát tín hiệu trong một khoảngthời gian nào đó không đủ để kết luận về phổ của tín hiệu (xem [15])

Để khắc phục nhược điểm của biến đổi Fourier, từ đầu những nămthập kỷ 40 của thế kỷ trước, Dennis Gabor đã đưa ra phép biến đổiFourier cửa sổ (còn gọi là biến đổi Gabor), mục đích là đưa việc nghiêncứu phổ từ chỗ khắp trên toàn bộ đường thẳng thời gian về một cửa sổthời gian "tốt" theo một nghĩa nào đó, bằng cách nhân thêm biểu thức

hiệu f và cung cấp thông tin phổ địa phương (xem [15, trang 50]) Tuynhiên khi sử dụng biến đổi Gabor để nghiên cứu về phổ của tín hiệu,người ta thấy rằng mặc dù đã đưa về nghiên cứu trên một cửa sổ thờigian, song cửa sổ thời gian ấy lại có độ rộng không thay đổi với bất kỳ

tần số nào Do vậy đối với những tín hiệu có tần số thấp hoặc tần số caoviệc nghiên cứu phổ sẽ có hiệu quả thấp Như vậy, cần phải xây dựngmột phép biến đổi mà sao cho cửa sổ tần số - thời gian linh hoạt, nghĩa

là cửa sổ thời gian tự động giãn ra khi phân tích các tín hiệu có tần sốthấp và sẽ co lại đối với các tín hiệu có tần số cao Xuất phát từ những

ý tưởng đó, C K Chui [15] (cũng xem [64], [69]) đã giới thiệu khái niệmphép biến đổi tích phân sóng nhỏ được đề xuất bởi A Grossman, J

R

| b ψ(ξ)| 2

nhà phân tích tín hiệu giải quyết được vấn đề đặt ra ở bên trên Mộttrong các tính chất quan trọng của biến bổi tích phân sóng nhỏ là đẳng

Đặt biệt, nếu g = f , ta có công thức Plancherel kWψf kW = pCψkf k2.

biến đổi tích phân sóng nhỏ như sau

trong các không gian Sobolev và đồng thời cũng đưa ra dáng điệu tiệmcận cho các biến đổi tích phân sóng nhỏ ứng với các tham biến thangbậc a nhỏ Năm 1996, các tác giả V Perrier và C Basdevant [61] đã

mở rộng nghiên cứu biến đổi tích phân sóng nhỏ trong các không gian

mới cho không gian Besov theo các biến đổi tích phân sóng nhỏ Biến đổitích phân sóng nhỏ cũng được nghiên cứu trên các không gian hàm suyrộng, các không gian hàm có trọng (xem [14], [60], [59]) Trong luận ánnày, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của toán tử tích phân sóngnhỏ trên các không gian Besov, BMO, Hardy và các không gian Besov,BMO có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa

Trong chương này, chúng tôi xét các sóng nhỏ cơ sở ψ như là các

phân sóng nhỏ của một hàm f ứng với sóng nhỏ cơ sở ψ được xác định bởi

BMO và Hardy

hàm f được định nghĩa bởi

Định nghĩa 2.2.1 ([67, trang 150-151]) Cho 0 < α < 1, 1 ≤ ` ≤

chuẩn được xác định bởi



Z

(2.8)với q < ∞, và