Ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh

Tìm hiểu về ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạảnh cùng các tính chất của nó.. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài Đề tài “Ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu x

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán Page 1

1 Lý do chọn đề tài.

MỞ ĐẦU

Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dànhcho sinh viên ngành Toán tại các trường Đại học Sư Phạm trong cảnước Mục đích của môn học là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổngquan về các hình học và mối quan hệ giữa chúng Đồng thời, hình học xạảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải vàsáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông

Thế mạnh của môn học là giúp chúng ta giải quyết các bài toán

về tính đồng quy và thẳng hàng (đặc biệt là hình học phẳng ) một cáchtổng quát.Với niềm đam mê Toán học và đặc biệt là niềm yêu thích mônHình học, tôi rất mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn về cácvấn đề liên quan đến hình học

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi nhận thấy rằng các kháiniệm, định lý về ánh xạ xạ ảnh và biến đổi ánh xạ rất quan trọng khi giảibài tập và tư duy hình học

Dưới sự hướng dẫn của thầy Đinh Văn Thủy tôi đã phần nào làmđược điều đó Trong khuôn khổ một khóa luận và thời gian nghiên cứunên tôi chỉ tập trung nghiên cứu đề tài “ Ánh xạ xạ ảnh – Phép chiếuxuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh ”

2 Mục đích nghiên cứu.

Tìm hiểu về ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạảnh cùng các tính chất của nó

3 Đối tượng nghiên cứu.

Ánh xạ xạ ảnh – phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh

Định hướng cách giải một số bài toán liên quan đến ánh xạ xạ ảnh

và phép chiếu xuyên tâm

6 Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài

Đề tài “Ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh”giúp em hiểu thêm về hình học xạ ảnh và biết cách áp dụng giải bài tập

và có cái nhìn đúng đắn hơn về môn học này

1.1 Định nghĩa

Chương 1 ÁNH XẠ XẠ ẢNH

Cho các K- không gian xạ ảnh (P,p, V) và (P', p', V')

Một ánh xạ f : P → P' được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính φ : V → V', sao cho nếu véc tơ x C V là đại diện cho điểm

X C P thì véc tơ φ (x) C V' là đại diện cho điểm f (X) C P' nói cách

1.2.1 Ánh xạ tuyến tính φ là đơn cấu.

Thật vậy, nếu có véc tơ x C V \ {0 } là đại diện cho điểm X C P,

Vì φ đơn cấu nên suy ra a = k b , tức là A và B trùng nhau.

1.2.3 Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ



điểm (do đơn cấu tuyến tính bảo tồn sự độc lập tuyến tính của hệ véc tơ)

Từ đó suy ra: Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn các khái niệm: m - phẳng, số chiều

của phẳng, giao và tổng của các phẳng, tỉ số kép của hàng bốn điểm và của chùm bốn siêu phẳng.

1.2.5 Mỗi đơn cấu tuyến tính φ : V → V' là đại diện cho một ánh xạ xạ

ảnh duy nhất f : P → P' Hai đơn cấu tuyến tính φ : V → V' và φ' : V →

V' cùng đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh f : P → P' khi và chỉ khi có số

Khi đó có và duy nhất ánh xạ tuyến tính F : Vn+1 → V’n+1 sao cho

Dễ thấy rằng ánh xạ xạ ảnh f : P → P' là một song ánh khi và chỉ khi

P và P' có cùng số chiều Khi đó, f được gọi là một đẳng cấu xạ ảnh, và hai không gian P và P' được gọi là đẳng cấu.

Nếu trong không gian xạ ảnh P n cho hai mục tiêu xạ ảnh { S ,E} và

{ S i , E }, thì có phép biến đổi xạ ảnh duy nhất f của P , biến các điểm Si

thành các điểm S i(i = 0,1, , n) và biến E thành E'.

i

1.5 Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh

Cho f : Pn → Pn là phép biến đổi xạ ảnh của K - không gian xạ ảnh

Pn, liên kết với không gian véc tơ Vn+1 Ta hãy chọn mục tiêu xạ ảnh nào

đó {Si, E} Với mỗi điểm X bất kì, gọi (x0 : x1 : : xn ) là tọa độ của nó

   n+1

Gọi ( e0 , e1, , e n ) là cơ sở trong

V

đại diện cho mục tiêu {Si, E} và

φ: Vn+1 → Vn+1 là biến đổi tuyến tính của Vn+1 đại diện cho biến đổi xạ ảnh f Giả sử đối với cơ sở đó, có biểu thức tọa độ:

Để ý đến mối quan hệ giữa tọa độ xạ ảnh của một điểm với tọa độ

của véc tơ đại diện nó, ta suy ra biểu thức liên hệ giữa tọa độ của X và X'

là:

kx naijx j ,i 0,1,2, ,n;k 0

j0

Trong đó, ma trận A = ( aij ) ; i, j = 0 ,1 , 2 , , n có hạng bằng n +

1 (tức là có định thức khác không), nó được gọi là ma trận của phép

biến đổi xạ ảnh f với mục tiêu {Si; E}.

Các cột của A là các cột tọa độ của các điểm f (Si), nhưng phải chọnsao cho:

Biểu thức (0 0 1 ) có thể viết dưới dạng ma trận: k.x' =Ax , trong đó

x và x' là ma trận cột tọa độ của điểm X và điểm X'

1.6 Liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi Afin

i

Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu S ; E, gọi W là siêuphẳng có phương trình

x0 0 Xét phép biến đổi xạ ảnh f: P

→ Pn sao

i

n

cho f (W) = W.

Ta gọi như thường lệ, An = Pn \ W là không gian Afin Vì f (W) = Wnên f (An) = An nên ta có ánh xạ hạn chế :

f' = f | A n : An → An

Khi đó bằng cách chuyển từ tọa độ xạ ảnh của một điểm trong trong

An thành tọa độ A fin của nó (đối với mục tiêu A fin sinh bởi mục tiêu

xạ ảnh) ta tìm thấy biểu thức tọa độ của f':

phép biến

đổi xạ ảnh f.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng, mỗi phép biến đổi xạ ảnh f : Pn →

Pn sinh ra một phép biến đổi Afin f' : An → An nếu f (W) = W

Ngược lại: Mọi phép biến đổi Afin đều được sinh ra bởi một phép

biến đổi xạ ảnh duy nhất f mà f (W) = W (ta nói rằng f biến điểm vô tận).

ij ij

Chương 2 PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM 2.1 Định nghĩa

Trong không gian xạ ảnh

P n cho 2 siêu phẳng α và β và điểm

- Phép chiếu xuyên tâm hoàn

toàn xác định bởi cặp siêu

phẳng α , β và tâm chiếu C

- Phép chiếu xuyên tâm biến

những điểm giao của hai siêu

là (n – 2)

- phẳng

Cho {A1 , , A n 1 , A n } hệ điểm độc lập xạ ảnh của αTrong đó:

là véc tơ đại diện của Ai

là véc tơ đại diện của A'

phép chiếu xuyên tâm.

Trong α chọn một mục tiêu xạ ảnh là {A1, A2, …An-1,An, E} với A1, A2,

…, An-1 thuộc Pn-2, ta có An, E không thuộc Pn-2 , gọi A’n = f(An) và

E’ = f(E).

Trên β ta có mục tiêu là {A1, A2, …An-1,A’n, E’} là ảnh của mục tiêu

{A1, A2, …An-1,An, E} qua f Gọi M = AnE ∩ β thì M thuộc Pn-2 do f(M)

= M nên đường thẳng A’nE’ cũng qua M Trong mặt phẳng xạ ảnh tạo

bởi hai đường thẳng AnE và A’nE’ gọi C là giao điểm của AnA’n và EE’

Gọi f’ là phép chiếu xuyên tâm có cơ sở nền là α và β với tâm chiếu là C.

Ta có: f’(Ai) = Ai với i = 1, 2,…, n-1 do Ai với i = 1, 2,…, n-1 nằm trên

Pn-2 và f’(An) = A’n và f’(E) = E’ Do sự xác định duy nhất của phép biến

đổi xạ ảnh xác định bởi {A1, A2, …An-1,An, E} và {A1, A2, …An-1,A’n,

một ánh xạ xạ ảnh, không phải là phép chiếu xuyên tâm Khi đó ta có thể

phân tích f thành tích của m phép chiếu xuyên tâm với

m n 1

Đặt A’=f(A), B’=f(B), thì A’B’ đi qua I.

Do đó AA’ và BB’ cắt nhau tại một điểm C nào đó.

Lấy một siêu phẳng 1 chứa β và A nhưng không chứa A’ thì chứa

đều bất động đối với g1  f (vì các điểm trên β đều bất động khi

qua f và g1 nên β bất động qua g1  f và A qua f biến thành A’ mà A’qua g1 biến thành giao điểm của CA’ với α1 tức là điểm A vậy A bất biếnqua

đóng vai trò như f ban đầu ta lại có phép

chiếu xuyên tâm g

động mọi điểm của một (p + 2) - phẳng nào đó nằm trong

bước ta có thể tìm được

các phép chiếu xuyên tâm g1 :' 1 , g2 :1

2 , , g p : p 1

p

không có điểm nào tự ứng

đối với f Lấy một điểm C

đi qua C, không đi qua C’ mà  '' 

của một số 

+) Cuối cùng xét trường hợp    ' Chỉ cần lấy một phép chiếu xuyên

một trong hai trường hợp trên Suy ra f là tích của một số

chiếu xuyên tâm

2.3 Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm:

n

1 phép

Cũng như nhiều các khái niệm, định lý trong hình học xạ ảnh thìphép chiếu xuyên tâm cùng với các định lý bài tập về nó thì đều có đốingẫu

và pα : B ‹ B’

Khi đó pđược gọi là phép chiếu xuyên siêu phẳng từ A lên

A’ với cơ sở và 2 tâm A, A’

n = 2 phép chiếu xuyên siêu phẳng được gọi lại là phép chiếuxuyên trục

2.3.2 M ộ t s ố đị nh lý:

Định lý 1: phép chiếu xuyên siêu phẳng là một ánh xạ xạ ảnh.Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh là phép chiếuxuyên siêu phẳng là đường nối hai tâm phải tự ứng

Định lý 3: Một ánh xạ xạ ảnh không phải là phép chiếu xuyên xạảnh đều có thể phân tích thành không quá n + 1 phép chiếu xuyên siêuphẳng

2.4 Phép chiếu xuyên tâm và đối ngẫu của nó trong P 2 :

2.4.1 Đị nh ngh ĩ a :

a) Định nghĩa 1:

Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm gọi

là phép chiếu xuyên tâm (phép phối cảnh) nếu các đường thẳng nối cácđiểm tương ứng luôn đi qua một điểm C cố định, điểm C được gọi là tâmphối cảnh

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN K35G Sư phạm Toán Page 15

b)Đố i ng ẫ u c ủ a đị nh ngh ĩ a 1:

Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đườngthẳng được gọi là phép chiếu xuyên trục (phép phối cành) nếu giao điểmcủa các cặp đường thẳng tương ứng luôn nằm trên một đường thẳng t cốđịnh, đường thẳng t được gọi là trục phối cảnh

2.4.2 Đị nh lý:

a) Định lý 1:

Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh f giữa hai hàng điểm{m} và {m’} là phép chiếu xuyên tâm là giao điểm O của hai giá tự ứng, tức f(O) = O

b) Định lý đối ngẫu của định lý 1:

Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh f giữa hai chùm đườngthẳng {S} và {S’} là phép chiếu xuyên trục là đường thẳng nối S và S’

tự ứng, tức f(SS’) = SS’

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán Page 16

2.5 Một số áp dụng:

Áp

dụng 1 : Chứng minh định lý Papus bằng phép chiếu xuyên tâm

Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 2 đường thẳng phân biệt d1, d2 cắt nhau tại

O Trên d1 cho 3 điểm phân biệt A, B,C O Trên d2 cho 3 điểm

phânbiệt A’, B’, C’ khác O Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của BC’ vàB’C, CA’ và AC’, AB’ và A’B Khi đó D, E, F thẳng hàng

Xét các phép chiếu xuyên tâm

h : AB ' d1 với tâm A’ và

g : d1 B 'C với tâm C’

Đặt

f gh : AB' B'C

f biến B’ thành B’ => f là phép

chiếu xuyên tâm từ AB’ đến B’C

Ngoài ra, f lần lượt biến A,F,N lần lượt thành M,D,C

Vì vậy, AMAC ',DF, NC A 'C đồng quy tại tâm chiếu của f

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán Page 17

Xét 2 phép chiếu xuyên tâm sau:

h:AB



DF

với tâm C biến A, B, D, P thành F, E, D, N

g : DF AB' với tâm C’ biến F, E, D, N thành A’, B’, D, MĐặt f g  h : AB A' B' là

phép chiếu xuyên tâm

(Do là tích của các phép chiếu

xuyên tâm và f giữ bất động

3.1 Định nghĩa

Chương 3 : THẤU XẠ XẠ ẢNH

Trong Pn cho r - phẳng U và (n – r – 1) - phẳng V không có điểmchung Khi đó, cặp (U, V) sẽ gọi là một r - cặp Cố nhiên, theo địnhnghĩa đó (U, V) là một (n – r – 1) - cặp

Bây giờ cho r - cặp (U, V) và cho phép biến đổi xạ ảnh f : Pn → Pnsao cho mọi điểm nằm trên U và V đều bất động Khi đó f được gọi là phép thấu xạ r - cặp với cơ sở là r - cặp (U, V)

3.2 Biểu thức tọa độ của phép thấu xạ

Giả sử f là phép thấu xạ r - cặp với cơ sở là r - cặp (U, V).

Vì dim U = r nên có thể chọn trên U một hệ r + 1 điểm độc lập

S0, S1, , Sr Vì dim V = n - r - 1 nên có thể chọn trên V một hệ n - rđiểm độc lập Sr+1, Sr+ 2 , , Sn Chọn thêm một điểm E không nằm trên

U và V thì ta được một mục tiêu xạ ảnh {Si, E} trong Pn

Đối với mục tiêu đó, r - phẳng U có phương trình

x r 1 x r 2  x n 0

Còn ( n – r – 1) - phẳng V có phương trình:

x0 x1  x r 0

Vì các điểm của U và V đều bất động nên dễ dàng thấy rằng biểu

thức tọa độ của f đối với mục tiêu đó có dạng :

có ảnh M’ Khi đó MM’ cắt α tại P cắt β tại Q Tỷ số

kép (PQMM’) = k không đổi Tỷ số kép đó được gọi là tỷ số thấu xạ hay

hệ số

Chứng minh:

Giả sử M ( x

0 , , x n ),

Siêu phẳng V được gọi là siêu phẳng cơ sở của thấu xạ đơn f

3.4.2 Đị nh lý : Nếu f là một thấu xạ đơn khác phép đồng nhất thì có duy

nhất một điểm bất động O sao cho mọi đường thẳng đi qua O đều bất

động Điểm O như thế gọi là tâm của phép thấu xạ đơn f

Ch

ứ ng minh:

Giả sử f là phép thấu xạ đơn, khác phép đồng nhất, và có siêuphẳng cơ sở V Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {Si,E} sao cho các đỉnh S1, S2, , Sn nằm trên V Vì các đỉnh đó bất động ngoài ra điểm Eo = (0: 1: 1: :1) cũng bất động, nên dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ của f:

Chú ý rằng : Các số a0 – a, a1, ., an không đồng thời bằng 0 vì nếukhông như thế thì f là phép đồng nhất Bởi vậy, có điểm có điểm O cótọa độ (a0 – a: a1: : an) Dễ thấy, O là điểm bất động Ta lấy trên d mộtđiểm tùy ý : X = (x0: x1: : xn)

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN K35G Sư phạm Toán Page 21

Vậy một phép thấu xạ nào giữ bất động một siêu phẳng thì hoặc đó

là thấu xạ tâm hoặc là thấu xạ đặc biệt

3.5 Các phép thấu xạ trong không gian xạ ảnh P 2 và P 3 :

3.5.1 1 Trong không gian P2 :

- Thấu xạ 0 – cặp nền là ( O ,d ) với O

là một điểm và d là đường thẳng không qua

O Với mỗi điểm M

d và M O đường

thẳng OM cắt d tại A và nếu M’ = f(M) thì

(OAMM’) = k ( với k là một số cho trước )

- Thấu xạ đơn đặc biệt có tâm O và có cơ sở nền là đường thẳng đi qua

O Nếu ta biết một cặp điểm tương ứng M và M’ =

điểm N được xác định :

+) O, N, N’ thẳng hàng

f(M) thì ả h N’ của

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán Page 22

+) Đường thẳng MN cắt đường thẳng M’N’ tại một điểm nằm trên d.3.5.2 Trong không gian P3 :

- Thấu xạ 0 – cặp nền là ( O, P ) với O là một điểm, P là mặt phẳngkhông qua O Với M P và

d và d’ là 2 đường thẳng chéo nhau

Phép thấu xạ trên được gọi là phép

thấu xạ song trục với trục là d và d’

Ảnh M’ của điểm M không thuộc d

và d’ được xác định:

+) Đường thẳng MM’ cắt d và

d’ tại hai điểm A và B

+) (ABMM’) = k ( với k là một số cho trước )

- Thấu xạ đơn đặc biệt tâm O và có nền là mặt phẳng P chứa điểm

O Nếu biết một cặp điểm tương ứng M và M’ = f(M) thì ảnh N’ củađiểm N được xác định :

+) O, N, N’ thẳng hàng.

+) Đường thẳng MN cắt M’N’ tại một điểm nằm trên P

3.6 Các phép biến đổi a fin sinh ra bởi các phép thấu xạ :

Ta biết rằng mỗi phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn siêu phẳng vô tận Wcủa Pn và đều sinh ra một phép biến đổi a fin trong không gian a fin

An = Pn \W Sau đây, ta xét một vài trường hợp khi f là một phép thấu xạ nào đó

3.6.1 Giả sử f là phép thấu xạ 0 - cặp với cơ sở là 0 - cặp ( O, V ) và tỉ

số thấu xạ là k Với mỗi điểm M không là điểm bất động (

M

) ảnh của nó là M’ = f(M) được xác định sao cho

(OAMM’) = k (k≠0 và k≠1) trong đó A là giao điểm của đường thẳng

k.OM '

OM '

1 .OM Vậy f sinh ra phép vị tự tâm O

k

+) Nếu chọn siêu phẳng W nào đó đi qua O làm siêu phẳng vô tận thì

O là điểm vô tận nên: AMM 'OAMM 'k Ngoài ra các

đường thẳng MM’ luôn song song với một đường thẳng phương l ( phương l của chúng được xác định bằng phương của điểm vô tận O ).

Vậy f sinh ra trên An = Pn \W một phép thấu xạ afin có cơ sở là V,

phương thấu xạ là l, tỷ số thấu xạ là k.

3.6.2 Giả sử f là phép thấu xạ đơn đặc biệt có tâm O nằm trên nền V

Nếu lấy hai cặp điểm M, M’ = f(M) và N, N’ = f(N) thì MM’ và NN’ đều

qua O và MN giao với M’N’ tại một điểm thuộc V Nếu lấy V là siêuphẳng vô tận thì trong An = Pn \V ta có: MN song song M’N’ và MM’

song song với NN’, suy ra: MM NN 

Vậy f sinh ra trong An một phép tịnh tiến