oán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều (LV00476)

Lí do chọn đề tàiLý thuyết toán tử tích phân kỳ dị là một bộ phận của Giải tíchđiều hòa, là khởi đầu của lý thuyết toán tử giả vi phân và một số phươngpháp hiện đại trong Giải tích và Ph

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS Hà TiếnNgoạn Trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thầy đã truyền đạt chobản thân tôi những kiến thức quý báu và luôn động viên, hướng dẫn tậntình để tôi hoàn thành công việc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòngkính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán cùng các quý thầy cô đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trìnhCao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sao Đỏ, Khoa Khoahọc Cơ bản và đồng nghiệp và đặc biệt gia đình, người thân những người

đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả an tâm học tập và bảo vệ thànhcông luận văn này!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả

Mở đầu 2

1.1 Tích phân trong không gian nhiều chiều 5

1.1.1 Tích phân suy rộng 5

1.1.2 Tích phân mặt loại hai 8

1.1.3 Tích phân giá trị chính 11

1.2 Tích chập 12

1.3 Biến đổi Fourier 14

1.3.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L1(En) 14 1.3.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L2(En) 23 2 Toán tử tích phân kỳ dị và các tính chất 26 2.1 Định nghĩa toán tử tích phân kỳ dị 26

2.1.1 Biến đổi Hilbert và kết quả 26

2.1.2 Toán tử tích phân kỳ dị 30

2.2 Toán tử tích phân kỳ dị với nhân lẻ 33

2.3 Toán tử tích phân kỳ dị với nhân chẵn 40

3 Một số ứng dụng của toán tử tích phân kỳ dị 46 3.1 Sự tồn tại vết của hàm vecto trên mặt phẳng 47

3.2 Bất đẳng thức trên biên của hàm điều hòa 50

iii

Kết luận 53

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị là một bộ phận của Giải tíchđiều hòa, là khởi đầu của lý thuyết toán tử giả vi phân và một số phươngpháp hiện đại trong Giải tích và Phương trình đạo hàm riêng

Lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị đã xuất hiện hơn một thế kỷqua Ban đầu lý thuyết này mới chỉ để cập trong các bài toán một chiềuđơn giản Đến những thập niên 50 và 60 của thế kỷ XX thì sự phát triểncủa lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị đã mở rộng hơn trong các khônggian nhiều chiều Trong lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng và Lýthuyết hàm, toán tử tích phân kỳ dị đóng một vai trò quan trọng Nócho phép mô tả nghịch đảo của các toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyếntính loại elliptic với hệ số hằng và giúp mô tả nhiều tính chất định tínhcủa các không gian hàm số khác nhau

Hơn nữa trong các bài toán của cơ học đàn hồi và của lý thuyếtthế vị, một số các đại lượng cần tính toán được biểu diễn dưới dạng toán

tử tích phân kỳ dị, do đó có thể được xác định một cách hữu hiệu hơn

Vì vậy đòi hỏi chúng ta phải nghiên cứu các tính chất của chúng để làm

rõ vai trò của lý thuyết này Trên đây là những lý do để chúng tôi tiếnhành nghiên cứu đề tài:

"Toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều "

2

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống lại khái niệm, tính chất của toán tử tích phân kỳ dịnhiều chiều Chỉ ra mối liên hệ giữa toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiềuvới lý thuyết giả vi phân Đưa ra các ứng dụng của toán tử tích phân

kỳ dị vào các bài toán hàm điều hòa

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu chính củaluận văn là:

Mô tả các khái niệm và tính chất của tích phân kỳ dị và phươngtrình tích phân kỳ dị cũng như các ứng dụng của chúng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Một số lý thuyết về toán tử tích phân kỳ dị, cáckhông gian hàm liên quan và ứng dụng vào phương trình tích phân

Phạm vi: Nghiên cứu lý thuyết và xây dựng các ứng dụng trên

cơ sở các tài liệu chuyên khảo

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn chủ yếu dùng các phương pháp nghiên cứu truyềnthống của Giải tích hàm: Phân tích, tổng hợp kiến thức Xuất phát từtoán tử Hilbert trong trường hợp một chiều, luận văn sẽ đưa vào toán

tử tích phân kỳ dị nhiều chiều và nghiên cứu các tính chất của chúng.Việc ứng dụng sẽ được mở rộng từ lớp các hàm liên hợp điều hòa và cácphương trình tích phân kỳ dị Ngoài ra luận văn còn nghiên cứu trên cáctài liệu liên quan: Giáo trình, tạp chí,

6 Giả thuyết khoa học

Luận văn được trình bày một cách có hệ thống và khoa học cácvấn đề về toán tử tích phân kỳ dị và các ứng dụng của tích phân kỳ dị

về sự tồn tại vết của hàm vecto trên mặt phẳng và bất đẳng thức giữacác thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến trên biên của gradient hàmđiều hòa Đây sẽ là một đóng góp quan trọng về lý thuyết để giải quyếttriệt để các vấn đề về toán tử tích phân kỳ dị và phương trình tích phân

kỳ dị trên các không gian nhiều chiều khác

Tích phân I = R

Rn f (x)dx được gọi là hội tụ nếu giới hạn là tồn tại

và I là hữu hạn Ngược lại ta nói tích phân là phân kì

với α ∈ R sẽ hội tụ nếu α > 1 và phân kì nếu α ≤ 1.

Ví dụ 1.1.2 Trong trường hợp tổng quát thì tích phân

Z

Rn

dx(1 + |x|)m

sẽ hội tụ nếu m > n và phân kì nếu m ≤ n

Định lí 1.1.3 Ta có các khẳng định sau:

a) Nếu các tích phân suy rộng R

Rn f (x)dx và R

Rn g(x)dx hội tụ thì:Z

Rn

(f (x)+g(x))dxcũng hội tụ và

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Ω là một tập bị chặn, x0 ∈ Ω và f (x) xácđịnh, liên tục trên Ω \ {x0} Khi đó nếu tồn tại:

tụ và ngược lại ta nói tích phân phân kì

Ví dụ 1.1.5 Trong R1 xét tích phân trong Rn:

Ví dụ 1.1.6 Trong trường hợp tổng quát, xét tích phân

Z

|x|≤1

dx

|x|kKhi đó tích phân sẽ hội tụ nếu k < n và phân kì khi k ≥ n

Nhận xét 1.1.7 Tích phân suy rộng loại 2 cũng có các tính chất vàkết quả giống với tích phân suy rộng loại 1

Định nghĩa 1.1.3 Xét mặt cong S là tập hợp các điểm M (x, y, z) thỏamãn phương trình

F (x, y, z) = 0Mặt S gọi là trơn khi và chỉ khi hàm F (x, y, z) có các đạo hàm riêng

Fx0, Fy0, Fz0 liên tục và không đồng thời bằng không, hay nói cách khácvecto gradient:

5F (x, y, z) = (Fx0, Fy0, Fz0)

liên tục và khác 0 trên mặt S.

Trường hợp mặt S có phương trình tham số:

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)Giả sử vecto r = r(u, v) = ix + jy + kz Khi đó mặt S gọi là trơn nếuhàm r(u, v) khả vi, liên tục và:

Định nghĩa 1.1.5 Cho các hàm số P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) xácđịnh trên mặt định hướng S với vecto pháp tuyến đơn vị −→n (cosα, cosβ, cosγ).Khi đó tích phân mặt loại hai của các hàm P, Q, R trên mặt định hướng

S được tính theo công thức:

Trong đó S là mặt cong có phương trình z = z(x, y)(trơn hoặc trơn từngkhúc) với vecto pháp tuyến định hướng phía trên (phía trên mặt congtạo với hướng dương trục Oz một góc nhọn).

Ta thấy cosγi∆Si ≈ ∆Di, trong đó:

Nếu đổi hướng mặt S tức cosγi < 0 và ∆Di lấy dấu âm Khi đó:

Ví dụ 1.1.8 Tính tích phân RRS x2dydz + y2dxdz + z2dxdy

trong đó S là mặt phía ngoài của nửa mặt cầu x2 + y2+ z2 = R2, z ≥ 0

Z Z

S

(x2)dydz = 0Vậy I = πR24

Định nghĩa 1.1.6 Không gian S các hàm thử được định nghĩa bởi lớptất cả các C∞ của hàm ϕ trong En (đạo hàm riêng mọi cấp của ϕ tồntại và liên tục) thỏa mãn:

sup

x∈E

xα(Dβϕ)(x) < ∞

với mọi đa chỉ số α = (α1, α2, , αn) và β = (β1, β2, , βn) của các

số nguyên không âm, trong đó xα = xα1

|x|n+k, k ≥ 1 Hàm K(x) không khả tích tại lân cậncủa gốc tọa độ

Khi đó ta định nghĩa hàm suy rộng tăng chậm (phiếm hàm tuyến tínhtrên không gian các hàm giảm nhanh ở vô cực):

Định nghĩa 1.2.1 Nếu f và g thuộc L1(En) thì tích chập của f và g

ký hiệu f ∗ g được xác định như sau:

trong đó tích phân trên là tồn tại hầu khắp nơi theo x ∈ En và khi đó

f (x − y)g(y) là hàm đo được của hai biến x và y

Định lí 1.2.1 Nếu tích chập f ∗ g tồn tại thì tích chập g ∗ f cũng tồntại và:

1.3 Biến đổi Fourier

1.3.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L1(En)

Định nghĩa 1.3.1 Phép biến đổi Fourier của hàm f ∈ L1(En) cho bởicông thức:

b) bf liên tục đều trên En

c) Nếu f ∈ L1(En) thì bf hội tụ đều

d) Nếu đạo hàm f0 tồn tại và thuộc L1(En) thì:

b

f0(x) = −2πit bf (x)

e) bf (x) → 0 khi x → ±∞

Định lí 1.3.2 Nếu f, g ∈ L1(En) thì biến đổi Fourier:

\(f ∗ g) = bfbgĐịnh lí 1.3.3 Nếu f và g ∈ L1(En) thì:

=Z

E n

f (t)bg(t)dt

Định lí 1.3.4 Giả sử α là một số phức thỏa mãn 0 < Re(α) < n và

P (x) là một đa thức điều hòa trên En (thuần nhất có bậc k) Nếu:

|x|n+k−αthì:

ˆK(t) = γP (t)

|t|k+α

ở đây γ = γk,α = i−kπ

( n2−α) Γ((k+α)2 ) Γ((n+k−α))

Trong trường hợp đặc biệt nếu α → 0 thì ta có định lí sau:

Định lí 1.3.5 Giả sử P(x) là một đa thức điều hòa trên En (hàm thuầnnhất bậc k ≥ 1) Nếu:

K(x) = P (x)

|x|n+kthì:

ˆK(t) =

với mọi hàm thử ϕ

Theo định lí (1.3.4) ta có:

γk,αZ

Vì các tích phân của P(t) trên mặt của tâm hình cầu tại gốc là bằngkhông và như trên ta thấy:

K(t) [ ˆϕ(t) − ˆϕ(0)]

và như vậy định lí được chứng minh.

Định lí 1.3.6 Giả sử Ω là một hàm trong L2(P

n−1) thỏa mãnZ

k=1Y0(k), ở đây Y0(k) = γk,0Y(k) và chuỗi

là hội tụ theo chuẩn L2(P

n−1) Hơn nữa:

n−1

Y0(k)(x0)

≤ m

b

f(x)Nhưng bất đẳng thức này lại là kết quả của Định lí 2.1.2 ở trên và kếthợp với Bổ đề 2.1.3 ta có được định lí

f ∗ g ∈ L1(Rn)

Định lí 2.1.5 Nếu f ∈ L1(Rn), g ∈ L1(Rn) thì:

kf ∗ gkL1 ≤ kf kL1kgkL1

và nếu f ∈ L1(Rn), g ∈ Lp(Rn), p > 1 thì (f ∗ g) ∈ L1(Rn) và

kf ∗ gkLp ≤ kf kL1kgkLp

Định nghĩa 2.1.4 Trong Rn Khi đó ta xét:

a Với n = 1, f (x) = 1x, g(x) ∈ C0∞(R) Ta có định nghĩa toán tử tíchphân kỳ dị:

và toán tử này được gọi là toán tử Hilbert

b Với n ≥ 1 Giả sử xét nhân là hàm K(x) thỏa mãn:

sẽ hội tụ nếu k < n và phân kỳ nếu k ≥ n.

Ví dụ 2.1.8 Trong Rn với n = 1 thì các nhân có dạng K(x) = Cx, C ∈ R

là nhân thỏa mãn tích phân kỳ dị

Trong Rn với n = 2 Xét x = (x1, x2), với K(x1, x2) là hàm lẻ, thuầnnhất bậc 2 có dạng:

K(x1, x2) = x1

|x|3 hoặc K(x1, x2) = x3

|x|5 hoặc K(x1, x2) = x1 x 2

|x|4 là những

nhân của toán tử tích phân kỳ dị.

2.2 Toán tử tích phân kỳ dị với nhân lẻ

Mục đích của chúng ta trong phần này là mở rộng kết quả của tíchphân kỳ dị tới n chiều Đầu tiên chúng ta phải tìm một biến đổi Hilberttổng quát thích hợp Ta có thể giả sử nhân của nó có dạng:

Cuối cùng chúng ta chỉ ra toán tử được định nghĩa bởi (2.3) khi hạch K

có dạng (2.2) với Ω thỏa mãn điều kiện tổng quát

Định lí 2.2.1 Giả sử rằng K là hạch được định nghĩa bởi (2.2) và Ω

là một hàm lẻ, thuần nhất bậc 0 và khả tích trên Pn−1 Khi đó với mỗi

P

n−1f (x − rt0)Ω(t0)dt0

o

dr r

Định nghĩa 2.2.1 Cho 1 = (1, 0, 0, , 0) ∈ En là vecto đầu tiên trong

cơ sở trực chuẩn của En và cho x = (x1, x2, , xn) ∈ En Đặt:



H,δ(1)f

(x) = Rδ≥|s|≥f (x − s1)dss

= Rδ≥|s|≥f (x1 − s, x2, , xn)dss

Nếu σ là một phần tử của nhóm quay SO(n) tự động trên En thì chúng

ta gọi Rσ là toán tử trên En và được định nghĩa bởi:

n−1 Khi đó:

1

nhân tốn tử tích phân kỳ dị.

2.2 Tốn tử tích phân kỳ dị với nhân lẻ

Mục đích phần mở rộng kết tíchphân kỳ dị tới n chiều Đầu tiên phải tìm biến đổi... 29

Tốn tử tích phân kỳ dị tính chất

2.1 Định nghĩa tốn tử tích phân kỳ dị< /h3>

Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm f (x) ∈ Lp(−∞,... 1x, g(x) ∈ C0∞(R) Ta có định nghĩa tốn tử tíchphân kỳ dị:

và toán tử gọi toán tử Hilbert

b Với n ≥ Giả sử xét nhân hàm K(x) thỏa mãn: