Định lí điểm bất động đối với ánh xạ co cyclic trong không gian G-metric và ứng dụng

i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------ĐÀO QUỲNH ANH ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN... i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -

i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -ĐÀO QUỲNH ANH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN

i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -ĐÀO QUỲNH ANH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN

ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu trong luận văn là trung thực Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này

đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

Đào Quỳnh Anh

iii

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 04 năm 2020

Tác giả

Đào Quỳnh Anh

iv

MỤC LỤC

1.2 Điểm bất động đối với các ánh xạ cyclic co Banach và f - co

1.3 w - khoảng cách trên không gian G - metric 7

Chương 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO CYCLIC

2.1 Điểm bất động đối với ánh xạ f - co cyclic trên không gian

G - metric

8 2.2 Điểm bất động đối với ánh xạ ( , )y f - co cyclic trên không gian

G - metric

13 2.3 Ứng dụng đối với sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho một lớp

phương trình tích phân phi tuyến

22 2.4 Điểm bất động chung đối với các ánh xạ cyclic thỏa mãn điều

1

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động đóng vai trò rất quan trọng và hữu ích trong toán học Nó được áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau như lí thuyết bất đẳng thức biến phân, lí thuyết tối ưu hóa và lý thuyết xấp xỉ Khả năng ứng dụng rộng rãi của lý thuyết điểm bất động trong các lĩnh vực khác nhau dẫn đến một số suy rộng của không gian metric Trong số đó, có thể đề cập đến không gian quasimetric, không gian metric riêng, không gian D-metric và không gian G-

metric Một trong số những suy rộng thú vị nhất là không gian G-metric được

giới thiệu bởi Mustafa and Sims [12] vào năm 2006, đã thu hút được sự chú ý của các nhà toán học Từ đó, một số định lý điểm bất động trong không gian metric suy rộng đã được nhiều tác giả giới thiệu như: H Aydi [2], V Berinde [4], D Boyd, J Wong [6], E Karapınar [7-10], W Shatanawi [14],…

Một chủ đề hấp dẫn khác của lý thuyết điểm bất động là khái niệm của ánh xạ cyclic đã được giới thiệu bởi Krik [11] và các cộng sự vào năm 2003

Từ đó, điểm bất động của các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co cyclic đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong và ngoài nước Năm 2005, Petrusel đã chứng minh một số kết quả về điểm tuần hoàn của ánh xạ co cyclic Kết quả này là tổng quát hóa kết quả của Kirk Năm 2010, Pacurar và Rus [13]

đã chứng minh một số kết quả về điểm bất động đối với ánh xạ f - co cyclic

trong không gian metric Năm 2011, Karapınar [7] đã đạt được kết quả về điểm bất động đối với ánh xạ f - co yếu cyclic Năm 2014, N Bilgili, I M Erhan,

E Karapınar và D Turkoglu [5] đã đã đạt được kết quả về điểm bất động đối

với ánh xạ co cyclic trong không gian G - metric

Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài “ Định lí điểm bất động

đối với ánh xạ co cyclic trong không gian G-metric và ứng dụng ”

Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

2

Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [3] và [14] gồm 37 trang, gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian G-metric và một số kết quả về điểm bất động đối với các ánh xạ Cyclic co Banach và ánh xạ f - co yếu Cyclic mở rộng trong không gian G - metric

Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về

điểm bất động đối với ánh xạ f - co cyclic và ánh xạ ( , )y f - co cyclic và điểm bất động chung đối với các ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện w - khoảng

cách trong không gian G - metric

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

( 2)G 0< G a a b( , , ) với mọi a b, Î E với a ¹ b,

( 3)G G a a b( , , )£ G a b c( , , ) với mọi a b c, , Î E với b¹ c,

( 4)G G a b c( , , )= G a c b( , , ) = G b c a( , , ) = ( đối xứng trong cả ba biến),

( 5)G G a b c( , , )£ G a r r( , , )+ G r b c( , , ) (bất đẳng thức hình chữ nhật)

Khi đó cặp ( , )E G gọi là một không gian G - metric

Chú ý rằng mỗi G - metric trên E xác định một metric r G trên E bởi

r G( , )a b = G a b b( , , )+ G b a a( , , ) với mọia b, Î E (1.1)

Ví dụ 1.1.2 Cho ( , )E r là một không gian metric

Hàm G E: 3 ® ¡ + xác định bởi

G a b c( , , )= max{ ( , ), ( , ), ( , )}r a b r b c r c a , (1.2) với mọi a b c, , Î E , là một G - metric trênE

Ví dụ 1.1.3 Cho E = [0,+ ¥ ) Hàm 3 ¡

:

G E ® +, xác định bởi

G a b c( , , )=|a- b| + |b- c | + |c- a |, (1.3) với "a b c, , Î E , là một G - metric trên E

Định nghĩa 1.1.4 Cho ( , )E G là một không gian G - metric Dãy {a n} Ì E

gọi là G - hội tụ đến a Î E nếu

limn m, ® + ¥ G a a a( , n, m) = 0, (1.4)

4

tức là, với e > 0 tùy ý, tồn tại N Î ¥ sao cho G a a a( , n, m) < e với mọi ,

n m ³ N Ta gọi a là giới hạn của dãy và viết là a n ® a hay lima n = a

Mệnh đề 1.1.5 Cho ( , )E G là một không gian G - metric Khi đó các mệnh

đề sau là tương đương:

(1) {a n} là G - hội tụ đến a

(2) ( ,G a a a ® n n, ) 0 khi n ® + ¥ ,

(3) G a a a ®( , , )n 0 khi n ® + ¥ ,

(4) ( ,G a a a ® n m, ) 0 khi n m ® + ¥ ,

Định nghĩa 1.1.6 Cho ( , )E G là một không gian G - metric Dãy { a n} gọi là

dãy G - Cauchy nếu với e > 0 tùy ý, tồn tại N Î ¥ : ( ,G a a a n m, )l < e với , ,

m n l

" ³ N , tức là G a a a ®( ,n m, )l 0 khi m n l ® + ¥ , ,

Mệnh đề 1.1.7 Cho ( , )X G là một không gian G - metric Khi đó các mệnh

đề sau là tương đương:

(1) {a n} là dãy G - Cauchy

(2) Với mọi e > 0, N$ Î ¥ sao cho G a a a( ,n m, m)< e , với "m n, ³ N

Định nghĩa 1.1.8 Không gian G - metric ( , )E G gọi là đầy đủ nếu mọi dãy

G - Cauchy đều hội tụ trong ( , )E G

Định nghĩa 1.1.9 Cho ( , )E G là không gian G - metric Ánh xạ T :E3 ® E

gọi là liên tục nếu với ba dãy G - hội tụ bất kỳ { }a n ,{ }b n và { }c n lần lượt hội

5

B a G( , )e = {bÎ E G a b b, ( , , ) < e} với mọi a Î E và e > 0

Tập con A ¹ Æ trong ( , )E G là G - đóng nếu A = A, trong đó

a Î A Û B a G( , )e ÇA ¹ 0, với mọie > 0

Mệnh đề 1.1.11 Cho ( , )E G là một không gian G - metric và A là một tập

con khác rỗng của E A là đóng nếu với bất kỳ dãy { } a n hội tụ đến a , thì

a Î A

Năm 2012, Karapınar, Yıldız-Ulus và Erhan [5] đã đạt được một số kết quả về điểm bất động đối với các ánh xạ cyclic co Banach và f - co yếu cyclic

mở rộng trên không gian G - metric Cụ thể như sau;

1.2 Điểm bất động đối với các ánh xạ cyclic co Banach và f - co yếu cyclic

trên không gian G - metric

Định nghĩa 1.2.1 Cho A và B là hai tập con khác rỗng của không gian E

Một ánh xạ :T A ÈB ® A È gọi là cyclic nếu B T A( )Í B và T B( )Í A

Định nghĩa 1.2.2 Cho F i i, = 1, 2, ,m là các tập khác rỗng, U 1

m i i

Định nghĩa 1.2.5 [10] Một ánh xạ :S E ® E trên không gian metric ( , )E d

được gọi là f - co yếu nếu tồn tại một hàm tăng ngặt f : [0,¥ ®) [0,¥ ) với

(0) 0

f = sao cho

d Sa Sb( , )£ d a b( , )- f( ( , ))d a b , với mọi a b, Î E

Xét tập F các hàm liên tục f : [0,¥ ®) [0,¥ ) với f (0) = 0 và f ( )t > 0

với t > 0 Ta có định lý điểm bất động sau

Định lý 1.2.6 [10] Cho ( , )E G là không gian G - metric đầy đủ và

1.3 w - khoảng cách trên không gian G - metric

Năm 2010, R Saadati đã giới thiệu khái niệm w - khoảng cách như sau:

iii với mỗi e> 0,$ >d 0: w a r r( , , )£ d và w r b c( , , )£ dÞ G a b c( , , ) £ e

Định nghĩa 1.3.2 Cho ( , )E G là không gian G - metric và w là w - khoảng cách trên E Khi đó ta nói rằng E là w - bị chặn nếu tồn tại M ³ 0 sao cho

( , , )

w a b c £ M với mọi a b c, , Î E

Bổ đề 1.3.3 Cho E là không gian metric được trang bị metric G và w là w

-khoảng cách trên E Cho {x n}, {y n} là các dãy trong E {a n}, {b n} là các dãy trong [0,¥ ) hội tụ đến 0 và a b c r, , , Î E Khi đó:

CO CYCLIC TRÊN KHÔNG GIAN G-METRIC

8

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu một số kết quả liên quan đến

hai loại ánh xạ co cyclic trên không gian G - metric Phần cuối cùng của

chương là kết quả về điểm bất động chung đối với các ánh xạ cyclic thỏa mãn

điều kiện w - khoảng cách

2.1 Điểm bất động đối với ánh xạ f - co cyclic trên không gian G - metric

t f

là không giảm và liên tục tại 0

Xét dãy lặp {a n} xác định bởi a n+1 = Sa n với mọi n ³ 0

Ta có kết quả chính của phần này như sau:

Định lý 2.1.3 Cho ( , )E G là một không gian G - metric đầy đủ Cho { }F i i m=1

là một họ khác rỗng các tập con đóng của E , F = Èm i=1F i Cho S F : ® F là

ánh xạ sao cho

9

S F( )i Í F i+1 với mọi i = 1, , ,m với F m+1 = F i

Giả sử $ Î F sao cho f

G Sa Sb Sc( , , ) £ f( ( , , ))G a b c

với mọi ( , , )a b c Î F i´ F i+1´ F i+1, (với i = 1, ,m ) (2.1)

Khi đó

(I) S có một điểm bất động duy nhất u Î Çm i=1F i,

(II) các đánh giá sau xảy ra :

Nếu a k = a k+1với k nguyên nào đó, thì { }a n là dãy hằng với mọi n ³ k

, nên { }a n là dãy Cauchy trong ( , )E G

Giả sử a n ¹ a n+1 với mọi n ³ 0 Với " ³n 0, $ Îi n {1, 2, ,m} sao cho

G a a( ,n n+1,a n+1)£ f n( ( , ,G a a a0 1 1)) với mọi n ³ 0 (2.2) Theo (G5) và (2.2), với p ³ 1

G a a a f

® ¥ = ta có u Î F2 Tiếp tục quá trình này, ta thu được u Î Çm i=1F i

Bây giờ, với n ³ 0, $ Îi n {1, }m :

11

Nhưng, vì f( )t < t với mọi t > 0 và f liên tục tại 0, nên f (0) = 0 Từ bất đẳng thức trên suy ra a n+1 ® Su khi n ® ¥ Do tính duy nhất của giới hạn suy ra Su = u Vậyu là điểm bất động của S

Tiếp theo, giả sử v là điểm bất động khác của S, tức là Sv = v Ta có

G a( n+k,a n+ +k 1,a n+ +k 1)£ f k( ( ,G a a n n+1,a n+1)), n ³ 0,k ³ 0 (2.6) Nhưng, theo (G5)

( ,n n p, n p) ( ,n n , n ) ( n p , n p, n p)

G a a + a + £ G a a + a + + +G a + - a + a +

Do đó, từ (2.6), ta có

Vậy (II) được chứng minh

Bây giờ, lấy a Î F Từ (2.7), với a0 = a n, ta có

Ký hiệu F( )T là tập hợp tất cả các điểm bất động của tự ánh xạ T trên một tập E ¹ Æ Ta có:

Định nghĩa 2.1.4 Cho E là một tập khác rỗng Bài toán điểm bất động của ánh xạ đã cho T E : ® E được gọi là ổn định nếu F( )T chỉ có một phần tử

và với dãy {a n} bất kỳ trong E , với a Î F( )T và lim ( ,n n, n) 0

= Do đó bài toán điểm bất động đối với S là ổn định

Định lý 2.1.6 Cho S F : ® F là ánh xạ được xác định như trong Định lý 2.1.3

14

Định lý 2.2.1 [2] Cho E là không gian G - metric đầy đủ và S E : ® E Giả

sử tồn tại y f Î Y sao cho ,

y( (G Sa Sb Sc, , ))£ y( ( , , ))G a b c - f ( ( , , )),G a b c

với mọi a b c, , Î E Khi dó S có một điểm bất động duy nhất

Mục đích của phần này là mở rộng Định lý 2.2.1 đến một lớp các ánh xạ

( , )y f - co cyclic Chú ý rằng ở đây tính chất đơn điệu của hàm y bị bỏ qua và

tính chất liên tục của hàm f được thay thế bởi tính nửa liên tục dưới

Kết quả chính của phần này là:

Định lý 2.2.2 Cho ( , )E G là một không gian G - metric đầy đủ { }F i m i=1 Ì E

, F ¹ Æ i , F i đóng với i " , F = Èm i=1F i S F : ® F là ánh xạ sao cho

S F( )i Í F i+1 với mọi i = 1, , ,m với F m+1 = F i

Giả sử tồn tại y Î Y và f Î L sao cho

Nếu với số nguyên k , a k = a k+1, do đó {a n} là dãy hằng với n ³ k bất

kỳ, thì {a n} là dãy Cauchy trong ( , )E G

Giả sử a n ¹ a n+1 với " ³n 0 Với n ³ 0 bất kỳ, $i n Î {1, ,m} sao cho

15

£ y( ( ,G a a n n+1,a n+1))

Hàm y không giảm, nên

G a( n+1,a n+2,a n+2)£ G a a( ,n n+1,a n+1), với " ³n 0

Vì vậy, dãy { ( ,G a a n n+1,a n+1)} không tăng, nên hội tụ đến một số thực r ³ 0

Cho n ® ¥ trong (2.9), sử dụng tính liên tục của y và tính nửa liên tục dưới

0

e

$ > và các dãy con {a p k( )}, {a n k( )} của {a n} với n k( ) > p k( )> k sao cho

G a( n k( ),a p k( ),a p k( )) ³ e (2.12)

Hơn nữa tương ứng với p k( ), có thể chọn n k( ) sao cho nó là số nguyên nhỏ

nhất với n k( )> p k( )> k và thỏa mãn (2.12) Khi đó

16

n k( )- p k( )+ j k( ) = 1( )m

Khi đó a p k( )- j k( ) (với k đủ lớn, p k( )> j - k) và a n k( ) nằm trong các tập hợp

khác nhau được đánh dấu F i và F i+1 với i = 1, ,m Từ (2.8), ta có

suy ra e = 0 là mâu thuẫn Vậy {a n} là dãy Cauchy trong ( , )E G

Vì ( , )E G là đầy đủ, nên tồn tại u Î Esao cho

lim n

® ¥ =

Ta sẽ chỉ ra u Î Çm i=1F i Thật vậy, vì a0 Î F1, nên {a np}n³ 0 Î F1 Vì F1 là đóng nên từ lim n

Hệ quả 2.2.3 Cho ( , )E G là một không gian G - metric đầy đủ { }F i i m=1 là một

họ các tập con đóng khác rỗng của E , F = Èm i=1F i Giả sử S F: ® F là một

18

ánh xạ sao cho S F( )i Í F i+1 với mọi i = 1, ,m , với F m+1 = F i Giả sử tồn

tại k Î (0,1) sao cho

Định lý 2.2.4 Cho ( , )E G là một không gian G - metric đầy đủ { }F i i m=1 là một

họ các tập con đóng khác rỗng của E , F = Èm i=1F i Giả sử S F: ® F là một ánh xạ sao cho

S F( )i Í F i+1 với mọi i = 1, ,m , với F m+1 = F i

Giả sử $a b, Î G sao cho

Hệ quả 2.2.5 Cho ( , )E G là một không gian G - metric đầy đủ Cho { }F i i m=1

là họ các tập con đóng khác rỗng của E , F = Èm i=1F i Giả sử S F: ® F là một ánh xạ sao cho

19

S F( )i Í F i+1 với mọi i = 1, ,m , với F m+1 = F i

Giả sử a $ Î G và k Î (0,1) sao cho

Chứng minh Kết quả suy ra bởi lấy b( )t = (1- k) ( )a t trong Hệ quả 2.2.4

Ví dụ 2.2.6 Cho E = [0,¥ ) trang bị G - metric được cho bởi

Trường hợp 4 Nếu (a = 1 và b= 1,c = 4), (a = 1 và b= 4,c = 1) hoặc (a = 1 và b= c = 4), thì

20

( , , ) 1 1 ( , , )

3

G Sa Sb Sc = = G a b c Trường hợp 5 Nếu (a = 1 và b= 0,c = 1), (a = 1 và b= 1,c = 0),

u = là điểm bất dộng duy nhất của S Ở đây u = 1 Î F1 ÇF2

Ví dụ 2.2.7 Cho E = ¡ và G a b c( , , ) = |a- b| + |b- c| + |c- a| với mọi