Hàm trọng trong giải tích thời gian - tần số

Giải tích thời gian - tần số và biến đổi Fourier thời gian ngắn.. Kết hợp vớikhông gian Lp , ta được không gian Lp có trọng được xác định bởi chuẩn ||f ||L∞ m = ||f m||p = R Rn |f t|pmtp

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường Tác giả xinbày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với thầy Thầy đãdành nhiều thời gian hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức vàkinh nghiệm quí báu, luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tập

và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP HàNội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô, đã tạomọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình caohọc và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng nghề Cơ khíNông nghiệp và Khoa Khoa học cơ bản đã tạo điều kiện giúp đỡ để tácgiả học tập và hoàn thành tốt luận văn

Tác giả xin chân thành cảm sự gúp đỡ động viên của gia đình, bạn

bè, các thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 2010 -2012 để tácgiả hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Tiến Hiền

i

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường.

Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từngđược công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, tháng 7 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Tiến Hiền

ii

Mục lục

1.1 Chuỗi Fourier, không gian các hàm giảm nhanh và hàm

suy rộng 4

1.1.1 Chuỗi Fourier 4

1.1.2 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn) 5

1.1.3 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) 6 1.2 Biến đổi Fourier, công thức tổng Poisson, hàm Gauss và định lí Plancherel 8

1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi cơ bản 8

1.2.2 Công thức tổng Poisson 11

1.2.3 Hàm Gauss và định lí Plancherel 13

1.3 Giải tích thời gian - tần số và biến đổi Fourier thời gian ngắn 16

1.3.1 Giải tích thời gian - tần số 16

1.3.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 18

iii

1.4.1 Hàm nhập nhằng 21

1.4.2 Phân bố Wigner 22

1.5 Lớp phân bố Cohen 26

1.6 Toán tử giả vi phân 28

2 MỘT SỐ LỚP HÀM TRỌNG 32 2.1 Hàm trọng nhân tính dưới 32

2.2 Hàm trọng ôn hòa 38

2.3 Hàm trọng GRS 54

2.4 Hàm trọng xoắn dưới 56

2.5 Hàm trọng Beurling – Domar 57

3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỌNG 60 3.1 Hàm trọng trong lý thuyết giả vi phân 60

3.2 Hàm trọng trong lý thuyết khung Gabor 63

iv

1 Lý do chọn đề tài

Trọng số được sử dụng để lượng hoá sự tăng trưởng và điều kiệnphân rã của các hàm Chẳng hạn, nếu m(t) = (1 + |t|)s và ||f ||L∞

m =sup

t∈R n

|f (t)|m(t) < ∞ thì |f | ≤ C(1 + |t|)−s Vì thế, nếu s > 0 thì điềukiện này mô tả sự phân rã kiểu đa thức bậc s của hàm f , còn nếu

s < 0 thì f tăng trưởng không quá một đa thức bậc s Kết hợp vớikhông gian Lp , ta được không gian Lp có trọng được xác định bởi chuẩn

||f ||L∞

m = ||f m||p =

R

Rn

|f (t)|pm(t)p

1p.Hàm có trọng trong giải tích thời gian - tần số xuất hiện trongnhiều vấn đề và phạm vi như:

Dùng trong định nghĩa không gian biến điệu Các không gian nàyxác định theo chuẩn có trọng đối với phép biến đổi Fourier thời gianngắn Vgf Ở đó trọng số giúp cho việc đo và mô tả sự tập trung thờigian - tần số của một hàm hoặc sự phân bố của một hàm

Dùng trong định nghĩa lớp biểu trưng của toán tử giả vi phân ở

đó trọng số mô tả dạng đặc biệt tính trơn trong lớp hàm Sj¨ostrand

Dùng trong lí thuyết khung Garbor và khai triển thời gian - tần

số ở đó trọng số đo sự tập trung của thời gian - tần số

Ở bài báo [10] của Karlheinz Gr¨ochenig, tác giả đã trình bày mộtcách lý thú về hàm trọng trong giải tích thời gian - tần số Với mongmuốn hiểu biết sâu hơn về lớp hàm có trọng trong giải tích thời gian -

tần số, đặc biệt là tìm hiểu về tại sao và ở đâu cần sự xuất hiện của cáchàm trọng trong giải tích thời gian – tần số, cùng với sự hướng dẫn củathầy giáo – tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi đã lựa chọn đề tài sau để thựchiện luận văn tốt nghiệp: “ Hàm trọng trong giải tích thời gian -tần số ”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tổng quan về các lớp hàm trọng và những ứng dụngcủa hàm trọng trong giải tích điều hòa và đặc biệt là giải tích thời gian– tần số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Hàm trọng trong giải tích thời gian - tầnsố

Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên

quan đến hàm có trọng trong giải tích thời gian - tần số.

Do sự hạn chế của tài liệu tham khảo, chúng tôi giới hạn chỉ trìnhbày kĩ về lớp hàm trọng ôn hòa

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếpcận vấn đề

Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là cácbài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Đóng góp mới

Luận văn là một tài liệu tổng quan về lý thuyết hàm trọng tronggiải tích thời gian - tần số và một số ứng dụng trong lý thuyết giả viphân và lý thuyết khung Garbor

Xét các hàm số mũ e2πimx,m ∈ Zn trên [0, 1]n hoặc Tn Chúng là

cơ sở trực chuẩn của L2(Tn) Cụ thể là

4

Định lí 1.1 (Plancherel) Giả sử f ∈ L2(Tn) và giả sử

f (m)b

f (m)b

< ∞ thì chuỗi (1.1) hội tụ tuyệt đối tới hàm

f (x) , ∀x ∈ Rn và f (x) là hàm liên tục đều Nếu chúng ta ký hiệutập hợp các chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối là A (Tn) Trang bị chuẩn

kf kA = X

m∈Z n

... dấu hiệu f x, bf (x) coi biên độ củatần số w Cho nên giải tích thời gian - tần số, tìm nhữngbiểu diễn mà kết hợp đặc trưng f bf , gọi biểu diễnthời gian - tần số

Từ định nghĩa biến đổi Fourier... w) phép đo phổ tần số tức thời x màbiến đổi Fourier khơng thể có được.

2 Trong giải tích dấu hiệu, với số chiều n = 2, R2 gọi

là mặt phẳng thời gian - tần số, vật lí R2... rahầu khắp nơi

1.2.3 Hàm Gauss định lí Plancherel

Các hàm Gauss đóng vai trị đặc biệt giải tích thờigian - tần số Trước tiên, thực số phép tính bảnvới hàm Gauss Sau đó, chứng minh