Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian - tần số

Lí do chon đe tài Bien đoi Fourier chúa tat cá các thông tin ve m®t tín hi¾u,nhưng m®t vài thông tin, ví du thòi gian mà tan so xuat hi¾n trong tínhi¾u, đưoc an đi trong nhung pha phúc t

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng, ngưòi thay đã hưóng dan và truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc Thay luôn đ®ng viên và khích l¾ đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p và vưot qua nhung khó khăn trong chuyên môn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính trong sâu sac nhat đoi vói thay.

Tác giá xin chân thành cám ơn ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i

2, phòng Sau đai hoc, khoa Toán và to Giái tích cùng các quý thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình Cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012

Tác giá

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna tien sĩ Bùi Kiên Cưòng.

Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012

Tác giá

Mnc lnc

Báng kí hi¾u v à viet tat v

Má

1

M®t so khái ni¾m v à ket quá c huan b% 1

1.1

Bien đoi F ourier 1

1.1.1 Đ%nh nghĩa v à tính c hat 1

1.1.2 Các t oán tú cơ bán 3

1.1.3 Bien đoi F ourier v à đao hàm 5

1.1.4 Hàm Gauss v à đ%nh lý Plancherel 7

1.2 Giái tíc h thòi gian – tan so v à nguyên lý không chac chan 11

1.2.1 Giái tíc h thòi gian–tan so 11

1.2.2 Nguyên lý không chac chan 13

1.3 Bien đoi F ourier thòi gian ngan 19

1.4 Ánh pho v à phân bo Wigner 27

1.4.1 Ánh pho 27

1.4.2 Phân bo Wigner 28

1.4.3 Lóp phân bo Cohen 34

1.5 Bieu dien thòi gian - tan so kieu τ -Wigner 36

1.5.1 Các đ %nh nghĩa 36

1.5.2 Các đ%nh lý v à tính c hat cna bieu dien τ -Wigner 37

1.5.3 Bieu dien bang hình v e 46

2 Bieu dien Wigner liên ket vái bien đoi tuy en tính cúa m¾t phang thài gian – tan so 49 2.1 Bieu dien W ig U v à tính c hat cna nó 49

2.1.1 Han che cna hàm suy r®ng Wigner co đien 49

2.1.2 Bieu dien W ig U 50

2.1.3 Tính cha t 51

2.2 Giái thíc h nhieu bang đo th% v à úng dung trong mã hóa tín hi ¾u 60

Ket

T

ài li¾u tham kháo 66

Báng kí hi¾u và viet tat

+ : T¾p hop các so nguyên dương.

R : T¾p hop các so thnc.

Rn : Không gian Ơclit n chieu.

C : T¾p hop các so phúc.

Rez : Phan thnc cna so phúc

z Imz : Phan áo cna so phúc

z.

z : So phúc liên hop cna so phúc z.

|z| : Mô đun cna so phúc z.

C ∞ : Không gian các hàm khá vi vô han.

D α f : Đao hàm cap α cna f

suppf : Giá cna hàm f ∈ L p(Ω).

C k (Ω) : Là t¾p hop các hàm liên tuc khá vi k lan trong Ω.

Z

n

+

p

X [a,b] : Hàm đ¾c trưng trên [a, b].

D (Ω) : Không gian các hàm cơ bán.

D t (Ω) : Không gian hàm suy r®ng.

S (R n) : Không gian các hàm giám nhanh.

S t (Rn) : Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m.

F −1 (f ) : Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f

F2 : Bien đoi Fourier riêng theo bien thú hai

¸

cna hàm f trên R 2n vói F 2 =

Rn

f (x, t) e −2πitω dt.

T x f : Phép t%nh tien theo x cna hàm f và T x f (t) = f (t − x).

M ω f : Sn đieu bien theo ω cna hàm f

W ig (f ) :Phân bo Wigner cna hàm f

W ig (f, g) : Phân bo Wigner chéo cna hàm f và g.

Q σ f : Lóp phân bo Cohen.

W ig τ (f ) : Phân bo τ -Wigner cna hàm f

W ig τ (f, g) : Phân bo τ -Wigner chéo cna hàm f và g.

R (f, g) : Bieu dien Rihaczek cna hai hàm f , g.

R ∗ (f, g) : Bieu dien Rihaczek liên hop cna hai hàm f , g.

SPEC g f, Sp g f : Ánh pho cna hàm f đoi vói hàm cúa so g.

Sp φ,ψ (f, g) : Ánh pho tong quát cna hàm f , g đoi vói hàm cúa so φ, ψ.

Má đau

1 Lí do chon đe tài

Bien đoi Fourier chúa tat cá các thông tin ve m®t tín hi¾u,nhưng m®t vài thông tin, ví du thòi gian mà tan so xuat hi¾n trong tínhi¾u, đưoc an đi trong nhung pha phúc tap M®t trong nhung muc đíchchính cna giái tích thòi gian-tan so trong 50 năm cuoi đã đưoc xác đ

%nh thích hop nhung sn đieu chính “hai bien” cna bien đoi Fourier màthông tin ve cá thòi gian và tan so chúa trong tín hi¾u đưoc tao ra

chi tiet Chúng là nhung hàm ho¾c hàm suy r®ng Q (f ) (x, w) phu thu®c vào thòi gian x ∈ R n và tan so ω ∈ R n, phu thu®c theo b¾c

hai trên tín hi¾u f và có giái thích theo v¾t lý như phân bo năng

lưong ho¾c tín hi¾u trông không gian thòi gian-tan so Rn × R n M®tvan đe chính trong phân tích x ω

tín hi¾u là trong sn bieu dien cna chúng thưòng xuyên có vài loai hi¾ntưong giá (cũng đưoc biet như “nhieu” ho¾c “tan so ma”) xuat hi¾ntrong nhung vùng cna m¾t phang thòi gian-tan so, ó đó tín hi¾u chúatrong năng lưong không thnc Ta mong muon loai trù ho¾c ít nhat rútgon m¾t han che này, can thiet đưa ra đa dang các phương pháp và đ

%nh nghĩa trong nhieu cách bieu dien khác nhau

Trong thnc te, m®t trong nhung tró ngai chính cna giái tíchthòi gian-tan so đưoc liên ket vói nguyên lý bat đ%nh co đien, sn phân

bo năng lưong cna nhung tan so m®t tín hi¾u không the đưoc t¾ptrung trong nhung t¾p quá nhó trên m¾t phang thòi gian-tan so Vìnguyên

lý bat đ%nh, trong sn thành l¾p các công thúc khác nhau cna nó, se làkhông khá thi đe xây dnng sn bieu dien tot nhat, đieu đó có the đưochình thúc hóa trong rat nhieu cách M®t công thúc de dàng là, đưa ra

m®t tín hi¾u f (t), m®t sn bieu dien thòi gian-tan so b¾c hai Q (f ) (x, ω) đã xác đ%nh, không the thóa mãn cùng lúc tính dương, tính

chat giá và đieu ki¾n phân phoi biên Bên canh hàm suy r®ng Wigner

co đien,

xem xét nhung bieu dien khác cna kieu Wigner, ví du dang τ −Wigner.

Nhung bieu dien τ −Wigner đã đưoc nghiên cúu trong sn ket noi vói

nhung toán tú giá vi phân Weyl, kieu Wigner co đien là m®t trưòng hop

đ¾c bi¾t vói τ = 1 Tat cá nhung sn bieu dien kieu Wigner này thóamãn tính chat giá và đieu ki¾n phân phoi biên nhưng không dương Đ

%nh lý Hudson trong trưòng hop đ¾c bi¾t mà kieu Wigner co đien làdương chí trên nhung tín hi¾u kieu Gausian

Xác đ%nh m®t sn bieu dien kieu Wigner mói mà thóa mãntính chat giá vói m®t b¾c đã biet cna xap xí nhưng có đ¾c điem lànhung tan so ma có the di chuyen đưoc trong nhung vùng khác cnam¾t phang thòi gian-tan so là m®t van đe hap dan, vì the tôi lna chon

đe tài:

"Bieu dien Wigner liên ket vái bien đoi tuyen tính cía m¾t

phang thài gian-tan so"

2 Mnc đích nghiên cNu

Nghiên cúu ve các bieu dien Wigner khi liên ket vói nhungbien đoi tuyen tính cna m¾t phang thòi gian-tan so và tính chat cnanó

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

2

Đưa ra đưoc m®t sn bieu dien kieu Wigner mói mà thóa mãntính chat giá vói m®t b¾c đã biet cna xap xí nhưng có đ¾c điem lànhung

tan so ma có the di chuyen đưoc trong nhung vùng khác cna m¾t phang thòi gian-tan so.

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Nghiên cúu các bieu dien Wigner liên ket vói bien đoi tuyentính cna m¾t phang thòi gian-tan so

5 Phương pháp nghiên cNu

Sú dung phương pháp nghiên cúu đ¾c trưng cna giái tích hàm Phương pháp phân tích, tong hop

6 DN kien đóng góp mái

Đ%nh nghĩa m®t sn bien đoi cna kieu Wigner phu thu®c vàom®t bien đoi tuyen tính cna m¾t phang thòi gian-tan so và đưa racác tính chat tương úng

Giái thích sn xuat hi¾n cna tan so ma trong tín hi¾u banghình hoc tn nhiên bói sn bieu dien Wigner b¾c hai

tat x2 = x.x, ∀x ∈ R n, chuan Euclide là |x| = √ x.x.

là fˆ ho¾c Ff , là m®t hàm đưoc xác đ%nh bói

nghĩa bien đoi Fourier theo m®t cách khác như sau:

n ¸ho¾c

thóa

mãn

11+

p

p r

= 1

thì F : L p (Rn ) → L pr (Rn)

các toán tú sau đây:

1 Phép t%nh tien theo x cna f , kí hi¾u T x f là m®t "sn d%ch chuyen

thòi gian" đưoc xác đ%nh bói:

5 Tích ch¾p cna hai hàm f, g ∈ L1 (Rn ), kí hi¾u là f ∗ g đưoc xác đ

chuyen d%ch thòi gian – tan so Ta có h¾ thúc giao hoán chính tac

T x M ω = e −2πix.ω M ω T x

Đong nhat trên đưoc suy ra tù tính toán đơn gián

T x M ω = (M ω f ) (t − x) = e 2πiω.(t−x) f (t − x)

= e −2πix.ω e 2πiω.t f (t − x) = e −2πix.ω M ω T x

H¾ quá là T x và M ω giao hoán khi và chí khi x.ω ∈ Z.

1 Công thúc (1.5) giái thích tai sao sn đieu bien theo ω cna f đưoc goi

là chuyen d%ch tan so

2 Ket hop công thúc (1.4) và (1.5), ta đưoc công thúc (1.6), m®t trongnhung công thúc quan trong nhat cna giái tích thòi gian – tan so

3 Đánh giá trong (1.7) chí ra L1 (Rn) là m®t đai so Banach vóitích ch¾p Đang thúc trong (1.7) cùng vói bo đe Riemann – Lebesgue

1.1.1 chí ra bien đoi Fourier ánh xa L1 (Rn) vào m®t đai so con (trù

m¾t) cna C o (Rn) Cũng như đ%nh nghĩa cna bien đoi Fourier, tíchch¾p có the đưoc mó r®ng tói nhung không gian hàm khác

là hang so Babenko - Beckner.

1.1.3 Bien đoi Fourier và đao hàm

X α f (x) = x α f (x) đoi vói toán tú nhân.

Lay bien đoi Fourier cna đao hàm cap α cna f ta đưoc:

D α f

(ω) = (2πiω) α f (ω) (1.8)ˆ

và

(−2πix) α f

ˆ(ω) = D α fˆ (ω). (1.9)Ho¾c viet dưói dang toán tú

Vói nhung hàm kiem tra thích hop, ví du f ∈ C ∞ (Rn) có giá

compact,

(1.8) và (1.9) đưoc chúng minh de dàng bói các phép tính trnc tiep Ví

f , kí hi¾u F −1 (f ), đưoc đ%nh nghĩa bói

Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f , kí hi¾u là F −1 f là hàm suy r®ng

M®t quan h¾ trung tâm cna giái tích Fourier co đien là liên ket các

tính chat cna m®t hàm ho¾c hàm suy r®ng f tói tính chat cna fˆ Như m®t quy tac ngón tay cái trong v¾t lý, tính trơn cna f suy ra m®t sn suy giám cna fˆ và ngưoc lai.

j= 1

Bo đe đưoc chúng minh

c ∈ C Viet c −1 = a0 + ib0 ta thu đưoc ϕ c (x) = e −πib0x

chon đe có phan thnc dương

Bo đe 1.1.4 (Sn d%ch chuyen thòi gian tan so cna hàm Gauss) Vói moi

Bo đe đưoc chúng minh.

e πi (u−x).(η+ω) ϕ 2a (u − x) ϕ 2 (η − ω)

{T x M ω ϕ a : x, ω ∈ R n } sinh ra m®t không gian con trù m¾t cúa L2

(Rn )

Chúng minh Giá sú X = span {T x M ω ϕ1 : x, ω ∈ R n }.

và bói tính tuyen tính, h¾ thúc trên mó r®ng lên toàn b® X Do đó F là

m®t phép đang cn trong X vói mien X trù m¾t trong L2 (Rn), và vì

the nó đưoc mó r®ng tói m®t toán tú unita trên L2 (Rn)

Đ%nh lí đưoc chúng minh.

Chú ý 1.1.11 Công thúc ngưoc và đ%nh lý Plancherel là tương

đương.Th¾t v¾y:

1 Giá sú rang đ%nh lý Plancherel đưoc biet là đúng Khi đó tù F

là unita, F −1 bang toán tú liên hop F ∗ Ta xem bien đoi Fouriernhư m®t toán tú tích phân Ff (ω) = ¸ K (ω, x) f (x) dx Suy

ra toán tú liên hop F ∗ là toán tú tích phân vói nhân K (ω, x) =

e 2πix.ω Tù đó

ta có đưoc công thúc ngưoc

2 Ngưoc lai, giá thiet rang công thúc ngưoc đúng vói moi hàm f , sao cho f, fˆ ∈ L1 (Rn) Khi đó, ta có

Trong công ngh¾ và trong v¾t lý, f (x) đưoc coi như biên đ® cna sn dao đ®ng cna dau hi¾u f tai x, còn fˆ(ω) đưoc coi như biên đ® cna tan

so tai ω Tù đ%nh nghĩa bien đoi Fourier (1.1), không làm mat tính tong

quát ta xét so chieu n = 1, chúng ta thay rang phép lay tích phân

không the thnc hi¾n đưoc trù khi chúng ta biet f (x) trên toàn b®

truc thnc

(−∞, +∞) Đieu này do các hàm e iωx hay là cos (xω) và sin (xω) là

các

hàm toàn cuc Nghĩa là, m®t sn nhieu nhó cna hàm tai bat kì điem nào

doc theo truc x đeu ánh hưóng đen moi điem trên truc ω và ngưoc lai Neu chúng ta tưóng tưong dau hi¾u f (x) như là hàm đieu bien cho

e iωx , m®t sn nhieu tai bat kì điem nào trên truc x se lan truyen qua toàn b® truc ω M¾t khác chúng ta thnc hi¾n trên bien đoi Fourier, ó

m®t thòi điem tích phân chí có the đưoc đánh giá tai m®t tan so M¾c

dù có nhung thu¾t toán đe tính toán nhanh bien đoi Fourier bang kĩthu¾t so, nhưng nó không the đưoc thnc hi¾n theo thòi gian thnc Tat

cá du li¾u can thiet phái đưoc lưu tru trong b® nhó trưóc khi ròi racho¾c bien đoi Fourier nhanh có the đưoc tính

Như v¾y dù có sú dung phương pháp linh hoat nhat, giái tíchFourier cũng không đáp úng đn nhu cau thnc tien Cho nên trong giáitích tín hi¾u, chúng ta đi tìm nhung bieu dien ket hop nhung đ¾c

là đoi vói tùng tín hi¾u vì moi loai tín hi¾u lai có nhung nguyên líkhông chac chan riêng

1.2.2 Nguyên lý không chac chan

Trong toán hoc, theo nghĩa hep các nguyên lý không chac chan là

các bat đang thúc liên quan đen cá f và fˆ Chúng ta bat đau vói nguyên lý không chac chan co đien vói so chieu n = 1 mà thưòngđưoc goi là bat đang thúc Heisenberg – Pauli – Weyl Đau tiênchúng ta chúng minh m®t nguyên lý không chac chan tóm tat đoi vóitoán tú tn liên hop trên m®t không gian Hilbert

Đoi vói 2 toán tú tuyen tính A, B chúng ta kí hi¾u giao hoán tú cna

chúng bói [A.B] = AB − BA

Bo đe 1.2.1 Cho A và B là toán tú tn liên hop (có the không b% ch¾n)

trên m®t không gian Hilbert H Khi đó

"(A − a) f" "(B − b) f" “

1

2 |([A, B] f, f)|

vói moi a, b ∈ R và vói moi f trong mien cúa AB và BA

Đang thúc xáy ra khi và chs khi (A − a) f = ic (B − b) f, c ∈

a ) f = λ (B − b) f , λ ∈ C ⇒ λ = ic, c ∈ R.

Đ%nh lí 1.2.1 (Bat đang thúc Heisenberg – Pauli – Weyl) Neu f ∈

là toán tú đao hàm Rõ ràng lóp Schwartz S (R) là mien xác đ%nh

chung cna các toán tú X, P , XP và PX ; mien xác đ%nh chung lón

nhat cna các toán tú này là không gian con

Đieu này chúng tó X và P là hai toán tú tn liên hop.

Giá sú f nam trong mien xác đ%nh cna X, P , XP và PX thì giao hoán tú cna X, P tác đ®ng lên f là

2

d

d

4π "f" L2

= 2

|([X, P ] f, f)| ™ "(X − a) f" L2 "(P − b) f"L2

(1.16)

Theo đ%nh lý Plancherel và (1.8) vói α = 1 (túc là (f r ) (ω) = 2πiωf (ω)),

Thay 2 đang thúc trên vào (1.16) ta đưoc bat đang thúc (1.15)

Đang thúc trong (1.16) xáy ra khi và chí khi (P − b) f = ic (X −

Đang thúc xáy ra khi và chs khi f (x) = ce −πx2 , c > 0.

Chúng minh Áp dung bat đang thúc 2αβ ™ α2 +β2 vào nguyên lý

không chac chan vói a = b = 0, α = "Xf" L2 và β = "P f" L2 Đe có

đang thúc xáy ra ta can α = β và đang thúc trong nguyên lý không chac chan, nghĩa là Pf = ±iXf Phương trình này chí có nghi¾m trên L2 là hàm Gauss ce −πx2

ˆ

1

1

Chú ý 1.2.2 H¾ quá 1.2.1 có the đưoc giái thích như m®t phép nhúng

cna không gian hàm Chúng ta nói rang không gian Banach B1

đưoc

nhúng liên tuc vào không gian Banach B2 và viet B1 ‹→ B2 neu B1 ⊆ B2

và vói C > 0, "f" B

2 ™ C"f" B

1 vói moi f ∈ B1 Trong H¾ quá

1.2.1 chúng ta có B2 = L2 (R), B1 = domX ∩ domP là mien chung cna các toán tú X và P vói chuan

trên m®t t¾p đo đưoc T ⊂ R n, neu

Đ%nh lí 1.2.3 (Nguyên lý không chac chan cna Donoho và Stark) Giá

sú rang f ∈ L2 (Rn ), f ƒ= 0, ε T −t¾p trung trên T ⊆

Rn và trung trên Ω ⊂ R n Khi đó

|T | |Ω| “ (1 − ε T − εΩ)2.

fˆ là εΩ− t¾p

Chúng minh Không mat tính tong quát, ta có the giá sú rang T và Ω

có đ® đo huu han

hai toán tú trên là các phép chieu trnc giao trên L2 (Rn) Mien giá tr% cna

P T là L2 (T, dx) và mien giá tr% cna QΩ bao gom tat cá các hàm

trong L2 (Rn ) vói pho trong Ω, nghĩa là f ∈ L2 (Rn), sao cho sup

pfˆ ⊆ Ω Khi đó f là ε T −t¾p trung trên T khi và chí khi

Chuan Hilbert – Schmidt cna QΩP T đưoc cho bói

Chú ý 1.2.4 Các ket quá trưóc nhan manh tam quan trong cna m®t

khái ni¾m linh hoat đoi vói giá cna m®t hàm Sú dung đ%nh nghĩa giácot yeu, chúng ta chí thu đưoc m®t m¾nh đe đ%nh tính ve sn t¾p

2

" L2 2

thòi gian – tan so cna c¾p f,

giá cot yeu cna .f, f . chiem m®t vùng có di¾n tích ít nhat trong m¾tphang thòi gian – tan so.

goi là thóa mãn đieu ki¾n phân phoi biên neu

là bao loi cna suppfˆ Giá sú Πx và Πω là nhung phép chieu trnc giaotheo thành phan thú nhat và thú hai trong Rn ×

Đe thu đưoc thông tin ve các tính chat đ%a phương cna tín hi¾u f , đ¾c bi¾t ve m®t so “pho tan so đ%a phương”, chúng ta thu hep f

vào m®t đoan và lay bien đoi Fourier cna thu hep này, ta đưoc m®tbieu dien thòi gian – tan so goi là bien đoi Fourier thòi gian ngan Lýthuyet cna giái tích thòi gian – tan so hau het dna trên bien đoiFourier thòi gian ngan vì đa so các bieu dien thòi gian – tan so khácđeu có the đưoc dien đat theo quan điem cna bien đoi Fourier thòigian ngan

ˆ

ˆˆ