CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU GORENSTEIN

Đặc biệt là tính chất đóng đối với tổng trực tiếp, đóng đối với tích trực tiếp và đóng đối với hạng tử trực tiếp của các lớp này.. Các kết quả trong chương này là cơ sở để ta nghiên cứu

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Thái Ngân

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Thái Ngân

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUY ỄN VIẾT ĐÔNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2013

L ỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy trong tổ Đại số, đã tận tình dạy

dỗ và truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt những năm cao học Đặc

biệt, em cũng xin cảm ơn thầy TS Nguyễn Viết Đông, thầy đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình làm luận văn

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình đã tạo điều kiện để cho em tập trung

học tập Cuối cùng, xin cảm ơn các anh chị khóa trên và những người bạn đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian qua

Lê Thái Ngân

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

B ẢNG KÍ HIỆU 3

L ỜI MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1.1 Các môđun đặc biệt 6

1.2 Ti ền bao và tiền phủ 10

1.3 Vành coherent ph ải 11

1.4 Ph ức và đồng điều 12

1.5 Chiều đồng điều 14

1.6 Torn và Extn 15

CHƯƠNG 2: LỚP RESOLVING 19

CHƯƠNG 3: CHIỀU XẠ ẢNH GORENSTEIN VÀ CHIỀU NỘI XẠ GORENSTEIN 29

C HƯƠNG 4: CHIỀU DẸT GORENSTEIN 51

K ẾT LUẬN 63

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 64

M tích trực tiếp của họ môđun { }M i i I∈

Im(M →N) ảnh của đồng cấu M →N

Ker(M →N) hạt nhân của đồng cấu M → N

Hom (R M N , ) tập các R-đồng cấu M →N

Ext (n R M N , ) tích mở rộng n -chiều trên R của môđun M và N

M+ môđun đặc trưng của M , M+ =Hom ( M,  )

pdR M (idR M ,fdR M ) chiều xạ ảnh (nội xạ, dẹt) của R-môđun M

GpdR M (GidR M ,GfdR M ) chiều xạ ảnh (nội xạ, dẹt) Gorenstein của R-môđun M

Chú ý Nếu vành R đã xác định, ta ký hiệu thu gọn là: M ⊗N, Hom(M N, ),

L ỜI MỞ ĐẦU

Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu về chiều đồng điều Gorenstein của

một môđun, dựa trên bài báo [7] của Henrik Holm Trong suốt luận văn, khi nói đến

môđun M mà không nói rõ thì ta hiểu là M môđun trái Khi nói đến vành bất kì, thì

ta qui ước đó là vành kết hợp có đơn vị

Luận văn có 4 chương Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị mà chúng ta

sử dụng trong suốt luận văn Đặc biệt là các tính chất liên quan đến các biểu đồ giao hoán, và các định nghĩa, tính chất liên quan đến Torn và Ext n

Chương 2 trình bày về lớp resolving, các lớp trực giao và các X-phép giải cùng với các tính chất của chúng Đặc biệt là tính chất đóng đối với tổng trực tiếp, đóng đối với tích trực tiếp và đóng đối với hạng tử trực tiếp của các lớp này Các kết

quả trong chương này là cơ sở để ta nghiên cứu về lớp các môđun xạ ảnh Gorenstein,

lớp các môđun nội xạ Gorenstein, lớp các môđun dẹt Gorenstein, và chiều đồng điều Gorenstein trong các chương sau

Chương 3 trình bày về môđun xạ ảnh Gorenstein, môđun nội xạ Gorenstein, chiều xạ ảnh Gorenstein và chiều nội xạ Gorenstein Những khái niệm và tính chất

của môđun nội xạ Gorenstein và chiều nội xạ Gorenstein là đối ngẫu của các khái

niệm và tính chất của môđun xạ ảnh Gorenstein và chiều xạ ảnh Gorenstein nên ta không chứng minh Cụ thể, ta đã chứng minh được các kết quả chính sau đây:

Định lý 3.5 Lớp GP( )R tất cả các R-môđun xạ ảnh Gorenstein là lớp resolving x ạ ảnh Hơn nữa, GP( )R đóng đối với các tổng trực tiếp bất kì và đóng đối với các hạng tử trực tiếp

Định lý 3.21 Cho R-môđun M có chiều xạ ảnh Gorenstein hữu hạn, và một số

nguyên n Khi đó ta có các mệnh đề sau là tương đương:

4) V ới mỗi dãy khớp 0→K n →G n - 1→ → G0 →M →0 , trong đó

Do hạn chế về thời gian và năng lực nên luận văn chỉ giới thiệu về khái niệm và

một số tính chất của các chiều đồng điều Gorenstein, chưa chỉ ra được ứng dụng của chúng trong nghiên cứu Toán học

Mặc dù đã cố gắng nhưng trong luận văn khó tránh khỏi sai sót Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô, anh chị và các bạn Chân thành cảm ơn

Lê Thái Ngân

C HƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Các môđun đặc biệt

Định nghĩa 1.1 Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu

:B→C,

σ mỗi đồng cấu f P: →C, tồn tại đồng cấu : →ϕ P Bsao cho f =σϕ

Chú ý 1.2 Một định nghĩa vắn tắt về môđun xạ ảnh là: Môđun P là môđun xạ ảnh

nếu hàm tử Hom(P,−) là hàm tử khớp Như vậy, môđun P là môđun xạ ảnh khi và

chỉ khi với bất kì dãy khớp ngắn

0→ → → →A B C 0,thì dãy sau đây là khớp:

Định lý 1.3 ([1], Định lý 1, trang 73) Mỗi môđun tự do X đều là môđun xạ ảnh Định lý 1.4 ([1], Định lý 2, trang 73) Tổng trực tiếp của họ môđun P =⊕i I∈ P là x i ạ ảnh khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần P i là xạ ảnh

Mệnh đề 1.5 ([2], Bài tập 1.17) Cho biểu đồ các đồng cấu

trong đó hf =0, dòng là kh ớp Khi đó, tồn tại duy nhất đồng cấu : →ϕ C X sao cho

=

h ϕ g

Mệnh đề 1.6 ([2], Bài tập 1.18) Cho biểu đồ các đồng cấu

trong đó gh=0, dòng là kh ớp Khi đó, tồn tại duy nhất đồng cấu : →ψ X A sao cho

Mệnh đề 1.7 ([2], Bài tập 2.4) Cho biểu đồ các đồng cấu

trong đó hình vuông giao hoán, dòng dưới là khớp, kh=0, và P là môđun xạ ảnh Khi đó, tồn tại duy nhất đồng cấu : →ϕ P A để hình vuông bên trái giao hoán

Mệnh đề 1.8 ([1], Bổ đề năm ngắn, trang 56) Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu

sau, trong đó các dòng là khớp:

Khi đó, nếu α γ, là đơn (toàn, đẳng) cấu thì β cũng là đơn (toàn, đẳng) cấu

Mệnh đề 1.9 ([2], Bài tập 1.23) Cho biểu đồ giao hoán

trong đó các cột là khớp Nếu hai dòng liên tiếp là khớp thì dòng còn lại cũng là

kh ớp Nếu dòng 1 và dòng 3 khớp, dòng 2 nửa khớp, thì dòng 2 khớp

Mệnh đề 1.10 ([2], Bài tập 2.6) Mỗi dãy khớp ngắn 0→ → → →A B C 0 có th ể nhúng vào bi ểu đồ giao hoán

trong đó ba dòng, ba cột đều là khớp, dòng giữa chẻ gồm các môđun xạ ảnh Hơn

n ữa, các cột biên trái và biên phải có thể chọn tùy ý

Định nghĩa 1.11 Môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu với mọi đơn cấu

χ A→B mỗi đồng cấu f A: → J, tồn tại đồng cấu : →f B J sao cho f = χf

Chú ý 1.12 Một định nghĩa vắn tắt về môđun nội xạ là: Môđun J là môđun nội xạ

nếu hàm tử Hom(−,J) là hàm tử khớp Như vậy, môđun J là môđun nội xạ khi và

chỉ khi với bất kì dãy khớp ngắn

0→ → → →A B C 0,thì dãy sau đây là khớp:

Định lý 1.13 ([1], Định lý 8, trang 81) Tích trực tiếp của họ môđun

∈

=∏ i

i I

J J là nội

x ạ khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần J i là n ội xạ

Định lý 1.14 ([1], Định lý 9, trang 82) Mỗi môđun X có thể nhúng vào một môđun

nội xạ N(X) nào đó, xem như môđun con của của N(X)

M ệnh đề 1.15   là mô đun nội xạ trên vành 

Mệnh đề 1.16 ([2], Bài tập 2.8) Cho biểu đồ các đồng cấu

trong đó hình vuông giao hoán, dòng trên là khớp, gf =0, và J là môđun nội xạ Khi

đó, tồn tại duy nhất đồng cấu : →ϕ C J để hình vuông bên phải giao hoán

Mệnh đề 1.17 ([2], Bài tập 2.10) Mỗi dãy khớp ngắn 0→ → → →A B C 0 có th ể nhúng vào bi ểu đồ giao hoán

trong đó ba dòng, ba cột đều là khớp, dòng giữa chẻ gồm các môđun nội xạ Hơn

n ữa, các cột biên trái và biên phải có thể chọn tùy ý

Định nghĩa 1.18 R-môđun phải A được gọi là dẹt phải nếu hàm tử ( A⊗− ) là hàm

tử khớp Nói cách khác A là môđun dẹt phải khi và chỉ khi với mỗi dãy khớp ngắn các R-môđun trái,

0→ X → → →Y Z 0,thì dãy sau đây là khớp:

0→ A⊗X → A Y⊗ → A Z⊗ →0

R- môđun dẹt trái định nghĩa tương tự

Mệnh đề 1.19 ([2], Bài tập 2.22) Mọi môđun xạ ảnh là môđun dẹt

Định lý 1.20 ([1], Định lý 2, trang 90) Cho họ các R-môđun phải { }Xλ λ Λ∈ và h ọ các R- môđun trái { }Yµ µ Γ∈ , khi đó ta có

Định nghĩa 1.22 Một R-môđun M được gọi là biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại dãy

Nhận xét 1.24 Mỗi R-môđun trái M đều có thể nhúng vào một R-môđun trái nội xạ

nào đó Môđun đặc trưng M+ là một R-môđun phải, M++ là một R-môđun trái, và

R-đồng cấu ϕ:M →M++, được cho bởi mϕm

(ϕm( )f = f m( )với mọi f ∈M+), là một đơn cấu

Mệnh đề 1.26 ([8], Mệnh đề 3.54) Một R-môđun trái M là dẹt khi và chỉ khi môđun

đặc trưng M+ c ủa nó là R-môđun phải, nội xạ

1.2 Tiền bao và tiền phủ

Cho vành R, và X là một lớp các R-môđun Giả sử X thỏa các điều kiện sau:

1) Xđóng đối với tổng trực tiếp hữu hạn Nghĩa là, với các R-môđun

i M X

2) Xđóng đối với hạng tử trực tiếp Nghĩa là, M = M ′⊕M ′′∈ X thì M′∈X.

Khi đó ta có các định nghĩa:

Định nghĩa 1.27 Cho X là một lớp các R-môđun bất kì và M là một R-môđun Một

X-tiền bao của M là một R-đồng cấu :ϕ M → X v, ới X ∈X,sao cho dãy

là khớp với mọi X′∈X

Định nghĩa 1.28 Cho X là một lớp các R-môđun bất kì và M là một R-môđun Một

X-ti ền phủ của M là một R-đồng cấu :ϕ X →M v, ới X ∈X,sao cho dãy

là khớp với mọi X′∈X

Nhận xét 1.29 Với lớp môđun xạ ảnh P( )R , lớp môđun nội xạ I ( )R , lớp môđun

dẹt F( )R , ta có các định nghĩa tiền bao xạ ảnh (P( )R -tiền bao), tiền bao nội xạ (

I -tiền bao), tiền bao dẹt (F( )R -tiền bao) và tiền phủ xạ ảnh (P( )R -tiền phủ),

tiền phủ nội xạ (I ( )R -tiền phủ), tiền phủ dẹt (F( )R -tiền phủ)

1.3 Vành coherent ph ải

Định nghĩa 1.30 Vành R được gọi là coherent phải nếu mọi iđêan phải hữu hạn sinh

của R là biểu diễn hữu hạn

Định lý 1.31 ([9], Định lý 2.5.1) Cho vành R, mỗi R-môđun trái M có một F( )R

-ti ền bao khi và chỉ khi R là vành coherent phải

Bổ đề 1.32 ([9], Bổ đề 3.1.4) Nếu R là vành coherent phải và I là R-môđun phải,

n ội xạ thì I+ =Hom ( , I  ) là R- môđun dẹt trái

gọi là nửa khớp nếu tích hai đồng cấu liên tiếp là đồng cấu 0

Một phức là một dãy nửa khớp đánh số trên tập số nguyên Nếu chỉ số tăng cùng (ngược) chiều các mũi tên đồng cấu gọi là phức tiến (lùi) Các ∂n gọi là đồng

c ấu vi phân Phức X={X n,∂n} g ọi là phức dương (âm) nếu X n =0 khi n<0 (n>0), được đánh số theo chỉ số dưới (trên)

Định nghĩa 1.34 Cho các phức X={X n,∂n}và X′={X′ ′n,∂n}, một biến đổi dây

chuy ền f X: → X là m′ ột họ các đồng cấu {f n :X n → X n′} sao cho biểu đồ sau giao hoán:

Định nghĩa 1.35 Cho các phức X={X n,∂n}và X′={X n′ ′,∂n} và f g, là các biến đổi dây chuyền từ X vào X H.′ ọ đồng cấu = { : → ′ 1}

môđun thương H Xn( ) = Ker ∂n Im ∂n +1được gọi là môđun đồng điều thứ n của

Định nghĩa 1.37 Phức K={K n,∂K} được gọi là phức con của X={X n,∂n} nếu với

mỗi n∈, K n là môđun con của X n và vi phân ∂K là vết của ∂n

Cho K={K n,∂K} là phức con của X={X n,∂n} Khi đó X K={X n K n, ′∂n} với

1

′

∂n x K+ n = ∂n x K+ n - được gọi là phức thương của phức X theo phức con K

Định nghĩa 1.38 Cho dãy các phức và các biến đổi dây chuyền:

→ → f → g →,

Dãy được gọi là khớp tại phức Y nếu với mỗi n: Im fn = Ker gn

Dãy được gọi là khớp nếu nó khớp tại bất kì phức trung gian nào của dãy Như

vậy, dãy các phức và các biến đổi dây chuyền trên là khớp khi và chỉ khi với mỗi n,

dãy sau đây là khớp:

và phép biến đổi dây chuyền f ={ }f n :X → X ′ Khi đó, phức M M f= ( ),

1 2 1 1

: →δ X n + ⊕X n ′+ →δ X n⊕X n ′+ →δ X n - ⊕X n ′ →δ ,

M

với δ ( , )x x =′ ( −∂ ∂x, ′ ′x + fx), được gọi là nón ánh xạ của biến đổi f

Định lý 1.40 ([1], Định lý 3, trang 128) Biến đổi dây chuyền f X: → X ′ cùng nón

H với mọi n nên M là các dãy khớp

1.5 Chi ều đồng điều

Định nghĩa 1.42 Cho A là R-môđun tùy ý Ta gọi phép giải của A là một dãy khớp

các R-môđun và các đồng cấu

0 1

Nói riêng, nếu X n là môđun tự do (tương ứng, môđun xạ ảnh, dẹt) trên R với

mọi n≥0,thì phép giải trên gọi là một phép giải tự do (tương ứng, phép giải xạ ảnh,

cũng là một phép giải của A Nếu n

X là môđun nội xạ trên R với mọi n≥0 thì phép

giải này gọi là phép giải nội xạ của A

Định lý 1.43 ([1], Định lý 1, trang 147) Mọi R-môđun A đều có một phép giải tự do Định nghĩa 1.44

1) Một phép giải 0→X n → X n - 1→ → X0→M →0 c ủa R-môđun M được

gọi là có độ dài n

2) Chi ều xạ ảnh c ủa R-môđun M , pdR M , là độ dài nhỏ nhất trong các độ dài của các phép giải xạ ảnh hữu hạn của M Nếu vành R được chỉ rõ chúng ta có thể viết gọn

là pdM Nếu M không có phép giải xạ ảnh hữu hạn, ta viết pdR M =∞ Lớp tất cả

các R-môđun có chiều xạ ảnh hữu hạn được kí hiệu là ( )P R

3) Chi ều nội xạ của R-môđun M, idR M (idM ), là độ dài nhỏ nhất trong các độ dài của các phép giải nội xạ hữu hạn của M Nếu M không có phép giải nội xạ hữu

hạn, ta viết idR M =∞ Lớp tất cả các R-môđun có chiều nội xạ hữu hạn được kí hiệu

là I ( )R

4) Chi ều dẹt của R-môđun M, fd R M M (fd ), là độ dài nhỏ nhất trong các độ dài

của các phép giải dẹt hữu hạn của M Nếu M không có phép giải dẹt hữu hạn, ta viết

fdR M =∞ Lớp tất cả các R-môđun có chiều dẹt hữu hạn được kí hiệu là F( )R

Nhận xét 1.45 R-môđun xạ ảnh (tương ứng, nội xạ, dẹt) có chiều xạ ảnh (tương ứng,

chiều nội xạ, chiều dẹt) bằng không

trong đó ∂∗ là tích tenxơ ∂⊗1B Với mỗi n≥0, ta định nghĩa H n(X ⊗B) là tích

xoắn n-chiều trên R của các môđun A và B Ký hiệu Tor (n R A,B). Khi vành R đã rõ, ta

viết gọn là Tor (n A,B) Trường hợp n =1, ta sử dụng kí hiệu Tor(A,B)

Định lý 1.47 ([1], Định lý 5, trang 160) Với mọi R-môđun phải A và mọi dãy khớp

Định lý 1.48 ([1], Định lý 6, trang 161) Với mọi R-môđun trái B và mọi dãy khớp

v ới A′′ là môđun dẹt Khi đó, A′ là môđun dẹt khi và chỉ khi A là môđun dẹt

Định nghĩa 1.50 Cho A là R-môđun phải và

trong đó δ =Hom( ,1 )∂ B Với mỗi n>0, ta định nghĩa H n(Hom( , ))X B là tích m ở

r ộng n-chiều trên R của các môđun A và B Ký hiệu Ext (n )=0

R A,B Khi vành R đã

rõ, ta viết gọn là Ext (n A,B)=0. Trường hợp n =1, ta sử dụng kí hiệu Ext(A,B)=0.

Mệnh đề 1.51 ([2], Bài tập 4.13) Cho R-môđun trái A, thì các phát biểu sau tương

đương:

1) A là x ạ ảnh

A,B v ới mọi n>0và v ới mọi R-môđun trái B

Mệnh đề 1.52 ([2], Bài tập 4.13) Cho R-môđun trái B, thì các phát biểu sau tương

đương:

1) B là n ội xạ

Định lý 1.53 ([1], Định lý 5, trang 168) Nếu A là môđun trái trên vành R và cho một

dãy khớp ngắn

các môđun trái trên R, thì ta có dãy khớp

1

Định lý 1.54 ([1], Định lý 6, trang 168) Nếu B là môđun trái trên vành R và cho một

dãy kh ớp ngắn

các môđun trái trên R, thì ta có dãy khớp

1

Mệnh đề 1.56 ([8], Mệnh đề 7.21) Cho họ các R-môđun { }Aλ λ Λ∈ và R- môđun B Khi

đó, với mọi n≥0, t ồn tại một đẳng cấu

Mệnh đề 1.58 ([4], Mệnh đề 5.2, trang 28) Cho R, S là các vành, A là R-môđun trái,

B là (S,R)- song môđun và C là S-môđun phải Khi đó, tồn tại đẳng cấu

( )

Mệnh đề 1.59 ([4], Mệnh đề 5.2′ , trang 28) Cho R, S là các vành, A là R-môđun

ph ải, B là (R,S)-song môđun và C là S-môđun phải Khi đó, tồn tại đẳng cấu

( )

Mệnh đề 1.60 ([4], Mệnh đề 5.1, trang 119) Cho R, S là các vành, A là R-môđun

phải, B là (R,S)-song môđun và C là S-môđun phải nội xạ Khi đó, với mọi n≥0, thì

C HƯƠNG 2: L ỚP RESOLVING

Định nghĩa 2.1 Cho X là một lớp các R-môđun

1) X được gọi là lớp resolving xạ ảnh nếu P ( ) R ⊆ X , và với mỗi dãy khớp

ngắn 0→X′→ X → X′′→0 mà X′′∈X thỏa X′∈X khi và chỉ khi X ∈X. 2) X được gọi là lớp resolving nội xạ nếu I ( ) R ⊆ X , và với mỗi dãy khớp

ngắn 0→X′→ X → X′′→0 mà X′∈X thỏa X′′∈X khi và chỉ khi X ∈X.

Định nghĩa 2.2 Cho X là một lớp các R-môđun bất kì Khi đó lớp trực giao trái,

⊥X, và l ớp trực giao phải, X⊥, lần lượt được định nghĩa như sau:

n ội xạ, đóng đối với các tích trực tiếp bất kì

Ch ứng minh Ta chứng minh lớp ⊥X là lớp resolving xạ ảnh Từ Mệnh đề 1.51, ta

có P( )R ⊆ ⊥X.Xét dãy khớp ngắn

theo Định lý 1.54, với mọi Y ∈ X, ta có dãy khớp

1

λ Λ Vì vậy, lớp ⊥X đóng đối với các tổng trực tiếp bất kì

Áp dụng Định lý 1.53 và Mệnh đề 1.57, chứng minh tương tự trên, ta có lớp

⊥

X là lớp resolving nội xạ, đóng đối với các tích trực tiếp bất kì

Ví d ụ 2.4 Từ Mệnh đề 1.51, ta có P( )R = ⊥M( ),R do đó lớp P( )R là lớp resolving xạ ảnh Từ Mệnh đề 1.52, ta có I ( )R = M( )R ⊥ là lớp resolving nội xạ Vì môđun xạ ảnh là môđun dẹt nên P( )R ⊆ F( )R và theo Mệnh đề 1.49, thì lớp

Chứng minh Giả sử Y là hạng tử trực tiếp của X ∈X. Ta sẽ chứng minh Y∈X.

Ta có X = Y ⊕Z với môđun Z nào đó

Nếu X đóng đối với các tổng trực tiếp đếm được, ta đặt

Nếu X đóng đối với các tích trực tiếp đếm được, ta đặt

1) X-phép gi ải trái của M là một dãy khớp

X :→ X1→ X0 →M →0, trong đó Xn∈ X với mọi n≥0

2) X-phép gi ải phải của M là một dãy khớp

X : 0→M → X0→ X1→, trong đó n∈ X

X với mọi n≥0

ChoX là một X-phép giải (trái hoặc phải) bất kì của M Ta nói X là chính

(tương ứng, đối chính) nếu dãy Hom(Y, X) (tương ứng, Hom(X, )Y ) là khớp với mọi

R-1) N ếu X đóng đối với các tích trực tiếp bất kì, và nếu mỗi R-môđun M i có

m ột X-phép gi ải trái (chính) thì tích ∏M i cũng có một X-phép gi ải trái (chính)

2) N ếu X đóng đối với các tổng trực tiếp bất kì, và nếu mỗi R-môđun M i có

m ột X-phép gi ải phải (đối chính) thì tổng ⊕M i cũng có một X-phép gi ải phải đối chính)

Ch ứng minh Ta chứng minh 1) Giả sử mỗi M i có một X-phép giải trái là

Y X là kh i ớp, suy ra dãy Hom(Y, X)

là khớp với mọi Y∈X Vậy X là X-phép giải trái, chính của ∏M i

Mệnh đề 2) chứng minh tương tự 1)

Bổ đề 2.8 Cho X là m ột lớp các R-môđun Giả sử X đóng đối với các tổng trực

ti ếp hữu hạn, và cho dãy khớp ngắn các R-môđun

M M M

sao cho dãy

0→Hom(M Y′′, )→Hom(M Y, )→Hom(M Y′, )→0

là khớp với mọi Y∈X Khi đó, nếu cả hai M′và M′′đều có X-phép giải phải, đối chính thì M cũng có

∂ = f f Mặt khác, ta có đồng cấu f′′0:M →P v′′0 ới f′′0 = ∂′′ ′′f Khi đó, do tính

chất phổ dụng của tổng trực tiếp hữu hạn, thì tồn tại đồng cấu 0 0

Xét biểu đồ giao hoán,

Coker( ), Coker( )

C = C = và C =′′ Coker( ),∂′′ thì ta có biểu đồ giao hoán

Trong đó các cột và hai dòng trên khớp, theo Mệnh đề 1.8 thì dòng cuối khớp Tác

dụng hàm tử Hom( , )− Y lên biểu đồ trên, ta cũng được biểu đồ giao hoán sau:

trong đó hai dòng trên khớp Do tính chất của phép giải đối chính nên hai cột biên

khớp Khi đó, do ∂ , ∂′∗ ′′∗ là toàn cấu nên theo Bổ đề năm ngắn thì ∂ là toàn cấu, suy ∗

ra cột giữa khớp Các cột và hai dòng trên khớp nên dòng cuối khớp

Ta có dãy khớp

0→C′→ →C C′′→0

và dãy khớp

0→Hom(C Y′′, )→Hom( , )C Y →Hom( , )C Y′ →0

Do C =′ Coker( )∂′ và C =′′ Coker( )∂′′ nên ta có dãy khớp

Tiếp tục quá trình lập luận, ta sẽ thu được biểu đồ giao hoán sau:

với các dòng, các cột khớp và dãy 0 0 0 của các các dòng, các cột cũng khớp

Vậy M có một X-phép giải phải, đối chính là dãy

Các đồng cấu f n và f l ập thành biến đổi dây chuyền từ X vào  X Hơn nữa

b ất kì hai biến đổi dây chuyền nào thỏa điều kiện trên thì chúng đồng luân

Ch ứng minh Đầu tiên ta xây dựng biến đổi dây chuyền từ X vào  X

f 1 f n

f f 0

Do X là một X-phép giải phải, đối chính nên Hom(X, )Y khớp với mọi

biểu đồ sau giao hoán

Giả sử với mọi 0≤ <m n ta xây dựng được các đồng cấu f m :X m → X sao m

cho biểu đồ sau giao hoán

Mà ∂∗(n - 2)(∂n - 1 n - 1)= ∂n - 1 n- 1∂n - 2 =0

f f nên ∂n - 1 n - 1∈Ker∂∗(n -2)

f , do đó tồn tại đồng cấu f n: X n → X n để hình vuông bên phải của biểu đồ (1) giao hoán

Như vậy, ta đã hoàn thành xây dựng các đồng cấu của phép biến đổi dây chuyền từ Xvào  X

Bây giờ, giả sử có hai biến đổi dây chuyền từ X vào X là ={ n , ≥0}

C HƯƠNG 3: CHIỀU XẠ ẢNH GORENSTEIN VÀ CHIỀU NỘI XẠ

ảnh Gorenstein được kí hiệu là GP( ).R

2) Một phép giải nội xạ mở rộng là một dãy khớp các R-môđun nội xạ,

Một R-môđun N được gọi là nội xạ Gorenstein (viết gọn là G-nội xạ), nếu có

một phép giải nội xạ mở rộng I thỏa 0

0

N I I Lớp tất cả các R-môđun nội

xạ Gorenstein được kí hiệu là GI ( ).R

Nh ận xét 3.2 Nếu X là một phép giải xạ ảnh (tương ứng, nội xạ) mở rộng thì tất cả các ảnh, hạt nhân và đối hạt nhân của X là các môđun xạ ảnh (tương ứng, nội xạ) Gorenstein Hơn nữa, mỗi môđun xạ ảnh (tương ứng, nội xạ) là môđun xạ ảnh (tương ứng, nội xạ) Gorenstein

Mệnh đề 3.3 Một R-môđun M là xạ ảnh Gorenstein khi và chỉ khi M ∈⊥P( ),R và

nó có m ột P( )R -phép gi ải phải, đối chính

Hơn nữa, nếu P là m ột phép giải xạ ảnh mở rộng thì Hom( , )P L là kh ớp với

m ọi R-môđun L có chiều xạ ảnh hữu hạn Do đó, nếu M là xạ ảnh Gorenstein thì

M L v ới mọi i>0 và v ới mọi R-môđun L có chiều xạ ảnh hữu hạn

Chứng minh Giả sử M là môđun xạ ảnh Gorenstein Khi đó, tồn tại phép giải xạ

0→Hom(M Q, )→Hom( , )P Q →Hom( , )P Q →,

là dãy khớp Suy ra Ext (i M Q, )=0 với mọi i>0 nên M ∈⊥P( )R

Do đó, Hom(P Q0, )→Hom(M Q là toàn c, ) ấu, suy ra Hom( , )P ′′ Q là dãy khớp Vì

vậy, P′′ là P( )R -phép giải phải, đối chính của M.

Ngược lại, giả sử M∈⊥P( )R và M có một P( )R -phép giải phải, đối chính ta

chứng minh M là xạ ảnh Gorenstein Giả sử M có phép giải xạ ảnh trái là dãy

M Q với mọi i>0 và với mọi môđun xạ ảnh Q, suy

ra Hom( , )P ′ Q là dãy khớp Giả sử

0 1

: 0

P

M P P P P Vì vậy, M là môđun xạ ảnh Gorenstein

Ta chứng minh phần còn lại của định lý

Giả sử Hom( , )P L khớp với mọi môđun L có 0≤pdL=m < n

Với mọi môđun L có chiều xạ ảnh hữu hạn n, thì L có một phép giải xạ ảnh độ dài n,