Về tính chất toán tử của toán tử tích phân kỳ dị với dịch chuyển Carleman

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNNGUYỄN HỮU TRUNG VỀ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA TOÁN TỬ TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI DỊCH CHUYỂN CARLEMAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2011... ĐẠI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN HỮU TRUNG

VỀ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA TOÁN TỬ TÍCH PHÂN

KỲ DỊ VỚI DỊCH CHUYỂN CARLEMAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN HỮU TRUNG

VỀ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA TOÁN TỬ TÍCH PHÂN

KỲ DỊ VỚI DỊCH CHUYỂN CARLEMAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS TS NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - Năm 2011

Mục lục

1.1 Toán tử Noether và chỉ số của toán tử Noether 5

1.1.1 Toán tử Noether 5

1.1.2 Chỉ số của toán tử Noether và một số tính chất 6

1.2 Toán tử tích phân kỳ dị 16

1.2.1 Toán tử tích phân kỳ dị 16

1.2.2 Một số tính chất của SIFO 17

1.3 Hàm dịch chuyển và toán tử dịch chuyển 21

1.3.1 Hàm dịch chuyển và hàm dịch chuyển Carleman 21

1.3.2 Toán tử dịch chuyển Carleman và một số tính chất 25 2 Tiêu chuẩn Noether và công thức tính chỉ số cho SIFO cấp một với dịch chuyển Carleman 29 2.1 Trường hợp dịch chuyển Carleman bảo toàn hướng 29

2.1.1 Tiêu chuẩn Noether cho toán tử tích phân kỳ dị với một nhân Cauchy 30

2.1.2 Tiêu chuẩn Noether cho toán tử cặp đôi 31

2.1.3 Tiêu chuẩn Noether cho SIFO cấp một trong trường

hợp dịch chuyển Carleman bảo toàn hướng 342.1.4 Chỉ số của toán tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy 382.1.5 Chỉ số của SIFO Kveselava-Vekua 412.1.6 Chỉ số của SIFO cấp một với dịch chuyển Carleman

bảo toàn hướng 452.2 Trường hợp dịch chuyển Carleman ngược hướng 512.2.1 Toán tử thu hẹp và toán tử liên kết 522.2.2 Tiêu chuẩn Noether cho SIFO cấp một với dịch chuyển

Carleman ngược hướng 54

Lời nói đầu

Lý thuyết hàm toán tử tích phân kỳ dị, phương trình tích phân

kỳ dị và các bài toán bờ Riemann của hàm giải tích biến phức đã được xâydựng và phát triển trong nửa thế kỷ, từ những năm 1920 đến 1970 Cáckết qủa nghiên cứu gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học nổi tiếngNoether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua,

Để giải một lớp các phương trình tích phân kỳ dị người ta cần quantâm tới toán tử hàm tích phân kỳ dị (singular integral funtional opera-tor(SIFO)) Việc giải phương trình tích phân kỳ dị không phải bao giờcũng thực hiện được tường minh nhưng từ việc nghiên cứu các toán tửtích phân kỳ dị đó ta có thể dự đoán được một số tính chất của nghiệm

và tính giải được của phương trình Tính chất Noether và chỉ số của SIFO

là những tính chất liên quan đến sự tồn tại nghiệm và mối liên hệ giữa sốnghiệm độc lập tuyến tính của phương trình tích phân kỳ dị thuần nhấtvới số điều kiện giải chuẩn

Luận văn tập trung nghiên cứu tính Noether và xây dựng công thứctính chỉ số của toán tử hàm tích phân kỳ dị cấp một với dịch chuyển Car-leman

Luận văn gồm phần mở đầu và được chia thành hai chương:

Chương 1: Giới thiệu về tiêu chuẩn Noether đối với một toán tử tuyếntính, chỉ số của một toán tử Noether, toán tử hàm tích phân kỳ dị cùng

với hàm dịch chuyển và toán tử dịch chuyển Carleman Là cơ sở để xácđịnh tính chất Noether và công thức tính chỉ số của SIFO.

Chương 2: Tiêu chuẩn Noether và công thức tính chỉ số cho SIFO cấpmột với dịch chuyển Carleman Đây là phần chính của luận văn, trước tiênxây dựng tiêu chuẩn Noether và công thức tính chỉ số của SIO với mộtnhân Cauchy, toán tử cặp đôi, SIFO Kveselava-Vekua cho hệ số của chúng.Sau đó, tác giả phân chia dịch chuyển Carleman thành hai trường hợp bảotoàn hướng và ngược hướng đồng thời xây dựng tiêu chuẩn Noether vàcông thức tính chỉ số của SIFO cấp một với dịch chuyển Carleman

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS.Nguyễn Minh Tuấn, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội,người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trìnhhoàn thành bản luận văn này Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành

và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo, các thành viên,các anh chị đồng nghiệp trong Seminar Giải tích trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý báu vàgiúp đỡ tận tình trong thời gian qua

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học,Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại họcQuốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quátrình học tập tại trường

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, giới thiệu toán tử Noether, chỉ số của toán tửNoether, toán tử tích phân kỳ dị, hàm dịch chuyển Carleman, toán tử dịchchuyển Carleman và một số tính chất quan trọng

Noether

Trong mục này, ta giới thiệu về tiêu chuẩn Noether và toán tử Noether.Cho X1 và X2 là các không gian Banach,L(X1, X2) là không gian Banachcác toán tử tuyến tính bị chặn A : X1 → X2, với chuẩn

||A|| = sup{||Ax|| : ||x|| = 1}

Định nghĩa 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn A ∈ L(X1, X2) được gọi làgiải chuẩn nếu tập imA là đóng trong không gian X2 nghĩa là:

imA = imA

Không gian thương X2imA được gọi là đối nhân của toán tử A vàđược kí hiệu bởi CokerA, kí hiệu β(A) = dim CokerA.

Định nghĩa 1.2 Một toán tử tuyến tính bị chặn A ∈ L(X1, X2) đượcgọi là một toán tử Noether nếu:

1, A là một toán tử giải chuẩn

2, α(A) và β(A) là những số hữu hạn

được gọi là toán tử Noether nếu thỏa mãn hai điều kiện:

1, Toán tử A giải chuẩn (tức là: imA = imA),

2, Số α(A) = dim KerA và α(A∗) = dimKerA∗ là hữu hạn

A∗ là toán tử liên hợp của toán tử A

Định nghĩa 1.5 Số nguyên indA = α(A) − α(A∗) được gọi là chỉ số củatoán tử Noether A

Định nghĩa 1.6 (Chỉ số của hàm số) Giả sử Γ là một chu tuyến đóngtrơn và G(t) là một hàm liên tục và không triệt tiêu trên trên Γ Chỉ sốcủa hàm số G(t) dọc theo chu tuyến Γ được hiểu là tỷ số độ tăng trưởng(số gia) của argumen của nó khi chuyển động hết một lượt dọc theo chutuyến (theo chiều dương) và 2π

ký hiệu {ω}Γ là độ tăng của ω dọc theo chu tuyến Γ thì chỉ số của

G(t) được viết dưới dạng IndG(t) = 1

Toán tử compact có chỉ số bằng không

Toán tử Fredholm là toán tử Noether với chỉ số bằng không

A là toán tử Fredholm chính tắc nếu A = I + D, trong đó D là toán

K(x, s)ϕ(s)ds

trong đó K(x, s) là hàm liên tục trên miền [a,b]x[a,b]

Sau đây, ta giới thiệu một số định lý cơ bản về công thức tính chỉ số củatoán tử Noether: Nikolskii, Atkinson, Dieudonne, Mikhlin and Atkinson.Định lý 1.1 (Nikolskii) Toán tử A ∈ L(X1, X2) là Fredholm khi và chỉkhi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

a, Toán tử A có biểu diễn

A = B + D,

trong đó B là toán tử khả nghịch liên tục và D là toán tử compact

b, Toán tử A có biểu diễn A = B1 + K trong đó B1 có nghịch đảo

liên tục, K là toán tử hữu hạn chiều.

Chứng minh Đầu tiên chúng ta chứng minh điều kiện cần (b):

Cho x1(A), x2(A), , xα(A)(A) và u1(A∗), u2(A∗), , uα(A)(A∗) là cơ sởcủa không gian con KerA và kerA∗ Vì toán tử A là Fredholm nên

α(A) = α(A∗) < ∞

nên tồn tại hệ {ξk}α(A)k=1 ∈ X1∗ và {ζk}α(A)j=1 ∈ X2 trực giao với hệ: {xk}α(A)k=1

và {uj}α(A)j=1 chúng ta sẽ nghiên cứu toán tử:

Do uj ∈ KerA∗ nên A∗uj(x0) = 0 Do {ξj}α(A)j=1 và {uj}α(A)j=1 nên

uj(ξk) = δjk Suy ra, x0 ∈ KerA vì Ax0 =

α(A)

P

j=1

ξj(x0) = 0 Nên ta cóbiểu diễn:

Bây giờ chúng ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, taviết lại phương trình dưới dạng một hệ phương trình:

Sao cho đẳng thức (1.3) đúng Nghĩa là B1 là toán khả nghịch Vì mộttoán tử hữu hạn chiều là toán tử compact nên biểu diễn a, được chứngminh.

Bây giờ ta chỉ ra a, là điều kiện đủ của định lý Nikolskii Vì B là toán

tử khả nghịch, liên tục trong L(X1, X2) nên ta được hai phương trình sautương đương Ax = y và B−1Ax = B−1y Do đó tính giải được của haiphương trình trên đồng thời xảy ra (hoặc không đồng thời xảy ra)

Vì D1B−1D là một toán tử compact (D1 là tích của một toán tử bịchặn và một toán tử compact) thì toán tử B−1A = I + D1 là một toán tửFredholm chính tắc Vì toán tử ban đầu A cũng là Fredholm

Định nghĩa 1.8 ta nói rằng một toán tử A có một chính quy trái (phải)nếu tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặnR sao cho tíchRA(AR) là mộttoán tử Fredholm Toán tử R được gọi là chính quy trái (phải) của toán

tử A Toán tử A là có chính quy nếu nó đồng thời có chính quy trái vàphải

Định lý 1.2 (Atkinson 1) Các khẳng địng sau của toán tử tuyến tính bịchặn A là tương đương:

a, A là một toán tử Noether

b, Toán tử A có một chính quy

c, Tồn tại một cặp toán tử tuyến tính bị chặn B1 ∈ L(X2, X1) và

B2 ∈ L(X2, X1) sao cho B1A và AB2 là những toán tử Noether

Chứng minh a, ⇒ b, cho A là một toán tử Noether Vì α(A) < ∞ và

β(A) < ∞ Không gian Banach KerA và imA thuộc X1, X2 X1, X2 cócác tổng trực tiếp:

X1 = KerAMXf1, X2 = imAMXf2

Trong đó fX2 là không gian con hữu hạn chiều với chiều β(A) và cơ sở

{zj}β(A)j=1 Cho eA = A fX1 kí hiệu thương của hai toán tử A và X1 ta đượctoán tử eA xác định một - một từ fX1 vào imA Hơn nữa, toán tử eA có mộttoán tử nghịch đảo bị chặn: eA−1.

Xét toán tử chiếu: K1 : X1 → KerA và K2 : X2 →Xf2 chúng ta viết:

Trong đó hệ{ξj}α(A)j=1 và{ζj}β(A)j=1 là trực giao với các hệ{xj}α(A)j=1 và{zj}β(A)j=1

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng toán tử R = Ae−1(I − K2) là một chính quy củatoán tử A

Toán tử K1 và K2 hữu hạn chiều có cùng vai trò như toán tử

nên a, ⇒ b, được chứng minh

b, ⇒ c, được chứng minh tương tự

c, ⇒ a, từ KerA ⊂ Ker(B1A),KerA∗ ⊂Ker(AB2)∗ Ta thấy số chiềucủa các không gian con KerAvà KerA∗ là hữu hạn nên số chiều của khônggian Ker(B1A) và Ker(AB2)∗ là hữu hạn Vì α(A) < ∞, β(A) < ∞ ta có

thể chỉ ra rằng imA đóng Vì toán tử AB2 là toán tử Noether, chúng tacó:

y1 ∈ im(AB2) và y2 ∈ X2,1 Vì y1 ∈ imA và imA là tuyến tính, nên ta có

y2 = y − y1 ∈ imA và suy ra y ∈ X2,2 Hơn nữa, y ∈ X2,2L im(AB2) vàchúng ta được

imA = X2,2Mim(AB2)

Suy ra, imA là một không gian con của X2

Định lý 1.3 (Atkinson 2) Nếu toán tử tuyến tính bị chặn B : X1 → X2

và A : X2 → X3 là toán tử Noether, thì toán tử tích AB : X1 → X3 cũng

là toán tử Noether và indAB = indA +indB

Chứng minh Do các toán tử A và B có chính quy RA và RB tương ứng

Dễ thấy RBRA là một chính quy của tích AB Hơn nữa, AB là toán tửNoether, không gian X1, X2, X3 có các biểu diễn sau:

X1 = X1,1

MKerB,

indAB = dimKer(AB) − dimCoker(AB)

= indB − dimCokerA + dim(KerA ∩imB) + dim(KerA ∩ X2,1)

Nhưng,

dim(KerA ∩imB) + dim(KerA ∩ X2,1) = dimKerA

Vậy

ind(AB) = indA +indB

Hệ quả 1.1 Chỉ số của một chính quy hóa của một toán tử Noether A

là số đối với chỉ số của toán tử A

Định lý 1.4 (Dieudonne) Cho một toán tử Noether A tồn tại một sốdương %(A) sao cho mọi toán tử tuyến tính B thỏa mãn bất đẳng thức:

||B|| < %(A), toán tửA+B cũng là toán tử Noether và ind(A+B) = indA

Chứng minh Vì A là một toán tử Noether có một chính quy R, nghĩa là:

RA = I + D1, AR = I + D2 (1.4)trong đó D1, D2 là các toán tử compact Thì:

R(A+B) = RA+RB = I +D1+RB(A+B)R = AR+BR = I +D2+BR

(1.5)

%(A) = ||R||−1, Nếu||B|| < ||R||−1 chúng ta có: ||RB|| = ||BR|| < 1.Suy

ra, I + RB và I + BR có toán tử nghịch đảo liên tục

Theo Định lý Nikolskii, I + BR + D1 và I + BR + D2 là các toán tửNoether Thật vậy, indR +indA = indRA = 0 ta lại có: indR +ind(A +B) = indR(A + B) = 0 Do đó chúng ta được: indA = ind(A + B) =

−indR

Định lý 1.5 (Mikhlin và Atkinson) Nếu A là một toán tử Noether và D

là một toán tử compact thì A + D là một toán tử Noether và:

trong đó DR và RD cũng là các toán tử compact bởi vì chúng là tích củamột toán tử bị chặn và một toán tử compact Suy ra, toán tử R là một

chính quy của toán tử A + D Nghĩa là A + D là một toán tử Noether Do

đó tồn tại số ind(A + D) Chúng ta chú ý rằng:

ind(RA) = ind(I + D1) = 0,

ind(R(A + D)) = ind(I + D1 + RD) = 0,

Định nghĩa 1.9 Toán tử Noether A và B là đồng luân nếu tồn tại ánh

xạ liên tục Φ : [0, 1] → Θ(X1, X2) sao cho: Φ(0) = A và Φ(1) = B

Θ(X1, X2) là tập con của tập các toán tử Noether L(X1, X2)

Định lý 1.6 Nếu toán tử Noether A : X1 → X2 và toán tử B : X1 → X2

là đồng luân thì: indA = indB

Chứng minh Xét ánh xạ liên tụcΦ : [0; 1] → Θ(X1, X2)sao choΦ (0) = A

và Φ (1) = B từ định lý Dieudonne và tính liên tục của ánh xạ Φ với mọi

t0 ∈ [0; 1] tồn tại một số ε > 0 sao cho indΦ (t) = indΦ (t0) trong đó

|t − t0| < ε Theo định lý Heine - Borel, chúng ta có thể bao phủ đoạn

[0; 1] thành hữu hạn những khoảng có độ dài nhỏ hơn ε

So sánh chỉ số của toán tử Φ (t) với t thuộc các khoảng kể trên tathấy chỉ số của Φ (t) bằng nhau trong mỗi khoảng Bắt đầu với khoảngchứa Φ (0) = A kết thúc bởi Φ (1) = B Suy ra, indA = indB

Chúng ta kí hiệu hai toán tử đồng luân Avà B là A ' B Đặc biệt từđịnh lý Mikhlin-Atkinson ta có A ' B nếu A − B là toán tử compact

Một đường cong Lyapunop là biên của một miền liên thông bị chặn

D+ trên mặt phẳng phức Để đơn giản, chúng ta giả sử rằng: z = 0 ∈ D+,

ta kí hiệu D− = C(D+ ∪ Γ) Đường cong Γ được định hướng sao chokhi di chuyển trên đường cong Γ thì miền D+ luôn thuộc bên tay trái củachuyển động

Chúng ta kí hiệu (r; t), ([r; t]) là một cung mở (đóng) trên Γ với cácđiểm biên là r và t Các toán tử được xét trong luận văn tác động trongkhông gian Banach Lp(Γ), (1 < p < ∞), Lp(Γ), (1 < p < ∞) là tập cáchàm khả đo được trên Γ, khả tích Lebesgue bậc p với chuẩn là

C(Γ) là không gian các hàm liên tục trên Γ với chuẩn:

||ϕ||C = max

t∈Γ |ϕ(t)|

R(Γ) là hàm phân tuyến tính không có cực điểm trên Γ, rõ ràng R(Γ) ∈C(Γ) R± là tập tất cả những hàm phân tuyến tính r± với cực điểmtrong D∓, tập con của những hàm r−(t) ∈ R−(Γ) triệt tiêu tại vô cực kíhiệu là R0−(Γ) Ta được, mỗi hàm r ∈ R(Γ) có thể biểu diễn dưới dạng:

r = r++ r− Trong đó r+ ∈ R+(Γ) và r− ∈ R0

−(Γ)

Định nghĩa 1.10 Chọn điểm t ∈ Γ làm tâm đường tròn bán kính % đủnhỏ, giả sử t1 và t2 là giao điểm của đường tròn này với Γ Do bán kính

đủ nhỏ nên đường tròn không có điểm chung nào khác với Γ khác t1 và t2

GọiΓ% là phần của chu tuyếnΓ đã loại bỏ đi phần thuộc đường tròn và lấytích phân trên cung còn lại R

khi % → 0 được gọi là giá trị chính Cauchy của tích phân kỳ dị

Định nghĩa 1.11 (Toán tử tích phân kỳ dị) Toán tử:

trong đó tích phân được hiểu là lấy theo giá trị chính Cauchy Hàm ϕ(t)

được hiểu là hàm mật độ của tích phân kỳ dị trong không gian Lp(Γ), 1 <

p < ∞ Toán tử S được gọi là toán tử của tích phân kỳ dị trên Γ

Hệ quả 1.3 Cho T là một đường tròn đơn vị {t ∈ C : |t| = 1} thì

span{tk}+∞

−∞(|t| = 1) trù mật trong Lp(T)

Bổ đề 1.2 (Riesz) Toán tử S0 bị chặn trong Lp(T), 1 < p < ∞

Chứng minh Cho ϕ(t) = tm, t ∈ T, m = 0, ±1, , theo bổ đề trên

Vì vậy, nếu toán tử S0 bị chặn trên không gian Lp(T) thì nó bị chặntrên không gian L2pT và thỏa mãn:

||S0||L2p ≤ ||S0||Lp +q1 + ||S0||2

L2p

S0 bị chặn trên không gian Lp(T), ∀t ∈ [2; ∞)

Cuối cùng chứng minh tính bị chặn của toán tử S0 trên Lp(T) với

trong đó εk = 1 nếu k ≥ 0 và εk = −1 nếu k < 0 Suy ra, trên R(T)

toán tử S0∗ là toán tử liên hợp của toán tử S0 tác động lên không gian

Hệ quả 1.4 Cho Γ là một cung Lyapunov không đóng đơn thì toán tử S

của tích phân kỳ dị trên chu tuyến Γ bị chặn trên không gian Lp(Γ) vớimỗi p ∈ (1; ∞)

Định lý 1.8 Toán tử tích phân kỳ dị trên chu tuyến đóng đơn Γ địnhnghĩa trên không gian Lp(Γ), (p ∈ (1; ∞)) là đối hợp trên không gian

Lp(Γ), nghĩa là S2 = I

Định lý 1.9 Khi hàma(t)liên tụca(t) ∈ C(Γ)thì toán tử D = [aI, S] =

aS − SaI tác động lên không gian Lp(Γ), p ∈ (1; ∞) là compact

Định lý 1.10 Cho Γ là một chu tuyến Lyapunov đóng hoặc không đóng,

và choS là SIFO trong không gianLp(Γ), p ∈ (1; ∞).cho γ ∈ Γ và choχγ

là kí hiệu của hàm đặc trưng của cung γ Hạn chế P |Lp(γ) = P χγI không

là toán tử compact

Hệ quả 1.5 Toán tử S ∈ L(L2(Γ)) được gọi là tự liên hợp (S = S∗) nếu:

a, Γ là một đoạn [a, b] của trục thực

1.3 Hàm dịch chuyển và toán tử dịch chuyển

Nếu không có giả thiết trước, chúng ta sẽ luôn giả sử rằng dịch chuyển

α(t) có đạo hàm α0(t) luôn khác không và thỏa mãn điều kiện Holder tạimọi điểm trên Γ

Phân loại hàm dịch chuyển có thể thực hiện theo các cách sau:

1, Hàm dịch chuyển α(t) bảo toàn hướng trên Γ hoặc thay đổi hướng(theo hướng ngược lại) trên Γ

2, Hàm dịch chuyển α(t) có hoặc không có điểm tuần hoàn trên Γ

3, Nếu tồn tại những điểm tuần hoàn thì hoặc là tất cả những điểmtrên đường cong Γ là tuần hoàn hoặc những điểm tuần hoàn trên Γ là mộttập đóng

Sau đây là định nghĩa điểm tuần hoàn, điểm bất động và tập điểm tuầnhoàn

Định nghĩa 1.13 Một điểm r ∈ Γ được gọi là một điểm tuần hoàncủa hàm dịch chuyển α(t) cấp k ≥ 1 nếu αk(r) = r và ( cho k>1),

αj(r) 6= r, ∀j = 1, 2, , k − 1,trong đó αj(t) = α(αj−1(t)), và ta quy ước

α0(t) ≡ t

Một điểm tuần hoàn bậc một được gọi là điểm bất động hàm dịchchuyển.

M (α, k) là kí hiệu của tập các điểm tuần hoàn của dịch chuyển α(t)

bậc k Dãy αn(t), n = 1, 2, được gọi là dãy lặp của dịch chuyển α(t)

Vì vậy, chúng ta luôn có thể chọn r1, r2 ∈ M (α, 1) sao cho t ∈ (r1; r2)

và

(r1; r2) ∩ M (α; 1) = ∅ (1.6)Chú ý rằng, trong trường hợp đặc biệt, nếu tập M (α, 1) chỉ có mộtđiểm đơn, khi đó hai điểm r1, r2 trùng nhau và: (r1; r2) = Γ{r1} Khi

r1, r2 ∈ M (α, 1)và α(t) bảo toàn hướng (α(t)là đồng phôi từ Γ vào chínhnó) Điểm α(t) ∈ (r1; r2) nghĩa là α(t) ánh xạ cung (r1; r2) lên chính nó.Thật vậy, cung (r1; α(t)) và (α(t); r2) được ánh xạ bởi hàm α(t) lên cáccung (r1; α(t)) và (α(t); r2), giả sử α(t) 6∈ (r1; r2) mâu thuẫn với ánh xạ

α(t) : Γ → Γ bảo toàn hướng trên Γ Tương tự như vậy, chúng ta được:

αn(t) ∈ (r1; r2)với mọin = 1, 2, (1.7)

Vì t ∈ M (α, 1), hoặc α(t) 6∈ (t; r2) (khi đó ta nói r1 là một điểm "đẩy”,

r2 là một điểm "hút") hoặc là α(t) ∈ (r1; t) (khi đó ta nói r1 là một điểm

"hút" vàr2 là một điểm "đẩy") Chẳng hạn cho α(t) ∈ (t; r2) Vì α(t) bảotoàn hướng trên Γ, chúng ta được

αn(t) ∈ (αn−1(t); r2), n = 1, 2, (1.8)

Như vậy ta có: αn(t) 6= t với mọi n = 1, 2, Suy ra, nếu t ∈ M (α, 1)

thì t 6∈ M (α, k) với mọi k = 2, 3, khi t là một điểm bất kỳ của tập

ΓM (α, 1), chúng ta có: M (α; k) = ∅, k = 2, 3,

Khi k > 1 và M (α, k) 6= ∅ Đặt m là số dương nhỏ nhất sao cho

M (α, m) 6= 0 Nói cách khác, M (α, m) 6= ∅ và M (α, j) = ∅ với j =

1, 2, , m − 1 Cho β(t) = αm(t), ta được β(t) bảo toàn hướng trên Γ

Chúng ta có: M (β, 1) 6= ∅ và nếu α(t) có điểm tuần hoàn cấp k > m thì

β(t) sẽ có điểm tuần hoàn cấp lớn hơn đơn vị (Nhưng điều này không thểxảy ra theo điều kiện trên) Do đó, M (α, l) = ∅ nếu l 6= k

Bổ đề 1.4 Nếu một hàm dịch chuyển α(t) bảo toàn hướng trên Γ, vànếu các điểm r1, r2 ∈ M (α, 1) sao cho: (r1, r2) ∩ M (α, 1) = ∅, thì tồn tại

t ∈ (r1, r2), dãy lặp αn(t)(α−n(t)) hội tụ về một điểm bất động hoặc là

r1(r2) hoặc là r2(r1)

Định lý 1.12 Tập M+ của các đồng phôi bảo toàn hướng của một chutuyến đóng đơn vào chính nó có thể được phân chia thành các lớp sau:

1, tồn tại một số nguyên dương k ≥ 2 (nhỏ nhât) sao cho αk(t) =

t, ∀t ∈ Γ, nghĩa là tất cả các điểm của chu tuyến Γ là những điểm tuầnhoàn của α(t) cấp k (lớp M1+)

2, Tập những điểm tuần hoàn của α(t) là khác rỗng và không trùngvới chu tuyến Γ Hơn nữa, tất cả các điểm tuần hoàn của α(t) có cùng cấp

k ≥ 1 (lớp M2+)

3, Tập những điểm tuần hoàn của α(t) là rỗng (lớp M3+)

Định nghĩa 1.14 (Hàm dịch chuyển Carleman) Một dịch chuyển α(t)

thỏa mãn điều kiện M (α, k) = Γ với k ≥ 2(α(t) ∈ M1+) được gọi là mộthàm dịch chuyển Carleman

Một dịch chuyển α(t) thỏa mãn điều kiện: M (α, k) 6= Γ, (α(t) ∈

M2+hoặcα(t)) ∈ M3+ được gọi là một dịch chuyển non-Carleman Đôi khi

kí hiệu dịch chuyển α(t) ∈ M3+ là một dịch chuyển ergodic

Hệ quả 1.6 Một dịch chuyển Carleman bảo toàn hướng cấp k ≥ 2 không

có điểm tuần hoàn cấp l 6= k

Bổ đề 1.5 Cho một dịch chuyển Carleman bảo toàn hướng trên Γ vớicấpk > 2, tồn tại một số nguyên dương l sao cho dịch chuyển β(t) = αl(t)

và những điểm β1(t), , βk−1(t), t ∈ Γ được sắp thứ tự theo chiều dươngtrên Γ

Định lý 1.13 Tập M− của những đồng phôi từ Γ vào chính nó và thayđổi hướng (thành hướng ngược lại) được phân chia thành các lớp M1− và

M2− được xác định bởi điều kiện sau:

1, α2(t) ≡ t (Dịch chuyển Carleman)

2, α2(t) ∈ M2+ và M (α2; 1) 6= 0 (dịch chuyển phi Carleman)

Chứng minh Dịch chuyển ngược hướng α(t) có hai điểm bất động tức là

M (α, 1) 6= ∅ Ta được, hai điểm bất động này cũng là điểm bất động củadịch chuyển bảo toàn hướng trênΓ α2(t) = α(α(t))nghĩa làM (α2, 1) 6= ∅

Nếu M (α2, 1) = Γ thì dịch chuyển α(t) thỏa mãn điều kiện α2(t) =α(α(t)) ≡ t và thuộc lớp M1−

NếuM (α2(t), 1) 6= Γthì dịch chuyển bảo toàn hướngα2(t)thuộc M2+

và M (α2, 1) 6= ∅

Từ Định lý này ta có:

Hệ quả 1.7 Đồng phôi α(t) của một chu tuyến đơn Γ lên chính nó, thayđổi hướng trên Γ và là một dịch chuyển Carleman sao cho số k nhỏ nhấtlớn hơn 2 không tồn tại.

Chúng ta xét hàm α(t) = t − c

ct − 1, t ∈ T. Dễ dàng kiểm tra α(t) ∈

T, α(α(t)) ≡ t và các điểm t và α(t) chuyển động cùng hướng hoặc ngượchướng trên T nếu |c| < 1 hoặc |c| > 1 Do đó M1+(k = 2) và M1− khácrỗng Ta chọn α(t) = eiθt Nếu θ là bội hữu tỉ của π thì ta được ví dụ vềdịch chuyển thuộc lớp M1+ với mọi k ≥ 2, nếu θ không là bội hữu tỉ của π

ta được ví dụ về dịch chuyển thuộc lớp M3+ Biến đổi phân tuyến tính

α(z) = a1z + a2

a3z + a4, ∆ = a1a4 − a2a3 6= 0

ánh xạ đường tròn đơn vị vào chính nó nếu a3 = λa2, a4 = λa1, λ = ±1

Ta có thể viết hàm dịch chuyển của T lên chính nó dưới dạng:

2 ta được α(t) ∈ M2− Sau đây ta giới thiệu toán tử dịchchuyển Carleman và một số tính chất:

chất

Trong mục này, trình bày hai loại toán tử Carleman trong không gian

Lp(Γ), (1 < p < ∞) và không gianHµ, (0 < µ ≤ 1) cùng một số tính chất

Định lý 1.14 Các lớpM1+, M2+, M3+, M1−, M2− là khác rỗng chúng ta giớithiệu toán tử dịch chuyển:

(W ϕ)(t) = ϕ(α(t))

Định lý 1.15 Toán tử dịch chuyển W là một toán tử tuyến tính bị chặn,

có nghịch đảo liên tục trên không gian Lp(Γ), 1 < p < ∞ và Hµ(Γ), 0 <

Xét trong không gian Hµ(Γ), (0 < µ ≤ 1):

|t − r|µ } Suy ra, toán tử dịch chuyển

α(t) bị chặn trên không gian Hµ(Γ), µ ∈ (0; 1]

Toán tử W có nghịch đảo liên tục trên không gianLp(Γ)và Hµ(Γ) và

từ tính chất của đồng phôi α(t) Toán tử nghịch đảo W−1 được xác địnhbởi đẳng thức (W−1ϕ(t)) = ϕ(α−1(t))

Hệ quả 1.8 Toán tử dịch chuyển: (U ϕ)(t) = |α0(t)|1pϕ(α(t)) là một toán

tử bị chặn liên tục trên Lp(Γ) và ||U ϕ|| = ||ϕ||

*Nhận xét: từ tính chất của toán tử dịch chuyển W (và U) ta được:Wαm =

Wαm, m = 0, ±1, ±2,

Nếu αn(t) ≡ t (α(t) là một dịch chuyển Carleman) thì Wn = I

Định lý 1.16 Nếu Γ là một đường cong Lyapunop đóng đơn, α(t) làmột đồng phôi của Γ lên chính nó, α0(t) 6= 0 và α0(t) ∈ Hµ(Γ), µ ∈ (0; 1],

thì toán tử K = γW SW−1 − S là toán tử compact trong các không gian

Lp(Γ), p ∈ (1, ∞); Hµ(Γ), µ ∈ (0; 1]; (γ = ±1)

Hệ quả 1.9 Toán tử: eK = γW S − SW là compact trong không gian

Lp(Γ) và Hµ(Γ); γ = ±1