Lý thuyết khung Gabor trong biểu diễn thời gian - tần số

Trong lý thuyet Gabor các nhà toán hoc rat quan tâm tói m®t đoitưong quan trong đó là khung Gabor.. Vói mong muon nghiên cúu lý thuyet khung Gabortrong bieu dien thòi gian - tan so, m®t

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành dưói sn hưóng dan t¾ntình cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng, ngưòi thay đã hưóng dan, luôn đ®ngviên và khích l¾ đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p và vưot qua nhungkhó khăn trong quá trình hoàn thành lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòngkính trong, lòng biet ơn chân thành và sâu sac nhat đoi vói thay

Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u Trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Toán và To Giái tíchcùng vói các quý thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giáket thúc tot đep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn

Hà N®i, tháng 10 năm 2010

Tác giá

Lưu Th% Thu Hương

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói

sn hưóng dan cna TS Bùi Kiên Cưòng

Trong quá trình nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 10 năm 2010

Tác giá

Lưu Th% Thu Hương

Mnc lnc

1.1

M®t so không gian hàm 3

1.2 Ch uoi F ourier 6

1.3 Bien đoi F ourier 7

1.4 Công thúc tong Poisson 9

1.5 Giái tích thòi gian - tan so 11

1.5.1 Hàm cúa so 12

1.5.2 Bien đoi Gabor 13

1.5.3 Cúa so thòi gian-tan so cna Bien đoi Fourier thòi gian ngan 14

1.5.4 Cúa so thòi gian-tan so cna bien đoi sóng nhó liên tuc 15

2 Khung Gabor 17 2.1 Lý thuyet khung trong không gian Hilbert 17

3

2.2 Khung Gabor 26

2.3 Sn h®i tu không đieu ki¾n 29

2.4 Không gian Wiener 32

2.5 Tính b% ch¾n cna toán tú khung Gabor 34

2.6 Bieu dien Walnut cna toán tú khung Gabor 37

2.7 Mó r®ng không trnc giao Painless 41

2.8 Tính trù m¾t cna khung Gabor 43

3 Giái tích Gabor trong không gian bien đi¾u 44 3.1 Các lóp cúa so cna giái tích Gabor 44

3.2 Tính b% ch¾n cna toán tú khung Gabor trên không gian bien đi¾u 55

3.3 Cơ só Wilson trong không gian bien đi¾u 64

3.4 Nén du li¾u 75

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Giái tích sóng nhó ton tai tù th¾p niên đau cna the ký XX và đãđưoc nhieu nhà khoa hoc trên the giói quan tâm nghiên cúu mà đi đau

là Morlet, Meyer Y.V, Daubechies I., Ky thu¾t sóng nhó giúp chúng

ta phân chia m®t hàm so phúc tap thành chuoi các hàm sơ cap nhò phépgiãn và phép d%ch chuyen, cung cap m®t công cu rat hi¾u quá và hapdan trong phân tích và tong hop tín hi¾u

Các nhà toán hoc đã có nhieu no lnc phát trien lý thuyet mói,thu¾t toán cho các bieu dien và tong hop các hàm Bieu dien sóng nhócùng bieu dien Gabor là các công cu toán hoc huu hi¾u nhat đe thnchi¾n nhi¾m vu này Cu the là đã tìm thay nhieu úng dung trong phântích tín hi¾u và xú lý hình ánh

Trong lý thuyet Gabor các nhà toán hoc rat quan tâm tói m®t đoitưong quan trong đó là khung Gabor Thu¾t toán khung đưoc ca ngoi

là m®t phương pháp tái tao hi¾u quá Vì v¾y vi¾c nghiên cúu lý thuyetkhung là m®t van đe rat lý thú

Đen nay, lý thuyet khung Gabor đưoc trình bày trong nhieu tài li¾u

đi cùng vói sóng nhó Vói mong muon nghiên cúu lý thuyet khung Gabortrong bieu dien thòi gian - tan so, m®t m¾t trình bày lý thuyet khungtheo h¾ thong, m¾t khác mong muon tìm nhung úng dung cu the cna

lý thuyet này, dưói sn giúp đõ hưóng dan t¾n tình cna tien sĩ Bùi KiênCưòng tôi chon nghiên cúu đe tài:

"Lý thuyet khung Gabor trong bieu dien thài gian-tan so"

2 Mnc đích nghiên cNu

- Nghiên cúu tong quan ve lý thuyet khung Gabor

- Nghiên cúu ve giái tích Gabor trong không gian bien đi¾u

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

- Trình bày các ket quá, tính chat cna toán tú khung Gabor

- Tính b% ch¾n cna toán tú khung Gabor trong bieu dien thòi gian tan

so và trong không gian bien đi¾u

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Nghiên cúu toán tú khung Gabor trong bieu dien thòi gian tan so

và trong không gian bien đi¾u

5 Phương pháp nghiên cNu

Nghiên cúu lý thuyet : Thu th¾p tài li¾u, đoc và, phân tích, tonghop đe nghiên cúu ve khung Gabor, toán tú khung Gabor

6 DN kien đóng góp mái

Tìm m®t so úng dung cu the cna khung Gabor

vói chuan trên là huu han đưoc goi là

không gian bien đi¾u M p,q .Rd..

trên R2d và 1 ≤ p, q ≤ ∞ Khi đó không gian trong chuan hon hop

L p,q .R2d bao gom trá các hàm đo đưoc (Lebesgue) trên R2d sao cho

3

m

thay cho supremum Do đó:

Đ%nh nghĩa 1.1.3 (Lóp S .Rd.) Lóp Schwartz S .Rd bao gom các hàm

Đ%nh nghĩa 1.1.4 Nhóm đơn hình Sp (d) là nhóm cúa tat cá các

ma tr¾n A ∈ GL (2d, R) thóa mãn: [Az, Az t ] = [z, z t ] vói moi z, z t

đ¾c bi¾t đưoc đ%nh nghĩa

ó đây F ∈ L ∞ .R2d và suppF là compact.

Đ%nh nghĩa 1.1.7 Cho m®t hàm cúa so co đ%nh g ƒ= 0 Khi đó STFT cúa hàm f đoi vói g đưoc xác đ%nh

Cho các hàm trong m, v trên R2d , m đưoc goi là v

hang so c sao cho

ôn hòa neu ton tai

m (z1 + z2) ≤ cv (z1) m (z2) , ∀z1, z2 ∈ R 2d

Sau này chúng ta sú dnng m đe bieu th% m®t hàm v − trong ôn hòa.

Cho x, ω ∈ R d chúng ta đ%nh nghĩa các toán tú:

T x f (t) = f (t − x)

M ω f (t) = e 2πiωt f

(t) Vói moi n ∈ N\ {0} , t¾p

x∈Ω ess sup |u (x)| = inf {M > 0 |µ {x ∈ Ω ||u (x) | > M} = 0 } , µ là đ®

vói ω0 là tan so cơ só.

H¾ so α k đưoc viet dưói dang cna m®t tích ch¾p:

bk .

é đây c k = |ck | e jθ k là đai lưong phúc

Công thúc bieu dien a k và b k :

1.3 Bien đoi Fourier

Tù mó r®ng chuoi Fourier đen bien đoi Fourier, chúng ta cùng xét

(1.1) và (1.2) Hàm thòi gian p (t) trong (1.1) có the sú dung bieu th%

ó

Phương trình (1.8) và (1.9) đưoc biet như c¾p bien đoi Fourier.

Tù đây chúng ta sú dung f (t) đe bieu dien m®t hàm cna mien thòi gian, còn p (t) bieu dien hàm thòi gian tuan hoàn Chúng ta

viet lai (1.8) vói ký hi¾u mói Bien đoi Fourier cna m®t hàm năng

lưong han che f (t) ∈ L2 (R) cna m®t bien thnc t đưoc đ%nh nghĩa

bói tích phân :

fˆ (ω) = ¸ ∞ f (t) e −jωt dt (1.10)

T

∞

Kí hi¾u tích vô hưóng bói < f, g >= ¸

Ω g (t)h (t)dt , bien đoi Fourier

cóthe bieu th% như sau:

fˆ (ω) = .f (t) , e jωt. (1.11)

Sn the hi¾n cna (1.11) là rat quan trong Phương trình này trình bày

bieu dien b® ph¾n cau thành cna f (t) tai ω Neu chúng ta có the xác đ%nh tat cá các thành phan cna f (t) trên truc ω, sn chong chat cna các thành phan này se xây dnng lai hàm goc f (t):

f (t) =

1 ¸

∞ 2π −∞

bieu dien không gian, fˆ(ω) đưoc goi là pho không gian.

Công thúc tong Poisson có ích trong moi liên h¾ thông tin mien

thòi gian cna m®t hàm so vói quang pho cna nó Lay f (t) ∈ L2(R) Tuan hoàn hóa cna f(t), goi là f p (t), đưoc bieu dien bói :

Hai dang khác cna tong Poisson se can cho phép lay đao hàm ve sau Tacó:

ω +2 πk

1.5 Giái tích thài gian - tan so

M¾c dù phương pháp giái tích Fourier có nhieu tác dung trongnhung lĩnh vnc khác nhau, nhưng nó tró nên không thóa đáng khiliên quan đen khái ni¾m tan so đ%a phương cna m®t tín hi¾u bóiquang pho Fourier không cung cap nhieu thông tin mien thòi gian vetín hi¾u Đe súa khiem khuyet này, sn phân tích đ%a phương là canthiet và là sn ket hop cá giái tích mien thòi gian và mien tan so đe đatđưoc giái tích thòi gian- tan so, bang phương pháp mà chúng ta có therút ra các n®i dung tan so đ%a phương cna m®t tín hi¾u Đây là đieurat quan trong, tù đó mà trong thnc hành chúng ta chí can quan tâmđen m®t vài phan đ¾c bi¾t cna quang pho và do đó chúng ta có thetương tn nhung đieu đã biet ve m®t phan cna tín hi¾u mien thòi gian

là nguon goc, nguyên nhân mang đen nét đ¾c trưng cna quang pho.Phương hưóng chung đieu khien đe biet các n®i dung tan so đ%a phươngcna m®t tín hi¾u là chúng ta nên bó đi m®t phan không mong muon tùtín hi¾u đã cho và sau đó lay bien đoi Fourier cna phan mà ta mongmuon

a

1.5.1 Hàm cNa so

Giá sú φ (t) ∈ L2 (R) là m®t hàm cúa so giá tr% thnc Khi đó

tích f (t) φ (t − b) =: f b (t) se chúa đnng các thông tin cna f (t) gan t = b Đ¾c bi¾t neu φ (t) = χ [−τ,τ ) (t) thì:

trong các khoáng khác nhau

Hai tham so quan trong nhat cna m®t hàm cúa so là tâm và chieu r®ngcna nó Cuoi cùng là hai lan bán kính Xóa bó tâm và be r®ng chuancna hàm cúa so lan lưot tai 0 và 2t Vói m®t hàm cúa so tong quát φ (t),

chúng ta đ%nh nghĩa tâm t ∗ cna nó như sau:

Hàm φ (t) mô tá ó trên vói ∆φ huu han đưoc goi là m®t cúa so thòi gian.

Tương tn chúng ta cũng có m®t cúa so tan so φˆ (ω) vói tâm ω ∗ và

bán

Như chúng ta đã biet, lí thuyet m®t hàm so không the giói han trong

thòi gian và tan so tương thích Tuy nhiên, chúng ta có the có φ (t),

é đây đang thúc xáy ra khi φ là kieu Gauss.

1.5.2 Bien đoi Gabor

Bien đoi Gabor đưoc phát trien bói D.Gabor, ngưòi đã sú dung hàm Gauss

g α (t) = 1

e

− 2π

1.5.3 CNa so thài gian-tan so cúa Bien đoi Fourier thài gian

ngan

Chúng ta có the đ%nh nghĩa Bien đoi Fourier thòi gian ngan (STFT)

cna hàm f (t) đoi vói hàm cúa so φ (t) bieu th% ó v% trí (b, ξ) trong

m¾t phang thòi gian-tan so như sau:

1.5.4 CNa so thài gian-tan so cúa bien đoi sóng nhó liên tnc

Đ%nh nghĩa cna tâm mien tan so và bán kính tháo lu¾n trong phan1 5.1 không áp dung cho cúa so sóng nhó, vì không như cúa so cna

STFT trong đó φˆ (0) = 1 , ó đây cúa so sóng

nhó

ψˆ (0) = 0 Nói cách

khác, ψˆ (ω) trình bày đ¾c tính dái loc cna b® loc Do đó, chúng ta có

[at ∗ + b − a∆ ψ , at ∗ + b + a∆ ψ] (1.35)

Bien đoi tích phân sóng nhó cna hàm f (t) ∈ L2(R) đoi vói m®t so

sóng nhó ψ đưoc đ%nh nghĩa bói

ˆ

1

Wψf (b, a)

:= ¸∞ f (t) ψ

−∞

f (t)

ψ

t − b

Cúa so thòi gian-tan so là tích :

2a∆ ψ x 2 ∆+ = 4∆ψ∆+ = cons tan t

ω

+

Chương 2

Khung Gabor

Đ%nh nghĩa 2.1.1 (Khung) M®t dãy {e j : j ∈ J} trong không

gian Hilbert H đưoc goi là m®t khung neu ton tai các so A, B, vói 0 <

A ≤ B sao cho

j∈J

tró thành đang thúc Trong trưòng hop này, khung đưoc goi là khung

ch¾t.

Có the nh¾n thay rang, m®t khung là m®t cơ só trnc chuan neu và

chí neu A = B = 1.

Đ%nh nghĩa 2.1.2 Đoi vói bat kỳ t¾p con {e j : j ∈ J} ⊆ H các toán

tú h¾ so, hay toán tú giái tích C đưoc cho bói:

Cf = {(f, e j ) : j ∈ J} Toán tú tong hop ho¾c toán tú tái tao D đưoc đ%nh nghĩa cho m®t dãy

17

2

Các tính chat cơ bán dưói đây cna các toán tú này là:

Đ%nh lý 2.1.1 Giá sú rang {e j : j ∈ J} là m®t khung cúa H Khi đó

(d) C¾n khung toi ưu là B opt = "S" op và A opt = S −1 −

Chúng minh.

(a) Khang đ%nh này tương đương vói bat đang thúc khung (2.1)

(b) Giá sú c = (c j )j∈J là m®t chuoi huu han Ta có

c j e j , f

j∈J

= (Dc, f)

Tù C là b% ch¾n trên H và có toán tú chuan "C" op ≤ B 1/2 cna (2.1),

theo đó D = C ∗ : l2 (J ) → H cũng b% ch¾n vói cùng toán tú chuan

Vì v¾y, có (b)

(c) Rõ ràng là các toán tú khung S = C ∗ C = DD∗ và h¾ quá là S

là tn liên hop và dương Tù

j∈J bat đang thúc toán tú AI ≤ S ≤ BI chí là viet lai (2.1) S là khá ngh%ch

trên H vì các bat đang thúc đưoc báo toàn theo phép nhân vói các toán

tú dương giao hoán, do đó AS−1 ≤ SS −1 ≤ BS −1 như mong muon.(d) Theo đó các bat đang thúc khung (2.1) và thnc te là toán tú chuancna toán tú dương đưoc xác đ%nh bói "S" op = sup {(Sf, f) : "f" ≤ 1} Chúng minh cho Aopt là tương tn

H¾ quá 2.1 Giá sú {e j : j ∈ J} là m®t khung trên H Neu f

Như m®t h¾ quá cna Đ%nh lý 2.1.1, chúng ta có đưoc m®t công

thúc tái tao đau tiên cho f tù các h¾ so khung (f, e j ).

H¾ quá 2.2 Neu {e j : j ∈ J} là m®t khung vói c¾n khung A, B > 0

thì

S −1 e j : j ∈ J là m®t khung vói c¾n khung B −1 , A −1 > 0 , và

goi là khung kép Moi f ∈ H có khai trien không trnc giao

2

Sú dung đang thúc I H = S −1 S = SS −1 chúng ta có đưoc chuoi mó

khung vói khung kép như các hàm mó r®ng Đoi vói cơ só trnc giao vàkhung ch¾t, hai dang chuoi mó r®ng này đoi vói m®t t¾p các vectơ vàtái thiet tù tích trong đong nhat Tuy nhiên, ngưoc lai vói cơ só trncgiao, các h¾ so trong m®t khung mó r®ng (2.4) nói chung không phái

duy nhat Các h¾ so f, S −1 e j là hop vói quy tac theo nghĩa sau

Đ%nh lý 2.1.2 Neu {e j : j ∈ J} là m®t khung cúa H và f = j∈J

Đang thúc xáy ra khi và chs khi

c j = .f, S −1 e j .vói moi j ∈ J.

Chúng minh Kí hi¾u a j = .f, S −1 e j ., ta có f = j a j e j và

f, S −1 f = a j .e j , S −1 f = |a j |2.

= "c − a"2 + "a"2 ≥ "a"2 .

Đang thúc xáy ra chí khi c = a

Đ%nh lý 2.1.3 Giá sú rang {e j : j ∈ J} là m®t khung cúa H Khi

đó các đieu ki¾n sau là tương đương

(i) Các h¾ so c ∈ l2 (J ) trong chuoi mó r®ng (2.4) là duy nhat.

(ii) Toán tú giái tích C ánh xa lên l2 (J )

(iii) Ton tai các hang so A t , B t > 0 sao cho bat đang thúc

A t "c"2 ≤ c j e j ≤ B t "c"2 (2.5)

j∈J

(iv) {e j : j ∈ J} là ánh cúa m®t cơ só trnc giao gj : j ∈ J dưói m®t

toán

Đ%nh nghĩa 2.1.3 M®t khung thóa mãn các đieu ki¾n cúa Đ%nh lý 2.1.3

đưoc goi là m®t cơ só Riesz cúa H

Chúng minh Đ%nh lý 2.1.3 Các đieu ki¾n chí là nhung cách khác nhau

nói rang các toán tú C và D là các song ánh Các giá đ%nh rang {e j }

"

2

m®t khung ngu ý rang C là (1-1) vói mien đóng và D là toàn ánh (Đ%nh

lý 2.1.1 và H¾ quá 2.2)

(i) ⇔ (ii) nhó lai rang m®t toán tú b% ch¾n là (1-1) khi và chí khi nó là

toán tú tn liên hop có mien trù m¾t

các h¾ so là duy nhat khi và chí khi D là 1 − 1 khi và chí khi D ∗ = C

là toàn ánh (pham vi cna nó là đóng và trù m¾t)

(i) ⇔ (iii) Tính liên tuc cna D ngu ý sn ton tai cna m®t hang so B t không đoi trong (2.5) do Đ%nh lý 2.1.1 (b) Vì D là song ánh, D −1 là liêntuc theo đ%nh lý ánh xa mó, theo đó sai so thap hơn

(iii) ⇔ (iv)

Giá sú {f j : j ∈ J} là m®t cơ só trnc giao cna H

Cho f = j∈J c j f j , đ%nh nghĩa T f bói T f = j∈J

Thu¾t toán 2.1.1 Cho m®t tham so hoi phuc 0 < λ < 2 B , t¾p δ =

m ax {|1 − λA| , |1 − λB|} < 1 Giá sú f0 = 0, ta xác đ%nh

f n+1 = f n + λS (f − f n ) (2.6)Sau đó limn→∞ f n = f vói toc đ® h®i tu:

Quan sát cho thay f1 = λSf = λ j (f, e j ) e j chúa các h¾ so

khung như du li¾u vào Đieu này đn đe tính xap xí f n và hơn nua đe

f tái tao lai hoàn toàn.

"I − λS" op ≤ max {|1 − λA| |1 − λB|} = δ < 1 (2.8)

Giá đ%nh rang ưóc tính sai so (2.8) là đúng cho k = 1, , n Khi đó:

"f − f n+1" = "f − f − λS (f − f n)" = "(I − λS) (f −

f n )"

n

= "I − λS" op "f − f n " = δδ

"f"

Do đó có đieu phái chúng minh

Các thu¾t toán khung ve nhung ma tr¾n Gram G jm = (e m , e j ) Giá sú