Định lý Knaster - Kuratowski-Mazurkiewicz trong không gian có thứ tự 5
Nửa dàn
Một nửa dàn là một tập hợp có thứ tự một phần X, được ký hiệu bởi ≤, trong đó mọi cặp phần tử (x, x0) đều có một cận trên nhỏ nhất, ký hiệu là x∨x0.
Trong một tập hợp có thứ tự (X,≤), mọi tập con A hữu hạn và khác rỗng của X đều tồn tại một cận trên nhỏ nhất, được ký hiệu là supA Mặc dù không phải lúc nào hai phần tử x và x0 cũng có thể so sánh với nhau, nhưng nếu xảy ra trường hợp x ≤ x0, thì tập hợp này sẽ có những đặc điểm nhất định.
[x, x 0 ] = {y ∈ X : x ≤y ≤ x 0 } được gọi là khoảng có thứ tự.
Giả sử (X,≤) là một nửa dàn và A ⊆ X là một tập con hữu hạn, khác rỗng của X Khi đó, ∆(A) = S a∈A[a,supA] được định nghĩa rõ ràng, vì A hữu hạn và khác rỗng, nên tồn tại supA và a ≤ supA Thêm vào đó, ∆(A) có nhiều tính chất quan trọng.
Tính chất (a) hiển nhiên đúng Tính chất (b) có được với chú ý
Một nửa dàn tôpô, hay còn gọi là sup - nửa dàn tôpô, là một không gian tôpô có thứ tự X mà trong đó tồn tại một toán tử sup liên tục Tập con E ⊆ X được gọi là tập ∆−lồi nếu với mọi tập con hữu hạn, khác rỗng A⊆ E, điều kiện ∆(A) ⊆ E được thỏa mãn.
Với mọi tập D ⊂ X, ta ký hiệu F(D) để chỉ họ các tập con hữu hạn của D, ta có ∆(D) =S
X = {(x,1) : 0 ≤ x < 1} ∪ {(x, y) : 0≤ y ≤ 1, x ≥1, y ≥ x−1} ⊂ R 2 Thứ tự trong R 2 được định nghĩa như sau: với (a, b),(c, d) ∈ R 2 ,
Khi đó, X là ∆−lồi. Định lý 1.1.1 (Brown, 1965) Nếu S là một nửa nhóm tôpô luỹ đẳng liên thông đường với phần tử zero, thì S là một đồng luân tầm thường.
Phần tử x 0 ∈ S được gọi là phần tử zero nếu x.x 0 = x 0 với mọi x ∈ S.
Một nửa dàn tôpô có thể xem như là nửa nhóm tôpô luỹ đẳng, giao hoán có thứ tự với phép toán (x, x) 7→x∨x 0
Bổ đề 1.1.1 cho rằng ChoX là nửa dàn tôpô liên thông với phần tử x ∈ X, thỏa mãn x ≤ x với mọi x ∈ X Điều này dẫn đến việc với mọi n ∈ N và mọi hàm liên tục g : ∂∆ n −→ X, tồn tại một hàm liên tục f : ∆ n −→ X, sao cho thu hẹp của f trên biên ∂∆ n là g Ở đây, ∆ n là đơn hình n chiều với các tọa độ (t 0 , t 1 , , t n ) thuộc R n+1 + và tổng Pn i=0t i = 1, trong khi biên ∂∆ n được định nghĩa là tập hợp các điểm (t 0 , , tn) thuộc ∆ n mà tại đó tích Qn i=0ti = 0.
Chúng ta chứng minh rằng, nếu S n là mặt cầu trong không gian Euclide n−chiều và g : S n −→X là một hàm liên tục, thì tồn tại một sự mở rộng liên tục f : Dn+1 −→ X, trong đó Dn+1 là quả cầu đơn vị đóng trong R n+1.
Tất cả các đồng luân nhóm của X đều tầm thường, theo Định lý 1.1.1 Điều này có nghĩa là nếu a0 thuộc S^n và x0 thuộc X, và g: S^n → X là một hàm liên tục thỏa mãn g(a0) = x0, thì tồn tại một hàm liên tục H: S^n × [0,1] → X thỏa mãn điều kiện cần thiết.
Giả sử g : S n −→X liờn tục thoả g(à 0 ) =x 0 Đặt f : D n+1 −→X xác định bởi f(q)
Ta sẽ chứng minh f |S n = g, tức f(q) = g(q),∀q ∈ S n
Nếu q 6= 0, ta có f(q) = H q kqk,kqk
Lý luận này không phụ thuộc vào việc lựa chọn \( a_0 \in S_n \) và \( x_0 \in X \), cũng như việc xác định \( g(a_0) = x_0 \), vì \( X \) là liên thông đường Định lý 1.1.2 khẳng định rằng, với \( X \) là một nửa không gian tôpô có các khoảng liên thông đường và tập hợp các tập con đóng \( \{R_i : i = 0, \ldots, n\} \), nếu tồn tại các điểm \( x_0, \ldots, x_n \) trong \( X \) sao cho với mọi tập hợp chỉ số \( \{i_0, \ldots, i_k\} \), ta có \( \Delta(\{x_{i_0}, \ldots, x_{i_k}\}) \subset k \).
Chứng minh Trước hết, ta có x i ∈ R i ,∀i. Đặt
[xi j , x], với x = sup j=0,k xi j là một nửa dàn tôpô liên thông đường với phần tử lớn nhất là x (vì x ∈ T k
Với mỗi cặp chỉ số {i 0 , i 1 }, ta có ánh xạ ∆ {i 0 } ∪∆ {i 1 } → ∆ ({x i 0 , x i 1 }) đặt tương ứng cho đỉnh thứ i j của ∆ n đối với x i j
∆ {i 0 } ∪∆ {i 1 } = ∂∆ {i 0 ,i 1 } Thật vậy, theo định nghĩa của ∆ J , ta có
Do đó, theo Bổ đề 1.1.1, tồn tại một hàm liên tục f {i 0 ,i 1 } : ∆ {i 0 ,i 1 } → ∆ ({x i 0 , x i 1 }). Hàm này biến đỉnh i k của ∆ n thành x k Đặt |J| là lực lượng của tập J Hàmf 1 : S
∆ J →X thu được bằng cách đặt f |J 1 = f J là liên tục và thoả f 1 (∆J) ⊆ ∆ ({x j : j ∈ J}), với 1 ≤ |J| ≤ 2.
(ở trường hợp trên J = {i 0 , i1}), ta có f 1 (∆J) = f {i 0 ,i 1 } ({i 0 , i1}) ⊆ ∆ ({x i 0 , xi 1 }),(f 1 liên tục).
Giả sử ta có hàm liên tục f k−1 : S
∆ J −→ X thoả f k−1 (∆ J ) ⊆∆ ({x j : j ∈ J}),1≤ |J| ≤k. Đặt Jb= {i 0 , i 1 , , i k } là tập hợp gồm k + 1 chỉ số Khi đó
J b→ ∆ n xj : j ∈ Jb o có thể được thác triển thành một hàm liên tục f k−1
Nếu Jb 1 ,Jb 2 là các tập con gồm k+ 1 chỉ số sao cho∆
J b 2 6= ∅, thì tồn tại một tập hợp J có lực lượng tối đa k phần tử sao cho ∆
J b , ta có một hàm liên tục f k : [
Sau một số hữu hạn bước, ta được hàm liên tục f : ∆n −→ X thoả f(∆ J ) ⊆∆ ({x j : j ∈ J}),∀J ⊆ {0, , n}. Đặt F i = f −1 (R i ), i = 0, , n Đây là những tập con đóng của ∆ n (do
R i đóng và f liên tục) thoả ∆ J ⊆S j∈J F j với mỗi tập chỉ số J.
Do đú, theo bổ đề KKM, tồn tại một điểm à ∈ Tn i=0F i Khi đó f(à) ∈ Tn i=0R i
Bằng cách áp dụng phương pháp tương tự như trong Định lý 1.1.2, chúng ta có thể chứng minh Định lý 1.1.3 Định lý này nói rằng, cho không gian nửa dàn tôpô X với các khoảng liên thông đường và một họ các tập con mở {U i : i = 0, , n}, nếu tồn tại các điểm x 0, , x n trong X thỏa mãn điều kiện rằng với mọi tập hợp chỉ số {i 0, , i k }, thì tập hợp ∆ ({x i 0, , x i k }) sẽ nằm trong k.
Định lý 1.1.4 nêu rằng, trong một nửa dàn tôpô X với các khoảng liên thông đường, nếu X 0 là một tập con không rỗng của X và R là một quan hệ hai ngôi thỏa mãn điều kiện nào đó, thì có sự tồn tại của U i với Tn i=0U i 6= ∅.
(i) Với mỗi x ∈ X 0 , tập R(x) = {y ∈ X : (x, y) ∈ R} khác rỗng và là tập đóng trong R(X 0 );
(ii) Tồn tại x 0 ∈ X 0 sao cho tập R(x 0 ) là compắc;
(iii) Với mọi tập con hữu hạn khác rỗng A ⊆ X 0 thì ta có
Khi đó tập T x∈X 0R(x) khác rỗng.
Gọi A là tập con hữu hạn của X Theo Định lý 1.1.2, tập hợp T x∈AR(x) không rỗng Hàm f được xây dựng trong Định lý 1.1.2 nhận các giá trị trong S x∈A[x; supA], và vì vậy trong R(X 0), với mọi x ∈ A, tập f −1 (R(x)) là một tập con đóng của đơn hình.
Họ {R(x) : x ∈ X 0 } có tính giao hữu hạn, mỗi tập của họ là một tập đóng và R(x 0 ) là compắc, vì vậy T x∈X 0R(x) 6= ∅.
Transfer closed valued
Cho X là một tập hợp khác rỗng và Y là một không gian tôpô Đặt 2 Y là họ tất cả các tập con của Y. Định nghĩa 1.2.1 Ánh xạ G : X −→ 2 Y được gọi là transfer closed valued (viết tắt là t.c.v.), nếu với mỗi x ∈ X và y /∈ G(x), thì tồn tại x 0 ∈ X và một lân cận mở N(y) của y trong Y sao cho y 0 ∈/ G(x 0 ),∀y 0 ∈
Dễ thấy, nếu ánh xạ G : X −→ 2 Y là transfer closed valued, thì với mỗi x ∈ X và y /∈ G(x) suy ra tồn tại x 0 ∈ X sao cho y /∈ G(x 0 ).
Mệnh đề 1.2.1 ChoX, Y là hai không gian tôpô, ánh xạ G: X −→ 2 Y là transfer closed valued khi và chỉ khi T x∈X
Chứng minh. Điều kiện cần Ta cần chứng minh T x∈X
G(x), nếu G là transfer closed valued.
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh T x∈X
Giả sử trái lại, tồn tại y ∈ T x∈X
Khi đó y /∈ G(z) với mọi z ∈ X Vì G là t.c.v nên tồn tại z 0 ∈ X sao cho y /∈ G(z 0 ), và do đó y /∈ T x∈X
G(x) Điều này mâu thuẫn. Điều kiện đủ
G(x) Ta cần chứng minh G là transfer closed valued.
G(x), nên tồn tại x 0 ∈ X sao cho y /∈ G(x 0 ) Do đó, tồn tại lân cận mở N(y) của y sao cho
N(y)∩G(x 0 ) = ∅ hay ∀y 0 ∈ N(y) thì y 0 ∈/ G(x 0 ) Vậy G là t.c.v trên X. Định nghĩa 1.2.2 Cho X, Y là hai không gian tôpô, ánh xạ T :X −→
2 Y được gọi là có tính giao địa phương, nếu với mỗi x ∈ X, T(x) 6= ∅, tồn tại một lân cận mở N(x) của x trong X sao cho T z∈N(x)
Mệnh đề 1.2.2 T : X −→ 2 Y có tính giao địa phương khi và chỉ khi
Chứng minh Giả sử T có tính giao địa phương, ta cần chứng minh
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh
, khi đó x ∈ T −1 y (với một y nào đó của
Y) Do vậy y ∈ T(x) hay T(x) 6= ∅ Do T có tính giao địa phương, nên tồn tại một lân cận N(x) của x trong X sao cho T z∈N (x)
. Điều kiện cần của Định lý được chứng minh. Điều kiện đủ Lấy tuỳ ý x ∈ X, T(x) 6= ∅, ta có x∈ S y∈Y
Tính giao địa phương của không gian tôpô được thể hiện qua định lý 1.2.1, trong đó cho X là một nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường Nếu X 0 là một tập con không rỗng của X và R là một quan hệ hai ngôi trong X 0 × X, thì định lý này mô tả các đặc điểm quan trọng liên quan đến tính chất của không gian X.
(ii) Tồn tại x 0 ∈ X 0 sao cho G(x 0 ) là compắc;
(iii) Với mọi tập con hữu hạn khác rỗng A ⊆ X 0 ,
Chứng minh Từ các giả thiết (i) và (ii) của Định lý ta suy ra G(x) đóng trong R(X 0 ) và G(x) khác rỗng Từ (iii), ta có
TậpG(x) thoả tất cả các điều kiện của Định lý 1.1.4, nên T x∈X 0
Mà T x∈X 0 G(x) = T x∈X 0 G(x), do đó T x∈X 0 G(x) không rỗng Định lý 1.2.1 đã được chứng minh Định nghĩa 1.2.3 cho rằng X là một nửa dàn tôpô hoặc là một tập con ∆− lồi của một nửa dàn tôpô Hàm số f: X −→ (−∞,+∞) được gọi là ∆− tựa lõm nếu với mọi tập con hữu hạn khác rỗng A = {x1, x2, , xn} ⊆ X.
Từ định nghĩa trên ta suy ra f : X −→ (−∞,+∞) là ∆−tựa lõm nếu và chỉ nếu tập {y ∈ X : f(y) > λ} hoặc {y ∈ X : f(y) ≥ λ} là tập
Thứ tự trên R 2 được xác định như sau:
Gọi f là hàm số xác định trên X bởi f(z) = f(x, y) =x 2 −y 2 ,∀z = (x, y) ∈ X.
Khi đó, f là ∆−tựa lõm.
Chứng minh.Trong mặt phẳng toạ độOxy, gọiM(1,0), N(1,1), P(0,1). Khi đó, tập X chính là chính là đường gấp khúc M N P.
Giả sử A = {z 1 , z 2 , , z n } là tập con hữu hạn, khác rỗng của X (mỗi phần tử z i ,(i = 1, n) của A là một điểm nằm trên đường gấp khúc
M N P) Toạ độ z i có dạng z i = (1, y) : 0 ≤ y ≤ 1 hoặc z i = (x,1) : 0≤ x ≤1.
Trường hợp 1) z i = (1, y i ),∀i = 1, n Khi đósupA = (1, a), a = supy i Nếu z = (x, y) ∈ ∆(A), thì tồn tại j thoả (1, yj) ≤ z ≤ (1, a), nên f(z) = 1−y 2 ≥ 1−a 2 = f(z i 0 ), với i 0 là chỉ số mà a = y i 0
Trường hợp 2) Tồn tại i 1 sao cho z i 1 = (x i 1 ,1).
Nếu z = (x, y) ∈ ∆(A), thì tồn tại i sao cho z ≥ z i Ta có z ≥ z i = (x i ,1) z ≥ z i = (1, y i ) ⇒ f(z) = x 2 −1 ≥ f(z i ) f(z) = 1−y 2 ≥ x 2 i
Hàm f được định nghĩa là ∆−tựa lõm, với f(z i ) = 1 − 1 Định nghĩa 1.2.4 cho hai không gian tôpô X và Y, hàm ϕ(x, y) : X×Y → (−∞,+∞) được gọi là strongly path transfer lower semicontinuous (viết tắt SPT l.s.c.) đối với x nếu với mỗi cặp (x, y) thuộc X × Y và mọi ε > 0, tồn tại một lân cận mở N(x) của x trong X và một điểm y0 thuộc Y sao cho với mọi x0 thuộc N(x), ta có ϕ(x, y) ≤ ϕ(x0, y0).
+. Định nghĩa trên tương đương định nghĩa sau:
Cho X, Y là hai không gian tôpô, ϕ(x, y) : X × Y → (−∞,+∞) được gọi là strongly path transfer lower semicontinuous đối với x, nếu
∀(x, y) ∈ X ×Y, tồn tại lân cận N(x) của x trong X và tồn tại y 0 ∈ Y sao cho với mọi x 0 ∈ N(x), thì ϕ(x, y) ≤ lim x 0 →xinfϕ x, y 0
Như vậy, nếu ϕ là nửa liên tục dưới, thì ϕ là strongly path transfer lower semicontinuous Điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.2.2 Cho X = [0,1], Y = [0,1] và ϕ(x, y) xác định trên X ×Y bởi ϕ(x, y)
0, các trường hợp còn lại.
Khi đó ϕ(x, y) không là l.s.c trên X ×Y nhưng là SPT l.s.c đối với x. Thật vậy ∀(x, y) ∈ X ×Y thì 0 ≤ϕ(x, y) ≤1.
• ∀(x, y) ∈ X × Y, x 6= 0, x 6= 1,∀ > 0 tồn tại lân cận N(x) (x−δ, x+δ) của x trong X, chọn y 0 = 0, vì ϕ(x 0 , y 0 ) = 1, nên ϕ(x, y) < ϕ(x 0 , y 0 ) +,∀x 0 ∈ N(x).
• Với điểm (0, y), xét lân cận N(0) = [0, δ) và chọn y 0 = 0 thì với mọi x 0 ∈ N(0), ta có ϕ(0, y) ( 1
• Với điểm (1, y), xét lân cận N(1) = (1 − δ,1], chọn y 0 = 0 thì
= {(x, y) : y = 0, x 6= 0} không là tập mở trong X ×Y.
Bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm bất động
Bất đẳng thức Ky Fan trong không gian có thứ tự
Từ Định lý 1.2.1, ta thu được bất đẳng thức Ky Fan tổng quát sau: Định lý 2.1.1 Cho X là một nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường, f : X ×X −→ (−∞,+∞) thoả:
(ii) f(x, y) là SPT l.s.c đối với y;
(iii) Tồn tại x 0 ∈ X sao cho {y ∈ X : f(x 0 , y) ≤0} là tập compắc; (iv) Với mọi y ∈ X, x 7→ f(x, y) là ∆−tựa lõm.
Do f(x, y) là SPT l.s.c đối với y, nên với mọi (được chọn ở trên), tồn tại một lân cận N(y 0 ) của y 0 trong X, tồn tại x 0 ∈ X sao cho f(x, y 0 ) < f(x 0 , y 0 ) +,∀y 0 ∈ N(y 0 ). hay f(x 0 , y 0 ) > f(x, y0)−,∀y 0 ∈/ W(x 0 ).
Bây giờ, ta chứng minh mọi tập con hữu hạn của A của X,
Do (iv), với mọi y ∈ X, x 7→f(x, y) là ∆− tựa lõm, nên với
A= {x 1 , x 2 , , x n } ⊆ X, y 0 ∈ ∆(A), ta có f(x 0 , y 0 ) ≥ min{f(x 1 , y 0 ), f(x 2 , y 0 ), , f(x n , y 0 )} > 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết (i) của Định lý.
HàmW thoả tất cả các điều kiện của Định lý 1.2.1, nên T x∈X
Vậy f(x, y ∗ ) ≤ 0,∀x ∈ X. Định lý 2.1.1 được chứng minh.
Định lý điểm bất động Fan - Browder trong không gian có thứ tự
Từ Định lý 2.1.1, ta có định lý điểm bất động Fan - Browder tổng quát Cụ thể, cho X là một nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường và F: X → X là ánh xạ có tập giá trị là tập ∆−lồi đóng, không rỗng; F có tính giao địa phương Nếu tồn tại x₀ ∈ X sao cho X \ F⁻¹(x₀) là compact, thì F có một điểm bất động.
Ta chứng minh định lý bằng phản chứng Giả sử trái lại F không có điểm bất động Khi đó, ∀x ∈ X, x /∈ F(x) Ta có f(x, x) = 0.
∅, nếu λ ≥ 1 là tập∆−lồi (doX, F(y),∅là những tập∆−lồi), vỡ vậyf(ã, y) là∆−tựa lõm.
Vì F có tính giao địa phương, nên với (x, y) ∈ X ×X, F(y) 6= ∅, tồn tại một lân cận N(y) của y trong X sao cho T u∈N (y)
Vậy f(x, y) là SPT l.s.c theo biến y.
1 x ∗ ∈ X gọi là điểm bất động của ánh xạ F , nếu x ∗ ∈ F(x ∗ ).
Theo Định lý 2.1.1, tồn tại y ∗ ∈ X sao cho f(x, y ∗ ) ≤0,∀x ∈ X. Điều này mâu thuẫn (vì theo định nghĩa của f(x, y) thì f(x, y) ≤ 0 chỉ với những x thoả x /∈ F(y) chứ không phải ∀x ∈ X).
Điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ tự
Cho (X i ,≤ i ), i ∈ I là một họ các nửa dàn tôpô, gọi X và Xb i là các không gian tích với tôpô tích,
X i , ta định nghĩa x ≤x 0 nếu xi ≤ i x 0 i ,∀i ∈ I.
Trong không gian tôpô (X,≤), một nửa dàn tôpô được định nghĩa với (x∨x 0 ) i = x i ∨ i x 0 i cho mọi i thuộc I Định nghĩa 2.3.1 chỉ ra rằng với mọi x thuộc X, x có thể được biểu diễn dưới dạng (x i ,xb i ), trong đó x i thuộc X i và xb i thuộc Xb i Q j∈I\iXj Điểm x ∗ thuộc X được gọi là điểm cân bằng Nash của các hàm số f i : X −→ (−∞,+∞) nếu với mọi i thuộc I, ta có f i (x ∗ i ,bx ∗ i ) = max u i ∈X i f i (u i ,xb ∗ i ).
Theo Định lý 2.2.1, tồn tại điểm cân bằng Nash được xác định qua Định lý 2.3.1 Cụ thể, với tập N = {1, 2, , n}, giả sử rằng mỗi X i là một tập hợp không rỗng, có tính chất compact và là compact theo dãy, cùng với ∆−lồi của nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường, ta có X = Q i∈N.
Xi, fi : X −→ (−∞,+∞) thoả các điều kiện
(i) Với mỗi i ∈ N, với mọi bxi ∈ Xbi, ui →fi(ui,xbi) là ∆−tựa lõm; (ii) Với mỗi i ∈ N, f i là u.s.c.;
(iii) Với mỗi i ∈ N,f i (u i ,xb i ) là SPT l.s.c đối với bx i
Khi đó tồn tại x ∗ ∈ X sao cho với mỗi i ∈ N, ta có f i (x ∗ i ,xb ∗ i ) = max u i ∈X i f i (u i ,xb ∗ i )
Ta có W k (x) 6= ∅ và là tập ∆− lồi, với mọi x ∈ X.
Trong phần tiếp theo, ta chứng minh Wk(x) có tính giao địa phương, tức là, nếu W k (x) 6= ∅, thì tồn tại một lân cận mở O(x) của x trong X sao cho T u∈O(x)
T i (u) nên ta chỉ cần chứng minh với mỗi i ∈ N, T i cũng có tính giao địa phương.
Với x 0 ∈ X, T i (x 0 ) 6= ∅ Lấy y i 0 ∈ T i (x 0 ), ta có f i y i 0 ,bx 0 i
/2, do(iii) tồn tại một lân cận mởO 1 (xb 0 i )củaxb 0 i trongXc i và tồn tạiy ∗ i ∈ X i sao cho f i y 0 i ,xb 0 i
Vì max u i ∈X i f i (u i ,xb i ) liên tục tại bx 0 i , nên tồn tại một lân cận mở O 2 bx 0 i của bx 0 i trong Xc i sao cho với mọi xb 0 i ∈ O 2 bx 0 i
. Trong đó O(x 0 i ) là một lân cận mở của x 0 i trong Xi.
Từ (2.3.1),(2.3.2),(2.3.3), với mọi x 0 ∈ O(x 0 ), fi(y i ∗ ,bx 0 i ) > fi y i 0 ,xb 0 i
Khi đó y i ∗ ∈ T u∈O(x 0 )T i (u) 6= ∅, và do đó, T u∈O(x 0 )T i (u) 6= ∅.
Vì thế T i có tính giao địa phương Vậy W k cũng có tính giao địa phương.
Theo Định lý 2.2.1, tồn tại một điểm x k ∈ X sao cho x k thuộc W k (x k ) Do X là tập hợp compact, dãy x k với k từ 1 đến vô cùng sẽ có một điểm giới hạn x ∗ thuộc X Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử rằng x k tiến tới x ∗ (lấy dãy con của dãy {x k } là chính nó) khi k tiến tới vô cùng Với mỗi i thuộc N, ta có f i x k i, bx k i.
Theo giả thiết(ii), với mỗi i ∈ N, fi là nửa liên tục trên, lại do x k →x ∗ , nên lấy giới hạn trong (2.3.4), ta được fi(x ∗ i ,bx ∗ i ) ≥ lim k→∞supfi x k i ,bx k i
Vậy tồn tại x ∗ ∈ X sao cho với mỗi i ∈ N, f i (x ∗ i ,xb ∗ i ) = max u i ∈X i f i (u i ,xb ∗ i ) Định lý 2.3.1 được chứng minh.
Lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị và phần tử tối đại trong không gian Banach có thứ tự 23
Các định nghĩa
Cho X là một tập hợp.
1 Một quan hệ hai ngôi W ⊆ X ×X gọi là quan hệ ưu tiên yếu nếu nó chứa đường chéo của X ×X Do đó W ⊃ {(x, x) : x ∈ X}.
2 Một quan hệ hai ngôi S ⊆ X ×X gọi là quan hệ ưu tiên ngặt nếu nó không chứa phần tử nào của đường chéo của X ×X.
3 Phần tử x ∗ ∈ X gọi là phần tử lớn nhất đối với quan hệ ưu tiên yếu
4 Phần tử x ∈ X gọi là phần tử tối đại đối với quan hệ ưu tiên ngặt
Như thường lệ, cho một quan hệ hai ngôi R ⊆X ×Y, với x ∈ X và y ∈ Y, ta đặt
Nếu W và S đại diện cho quan hệ ưu tiên yếu và ngặt trên tập X, thì x 0 được coi là ưu tiên đối với x khi x 0 thuộc W(x) Ngược lại, x 0 sẽ được xem là ưu tiên ngặt đối với x nếu x 0 thuộc S(x).
5 Cho X, Y là hai không gian tôpô, ánh xạ liên tục f : X → Y được gọi là lát cắt liên tục đối với ánh xạ g : X → 2 Y nếu f(x) ∈ g(x),∀x ∈ X.
Lát cắt liên tục và phần tử tối đại
Định lý 3.2.1 Cho K là không gian tôpô compắc, X là nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường, R ⊆ K ×X là một quan hệ hai ngôi thoả
(ii) Với mọi à ∈ K, tập R(à) 6= ∅, và nếu x 1 , x 2 ∈ R(à), thỡ [x 1 , x 1 ∨ x2] ⊆ R(à).
Khi đó tồn tại một đơn hình ∆ n và hai hàm liên tục h : K −→ ∆ n và g : ∆ n −→X sao cho, với mọi à ∈ K, g(h(à)) ∈ R(à).
Chứng minh Do K là không gian compắc và do giả thiết (i), nên tồn tại một tập hữu hạn {x 0 , x 1 , , x n } ⊆ X sao cho K n
S i=1 intR −1 (x i ). Tồn tại các hàm số liên tục ψ i : K → [0,1] sao cho
Vì mỗi ψ i liên tục từ K → [0,1], nên h liên tục từ K đến ∆ n
Bây giờ, theo chứng minh của Định lý 1.1.2, tồn tại một hàm liên tục g : ∆ n →X sao cho, với mọi tập con khác rỗng J ⊆ {0,1, , n}, ta có g(∆ J ) ⊆∆ ({x j : j ∈ J}).
Với mỗi à ∈ K, đặt J(à) = {j : ψj(à) > 0} Khi đú h(à) ∈ ∆ J (à) và do đó g(h(à)) ⊆ ∆ ({x j : j ∈ J(à)}).
Tuy nhiờn, {x j : j ∈ J(à)} ⊆ R(à) và do giả thiết (ii) ta cú
Hệ quả 3.2.1 Cho X là một không gian tôpô compắc với các khoảng liên thông đường, R ⊆X ×X là một quan hệ hai ngôi thoả
(ii) Với mọi x ∈ K tập R(x) 6= ∅ và nếu x 1 , x 2 ∈ R(x), thì [x 1 , x 1 ∨ x 2 ] ⊆ R(x).
Khi đó tồn tại bx ∈ X sao cho xb∈ R(bx).
Chứng minh Theo Định lý 3.2.1 tồn tại hai hàm liên tục h : X → ∆n và g : ∆ n → X sao cho g(h(x)) ∈ R(x),∀x ∈ X.
Ta sẽ chỉ ra rằng g ◦h : X → X có một điểm bất động.
Theo định lý điểm bất động Brouwer, hàm h ◦g : ∆ n → ∆ n có một điểm bất động àb ∈ ∆ n , tức (h◦g)(à) =b à.b Đặt xb= g(bà) Khi đú
Vậy xb là điểm bất động của g(h(x)).
Theo Định lý 3.2.1 thì g(h(x)) ∈ R(x),∀x∈ X Vậy xb∈ R(bx).
Ứng dụng 25 Chương 4 Ánh xạ tựa đơn điệu tăng và bài toán cực trị 32
Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại của phần tử lớn nhất hoặc phần tử tối đại trong một quan hệ ưu tiên với các giả thiết thích hợp X sẽ được ký hiệu là một nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường Theo định lý 3.3.1, nếu W là một quan hệ ưu tiên yếu trên X, thì với mỗi x ∈ X, tập W(x) là tập đóng và tồn tại một x 0 ∈ X sao cho W(x 0 ) là tập compắc.
(ii) Nếu x không ưu tiên với x 1 hoặc x 2 , thì x không ưu tiên với x 1 ∨x 2 ;
(iii) Nếu x 1 ≤ x 2 và nếu x không ưu tiên với x 1 hoặc x 2 , thì x không ưu tiên với mọi y ∈ [x 1 , x 2 ].
Khi đó W có phần tử lớn nhất.
Chứng minh Ta chỉ ra rằng, với mọi tập con hữu hạn A khác rỗng của X, ta có
Giả sử trái lại, có A là tập con hữu hạn khác rỗng của X, tồn tại y ∈ S a∈A
Từ đó suy ra y /∈ W(a),∀a ∈ A Hay a /∈ W −1 (y),∀a ∈ A Như vậy
Từ điều kiện (ii), nếu x /∈ W(x 1 ) ⇒x 1 ∈/ W −1 (x) ⇒x 1 ∈ X\W −1 (x), x /∈ W(x 2 ) ⇒x 2 ∈/ W −1 (x) ⇒x 2 ∈ X\W −1 (x), thì x 1 ∨x 2 ∈/ W −1 (x).
Tóm lại, từ (ii) và (iii), ta suy ra nếu x 1 , x 2 ∈ X\W −1 (x), thì [x 1 , x 1 ∨ x 2 ] ⊆X\W −1 (x) (3.3.3)
Từ (3.3.2) và (3.3.3), ta suy ra
[a,supA]⊆ X\W −1 (y), nên y /∈ W −1 (y) hay y /∈ W(y) Điều này mâu thuẫn vì W là một quan hệ ưu tiên yếu.
Từ (3.3.1) và Định lý 1.1.4 ta suy ra T x∈X
Vậy W có phần tử lớn nhất.
Chú ý rằng các điều kiện (ii) và (iii) của Định lý có thể được thay thế bằng một điều kiện mới mà không làm thay đổi kết luận hoặc cách chứng minh Cụ thể, tồn tại một quan hệ hai ngôi cW ⊆ W sao cho với mọi x ∈ X, x thuộc Wc(x) và [x1, x1 ∨ x2] nằm trong X\cW −1(x) khi x1, x2 thuộc X\W −1(x).
Nhận xét trên sẽ được sử dụng để chứng minh Định lý 3.3.3. Định lý 3.3.2 Cho S là một quan hệ ưu tiên ngặt trên X sao cho
(i) Với mỗi x ∈ X, tập S −1 (x) là tập mở và tồn tại x 0 ∈ X sao cho
(ii) Nếu x 1 , x 2 ưu tiên ngặt đối với x, thì x 1 ∨ x 2 là ưu tiên ngặt đối với x;
(iii) Nếu x 1 , x 2 ưu tiên ngặt đối với x và nếu x 1 ≤ x 2 , thì x ưu tiên ngặt đối với y với mọi ∀y ∈ [x 1 , x 2 ].
Khi đó, S có phần tử tối đại. Định lý 3.3.3 Cho S là một quan hệ ưu tiên ngặt trên X sao cho
(i) Với mỗi x ∈ X, tập S −1 (x) là tập mở và tồn tại x 0 ∈ X sao cho
(ii) Nếu a 0 , a 1 , , a k là các phần tử thuộc X, và mỗi a i (i = 1, k) đều ưu tiên ngặt đối với x, thì x /∈ [a 0 , a 0 ∨a 1 ∨ .∨a k ].
Khi đó S có phần tử tối đại.
Chứng minh Với mỗi tập con Z khác rỗng của X, đặt hZilà họ các tập con hữu hạn khác rỗng của Z Ta chứng minh tồn tại x ∈ X sao cho S(x) = ∅.
Giả sử trái lại, với mọi x ∈ X, S(x) 6= ∅. Đặt
Ta có cW(x) ⊆ W(x) Thật vậy
Nếu x thuộc cW(x), thì x cũng thuộc W(x) Theo Định lý 3.3.1 và Nhận xét 3.3.1, tồn tại một phần tử lớn nhất bx trong W, tức là xb thuộc T với x thuộc X W(x) Tuy nhiên, trong trường hợp này, S(x) = b ∅, điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết phản chứng.
Tồn tại bx ∈ X sao cho bx /∈ Wc(x) và bx /∈ X\S −1 (x), dẫn đến xb ∈ Sb(bx) Do đó, có một tập con hữu hạn A ⊆ S(bx) thỏa mãn xb ∈ S a∈A[a,supA], điều này mâu thuẫn với (ii) Từ (ii), suy ra nếu xb ∈ S(b x) và A hữu hạn, thì bx /∈ [a,supA] ⊂ S a∈A[a,supA] Do đó, tồn tại x ∈ X sao cho S(x) = ∅ hoặc S có phần tử tối đại Theo [2], ta có Định lý 3.3.4: Cho Y là không gian para compắc, X là nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường và R ⊆ Y × X là một quan hệ hai ngôi thỏa mãn.
Khi đó tồn tại một hàm số liên tục f : Y → X sao cho, với mọi y ∈ Y, f(y) ∈ R(y). Định lý 3.3.5 Giả sử X là không gian khả mêtric và với mỗi điểm của
X có một cơ sở lân cận gồm các tập con ∆−lồi Giả sử S ⊆ X ×X là một quan hệ ưu tiên ngặt thoả mãn
(i) Với mỗi x ∈ X, tập S −1 (x) là tập mở;
(iii) Tồn tại một tập compắc K ⊆X sao cho S x∈X S(x) ⊆ K.
Khi đó S có phần tử tối đại.
Chứng minh Nếu S(x) 6= ∅ với mọi x ∈ X, thì X = S x∈X S −1 (x). Theo Định lý 3.3.4, tồn tại một lát cắt liên tục f : X → X sao cho
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một số khái niệm quan trọng trong lý thuyết quan hệ và tôpô Đầu tiên, với mọi x ∈ X, ta có f(x) ∈ S(x), từ đó suy ra rằng f(X) ⊆ K, dẫn đến việc f có điểm bất động f(bx) = x, nhưng điều này mâu thuẫn với tính chất của S là một quan hệ ưu tiên ngặt Định nghĩa về quan hệ nửa liên tục dưới cho thấy rằng với mọi x₀ ∈ X và tập mở U ⊆ X sao cho S(x₀) ∩ U ≠ ∅, tồn tại một tập mở V ⊆ X với x₀ ∈ V và S(x) ∩ U ≠ ∅ cho mọi x ∈ V Tương tự, quan hệ nửa liên tục trên được định nghĩa khi với mọi x₀ ∈ X và tập mở U ⊆ X chứa S(x₀), tồn tại một lân cận V của x₀ sao cho S(x) ⊆ U cho mọi x ∈ V Cuối cùng, một mêtric d trên X được gọi là tương thích nếu nó sinh ra tôpô của X và với mọi ε > 0 cùng tập con lồi A, tập −lân cận của A, S a∈A B(a, ε) cũng là tập lồi.
X ×X là một quan hệ ưu tiên ngặt nửa liên tục dưới thoả
(ii) Tồn tại một tập compắc K ⊆X sao cho S x∈X S(x) ⊆ K;
(iii) Với mỗi x ∈ X, tồn tại η x > 0 sao cho B(x, η x )∩S(x) = ∅.
Khi đó S có phần tử tối đại.
Giả sử rằng với mọi x ∈ X, tập S(x) không rỗng Đặt R(x) = S(x), khi đó R là nửa liên tục dưới và có tập giá trị đóng khác rỗng Đối với mọi ε > 0, S(x) được xác định là lân cận của S(x) theo metric tương thích, dẫn đến R(x) = T.
S (x)là tập lồi) Do đó, nếu x 1 , x 2 ∈ R(x), thì[x 1 , x 1 ∨x 2 ] ⊆ R(x) Theo
Trong bài viết này, ta xem xét một hàm liên tục f: X → X trên một không gian R, với tập K là tập compact và S x∈X S(x) ⊆ K Do đó, f(X) cũng nằm trong K Theo Dungundji và Granas (1982), vì X là một thu hẹp tuyệt đối, hàm f phải có điểm bất động x ∈ X Tuy nhiên, điều này dẫn đến mâu thuẫn khi cho rằng x ∈ S(x).
Cho một không gian mêtric X với mêtric d: X × X → R +, định nghĩa B[A, ] là lân cận của tập A⊆X, với B(a, ) là quả cầu đơn vị tâm a và bán kính Đối với S ⊆ X × X và A⊆X, ký hiệu S[A] là tập hợp các phần tử S(a) với a thuộc A Định lý 3.3.7 khẳng định rằng nếu X là không gian mêtric compact, thì X sẽ thỏa mãn một số tính chất nhất định.
(a) Mỗi điểm của X có một cơ sở lân cận các tập ∆−lồi mở;
(b) Bao đóng của một tập con ∆−lồi là một tập ∆−lồi.
Gọi S ⊆X ×X là một quan hệ ưu tiên ngặt sao cho:
(ii) Với mọi > 0 và với mọi x ∈ X thoả S(x) 6= ∅, tồn tại δ ,x sao cho S[B(x, δ ,x )] ⊆B[S(x), ];
(iii) Với mỗi x ∈ X, tồn tại η x > 0 sao cho B(x, η x )∩S(x) = ∅. Khi đó S có phần tử tối đại.
Chứng minh Giả sử trái lại, với mọi x ∈ X, tập S(x) khác rỗng. Với mọi x ∈ X, đặt R(x) là S(x) Với mọi > 0, ta có B[S(x), /4] ⊆ B[R(x), ], vì thế
Nếu x 0 ∈ B(x, δ x,/4 ), thì R(x 0 ) ⊆B[S(x), /4] và khi đó
Do đó, với mọi > 0, tồn tại δ x, 0 sao cho R[B(x, δ x, 0 )] ⊆B[R(x), ]. Điều này suy ra R là nửa liên tục trên.
Với mỗi x ∈ X, R(x) là một nửa dàn compắc có phần tử lớn nhất và là tập lồi, đồng thời cũng liên thông đường nhờ vào các khoảng liên thông đường của X Hơn nữa, R(x) không tuần hoàn và theo kết quả của Van de Vel, tồn tại x ∗ ∈ X sao cho x ∗ ∈ R(x ∗ ), dẫn đến B(x ∗ , )∩S(x ∗ ) 6= ∅, điều này mâu thuẫn với giả thiết (iii) Định lý 3.3.7 đã được chứng minh Định lý 3.3.8 khẳng định rằng nếu X là một tập ∆−lồi, compắc, không rỗng của một nửa dàn tôpô với các khoảng liên thông đường, và G : X −→ 2 X có tính giao địa phương, thì tồn tại x ∗ ∈ X sao cho G(x ∗ ) = ∅.
Chứng minh Ta có ∆(G) : X →2 X xác định bởi ∀x ∈ X,
Vì G có tính giao địa phương, nên ∀x ∈ X, G(x) 6= ∅, tồn tại một lân cận N(x) của x trong X sao cho T z∈N (x)
Vì vậy ∆(G) cũng có tính giao địa phương.
Giả sử rằng ∀x ∈ X, G(x) 6= ∅ Khi đó ∆(G(x)) 6= ∅ Theo Định lý 2.2.1, tồn tại x 0 ∈ X sao cho x 0 ∈ ∆(G(x 0 )) Điều này mâu thuẫn với giả thiết với mọi x ∈ X, x /∈ ∆(G(x)). Định lý 3.3.8 được chứng minh.
Chương 4 Ánh xạ tựa đơn điệu tăng và bài toán cực trị
Trong nghiên cứu của Hu [4], ông là người đầu tiên khám phá sự tồn tại của điểm bất động cho toán tử gián đoạn tựa đơn điệu tăng Điều kiện A được đặt ra là R n → R n là một toán tử tựa đơn điệu tăng và có tồn tại nghiệm trên và dưới của A.
Gần đây, tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của toán tử liên tục tựa đơn điệu tăng trong không gian Banach Dưới điều kiện nón là một thể nón chính quy, tác giả đã chứng minh kết quả này Phương pháp chứng minh được áp dụng là sử dụng phương trình vi phân trong không gian Banach.
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá sự tồn tại của điểm bất động bội của toán tử liên tục tựa đơn điệu tăng trong không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu dựa trên khái niệm tập bất biến theo quỹ đạo giảm, nhằm cung cấp cái nhìn sâu sắc về tính chất của các toán tử này.
Cho E là không gian Banach.
1 Tập P ⊂ E, P 6= ∅ được gọi là nón nếu
2 Nếu P là nón, thì thứ tự trongE sinh bởi nón P được xác định như sau: với x, y ∈ E, x ≤y ⇔ y −x ∈ P.
3 Nón P được gọi là thể nón nếu phần trong của P, ký hiệu IntP khác rỗng.
4 Đặt (E ∗ ,kãk) là tụpụ đối ngẫu của E, và đặt
Khi đó, ta nói P ∗ là nón đối ngẫu hay nón liên hợp của P. Định nghĩa 4.1.1 Cho D ⊂ E, ánh xạ A : D −→ E gọi là ánh xạ tựa đơn điệu tăng nếu x, y ∈ D, x ≤ y, ϕ ∈ P ∗ , ϕ(x) = ϕ(y) ⇒ ϕ(Ax) ≤ϕ(Ay).
4.2 Tập bất biến theo quỹ đạo giảm (Decreasing flow invariant set).
Cho H là không gian Hilbert, f : H −→ R 1 , f ∈ C 2−0 , f 0 (x) = x −Ax và A : H −→ H là toán tử tựa đơn điệu tăng.
Xét bài toán IVP (Initial Value Problem) sau:
Theo lý thuyết phương trình vi phân trong không gian Banach, bài toán (4.2.1) có nghiệm duy nhất, ký hiệu là x(t, x0), với khoảng tồn tại nghiệm lớn nhất bên phải là [0, η(x0)) Định nghĩa 4.2.1: Cho M là một tập con của H.
{x(t, x 0 )|t ∈ [0, η(x 0 ))} ⊂ M,∀x 0 ∈ M, thì M được gọi là tập bất biến theo quỹ đạo giảm của f.
Ta có các Bổ đề sau:
Bổ đề 4.2.1 f(x(t, x 0 )) là giảm với t∈ [0, η(x 0 )).
Thật vậy, ta có df dt(x(t, x 0 )) = (f 0 (x(t, x 0 ), x 0 (t, x 0 ))
Bổ đề 4.2.2 Các kết luận sau đây là đúng:
(i) H là một tập bất biến theo quỹ đạo giảm của f.
(ii) Nếu {M à |à ∈ ∧} là một họ cỏc tập bất biến theo quỹ đạo giảm của f, ở đây ∧ là một tập chỉ số, thì S à∈∧
Mà cũng là tập bất biến theo quỹ đạo giảm của f.
Với mọi a ∈ R 1, các tập f a ≤ và f a < đều là tập bất biến theo quỹ đạo giảm của hàm f Định nghĩa 4.2.2 nêu rõ rằng nếu M và D là các tập bất biến theo quỹ đạo giảm của f, thì D là tập con của M.
Khi D = CM(D), D được xác định là một tập bất biến theo quỹ đạo giảm đầy đủ của f đối với M Trường hợp này, C M (D) được gọi là một tập bất biến theo quỹ đạo giảm sinh bởi D.
1) H là một tập bất biến theo quỹ đạo giảm đầy đủ của H.
2) Nếu D 1 , D 2 là hai tập bất biến theo quỹ đạo giảm rời nhau của f, thì C M (D 1 )∩C M (D 2 ) =∅.