Giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm

Cũng tương tự như chuỗi Fourierbiểu diễn các tín hiệu hay các hàm qua các sóng sin và cosin, ta có thểdùng sóng nhỏ để biểu diễn các tín hiệu hay các hàm dưới dạng chuỗi.Hơn nữa, đối với

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VIẾT TUÂN

Hà nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Quỳnh Nga Luận văn không hề trùng lặpvới những đề tài khác

Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011

Tác giả

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1.Một số khái niệm và kết quả ban đầu 5

1.1.Không gian L p (R), 1 ≤ p ≤ ∞ 5

1.2.P hép b i ến đ ổ i F o u r i er 7

1.2.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L1(R) 7

1.2.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L2(R) 9

1.3.Từ g i ải t í c h F o u r i er đến g i ải t í c h s ó ng nhỏ 1 0 1.4.Só n g nhỏ Haar 13

1.5.Kh ô n g gi an H 1 trên R 17

Chương 2.Sóng nhỏ và xấp xỉ đa phân giải 22

2.1.Xấp x ỉ đa phân gi ả i 23

2.2.X â y dựn g m ộ t só n g nhỏ từ xấp x ỉ đa phân gi ả i 25

2.3.Só n g nhỏ có gi á co mpa c t 40

Chương 3.Biểu diễn các hàm bằng sóng nhỏ 46

3.1.C ơ sở c ủa kh ô n g gi an Bana c h 46

3.2.C ơ sở kh ô n g đ iề u k iệ n c ủa kh ô n g gi an Bana c h 48

3.3.Sự h ội tụ c ủa c hu ỗi só n g nhỏ tr o n g L p ( R ) 52

3.4.Sự h ội tụ đ iể m c ủa c hu ỗi só n g nhỏ 59

4

3.5.Sóng nhỏ thiết lập cơ sở không điều kiện cho H1(R) và L p (R) với 1 <

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích sóng nhỏ được phát triển tương đối gần đây, vào nhữngnăm 80 của thế kỷ XX Sóng nhỏ nhận được sự quan tâm rộng rãi củanhiều nhà khoa học và kỹ sư thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau do nó làmột công cụ đa năng với nội dung toán học phong phú và có tính ứngdụng cao Đó là lý do tại sao có rất nhiều sách và bài báo khoa học viết

về đề tài này Ta có thể tìm thấy những ứng dụng của sóng nhỏ tronggiải tích tín hiệu, xử lý ảnh, nén dữ liệu, nhận dạng mẫu, đồ họa máytính, phát hiện máy bay và tàu ngầm, kỹ thuật ảnh trong y khoa .Giải tích sóng nhỏ có thể xem như một lựa chọn thay thế cho giảitích Fourier cửa sổ cổ điển Những viên gạch xây dựng nên giải tíchFourier cửa sổ là các sóng sin và cosin nhân với một cửa sổ trượt Tronggiải tích sóng nhỏ, cửa sổ là một sóng mẹ Sóng mẹ này không còn phảinhân với sin hay cosin nữa mà nó được tịnh tiến và giãn nở bởi cácphép tịnh tiến và giãn nở bất kỳ Đó là cách mà sóng mẹ tạo thành cácsóng nhỏ khác Những sóng nhỏ này chính là những viên gạch xây dựngnên giải tích sóng nhỏ Nhờ đó mà phép biến đổi sóng nhỏ có ưu điểmhơn phép biến đổi Fourier cửa sổ ở chỗ nó có khả năng phóng to haythu nhỏ, tức là cửa sổ thời gian tần số sẽ tự động thu nhỏ với nhữngthành phần có tần số cao và mở rộng với những thành phần có tần sốthấp Đó là tính chất được mong chờ nhất trong giải tích thời gian - tầnsố

Sóng nhỏ có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán khác nhau, ví

7

dụ như trong lý thuyết giả vi phân, lý thuyết toán tử, biểu diễn các hàm

và đặc trưng các không gian hàm Cũng tương tự như chuỗi Fourierbiểu diễn các tín hiệu hay các hàm qua các sóng sin và cosin, ta có thểdùng sóng nhỏ để biểu diễn các tín hiệu hay các hàm dưới dạng chuỗi.Hơn nữa, đối với chuỗi Fourier, các sóng sin và cosin được chọn làm cáchàm cơ sở, sau đó các tính chất của chuỗi tạo ra mới được kiểm tra nhưngtrong chuỗi sóng nhỏ, ta có thể chọn những tính chất mong muốn trướcrồi mới tìm những hàm cơ sở thoả mãn tính chất trên Đặc biệt, trongchuỗi sóng nhỏ các hàm cơ sở không nhất thiết phải tạo thành một hệđộc lập tuyến tính Tính chất này có ưu điểm là ta chỉ cần lưu trữ các hệ

số sóng nhỏ với độ chính xác thấp mà vẫn có thể hồi phục lại tín hiệuvới độ chính xác tương đối cao

Ta có thể xem giải tích sóng nhỏ như là một sự tinh luyện của giảitích Fourier do biểu diễn của các hàm trong nhiều trường hợp là đơn giảnhơn nhiều nhờ số lượng các hệ số ít hơn so với giải tích Fourier cổ điển,

ví dụ như trong biểu diễn các hàm răng cưa Điều này dẫn đến tỷ số nénmột tín hiệu khi sử dụng chuỗi sóng nhỏ tốt hơn là sử dụng chuỗi Fourier,theo nghĩa là ít dữ liệu phải dùng để khôi phục lại tín hiệu ban đầu Trênthực tế, tỷ số nén của một số chuỗi sóng nhỏ là vượt trội hơn hẳn chuỗiFourier trong việc phục hồi dấu vân tay đến mức cơ quan an ninh quốcgia Mỹ FBI sử dụng chúng để lưu trữ và truyền đi một kho cơ sở dữliệu khổng lồ

Do tính thời sự và tính ứng dụng cao của sóng nhỏ cũng như nộidung toán học phong phú của nó, tôi quyết định chọn “Giải tích sóngnhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm” làm đề tài luận văn tốt

Luận văn được chia thành ba chương cùng với phần mở đầu, kết luậnchung và danh mục tài liệu tham khảo

Trong chương 1 chúng tôi nhắc lại những kết quả cơ bản của lý

thuyết không gian L p , phép biến đổi Fourier, không gian H1(R), mà

không chứng minh những kết quả đó Bên cạnh đó chúng tôi trình bàykhái niệm sóng nhỏ và ví dụ

Chương 2 của luận văn trình bày về xấp xỉ đa phân giải, xây dựngsóng nhỏ từ xấp xỉ đa phân giải, sóng nhỏ có giá compact cùng với một số

ví dụ và các chứng minh đầy đủ, chi tiết

Ở chương 3 chúng tôi trình bày ứng dụng của sóng nhỏ trong biểudiễn các hàm Cụ thể, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số kết quả về cơ sở

và cơ sở không điều kiện của không gian Banach, sau đó chúng tôi nghiên

cứu sự hội tụ của chuỗi sóng nhỏ trong L p (R), sự hội tụ điểm của chuỗi sóng nhỏ và ứng dụng thiết lập cơ sở không điều kiện cho H1(R) và

- Nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải và cách xây dựng sóng nhỏ

- Nghiên cứu biểu diễn các hàm bằng sóng nhỏ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

Áp dụng phương pháp sưu tầm, phân tích, tổng hợp tài liệu, đặt cáccâu hỏi và tìm câu trả lời, chứng minh chi tiết những khẳng định không

có chứng minh

6 Những đóng góp mới của đề tài

Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết về cácvấn đề chính liên quan đến giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểudiễn các hàm

Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức Minkowski cho các tích phân)

Cho 1 ≤ p < ∞ và F (x, y) là một hàm đo được trên R × R Khi

Định lý 1.1.3 (Hội tụ bị chặn của Lebesgue)

Cho {f n } là dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên tập mở

Định lý 1.1.4 (Bổ đề Fatou)

Nếu {f n } là một dãy các hàm đo được không âm thì

¸lim

¸

f n ≤ lim f n .

R n→∞ n→∞ R

Giả sử Ω1 ⊂ Rn1 ; Ω2 ⊂ Rn2 là hai tập mở và F : Ω1 × Ω2 −→ R

(hoặc C) là hàm đo được

1.2 Phép biến đổi Fourier

1.2.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L1(R)

Định nghĩa 1.2.1 Phép biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1(R)

cho bởi công thức

Một số tính chất cơ bản của fˆ(ω) với f ∈ L1(R) được cho trong hai định lý sau:

Định lý 1.2.1 Cho f ∈ L1(R) Khi đó phép biến đổi Fourier của f

thoả mãn:

i)

ii)

fˆ ∈ L∞(R); ||fˆ |∞ ≤ ||f ||1;

fˆ liên tục đều trên R;

iii)Nếu đạo hàm f r tồn tại và thuộc L1(R) thì fˆr(ω) = iωfˆ(ω);

Định lý 1.2.3 Cho f ∈ L1(R) có phép biến đổi Fourier fˆ ∈ L1(R)

Khi đó

f (x) = (F−1fˆ )(x), (1.2.8)

tại mọi điểm x mà ở đó f liên tục.

1.2.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L2(R)

Định lý 1.2.4 Cho f ∈ L1(R) ∩ L2(R) Khi đó phép biến đổi Fourier2

của f là fˆ ∈ L2(R) và thoả mãn đồng nhất thức Parseval = 2π "f "

Từ định lý (1.2.4) ta thấy phép biến đổi Fourier F : L1(R)∩L2(R)

−→ L2(R), là toán tử tuyến tính bị chặn với chuẩn | F|| = √2π Do

L1(R) ∩

L2(R) là trù mật trong L2(R), F có thể thác triển lên toàn bộ L2(R)

mà vẫn bảo toàn chuẩn Cụ thể hơn, nếu f ∈ L2(R) thì

Chú ý: Định nghĩa fˆ của hàm f ∈ L2(R) là độc lập với sự lựa

chọn của f N ∈ L1(R) ∩ L2(R) Nói cách khác, bất kỳ dãy Cauchy nào

khác trong L1(R) ∩ L2(R) mà xấp xỉ f trong L2(R) có thể sử dụng

để định nghĩa fˆ.

1.3 Từ giải tích Fourier đến giải tích sóng nhỏ

Ta ký hiệu L2(0, 2π) là tập hợp tất cả các hàm đo được f : (0, 2π)

được gọi là không gian các hàm bình phương khả tích tuần hoàn chu kỳ

2π Ta dễ dàng kiểm tra rằng L2(0, 2π) là một không gian vectơ Bất

kỳ hàm f nào trong L2(0, 2π) đều có thể biểu diễn được dưới dạng

Ta có thể kiểm tra rằng

{e inx}n Z là một cơ sở trực chuẩn của

L2(0, 2π) Ta nhận xét rằng cơ cở trực chuẩn

một hàm duy nhất W (x) = e ix bằng cách giãn nở, cụ thể là e inx = W (nx).

Trong R ta cũng có một lý thuyết tương tự Ta ký hiệu L2(R) là tập

tất cả các hàm đo được f : R −→ C sao cho ¸

Tuy nhiên hai không gian L2(0, 2π) và L2(R) khá khác nhau Do

mọi hàm trong L2(R) phải dần tới 0 tại ±∞ nên e inx không thuộc vào

L2(R).

Nếu ta đi tìm những sóng để sinh ra L2(R) thì những sóng này phải dầntới 0 tại ±∞ Trong thực tế, ta cần những sóng giảm rất nhanh tại ±∞ Điều đó có nghĩa là ta đi tìm những sóng nhỏ để sinh ra L2(R) Cũng như trong trường hợp không gian L2(0, 2π), ta muốn tìm một hàm duy nhất ψ để sinh ra toàn bộ L2(R) Nhưng nếu ψ giảm rất nhanh thì

làm thế nào nó có thể phủ toàn bộ đường thẳng? Rõ ràng ta phải dịch

chuyển ψ dọc theo R Cách đơn giản nhất để ψ phủ toàn bộ R là ta xét các hàm ψ(x − k), k ∈ Z Cũng như sóng sin, ta cũng phải xét các

khác nhau Để thuận lợi cho việc tính toán, ta sẽ sử dụng các mũ nguyên

của 2 trong việc chia tần số, tức là xét các sóng nhỏ ψ(2 j x − k), k, j ∈

Z với lưu ý rằng ψ(2 j x − k), k, j ∈ Z nhận được từ hàm sóng nhỏ

ψ (x) bởi

phép giãn nở nhị phân (nhân với 2j ) và phép dịch chuyển (của k ) Những

Định nghĩa 1.3.1 Một hàm ψ ∈ L2(R) được gọi là một sóng nhỏ

trực chuẩn của L2(R) nếu họ ψ j,k được xác định bởi

ở đó ψ (t) ƒ= 0, ∀t ∈ [0; 1) và ψ (t − A − n) ƒ= 0, ∀t ∈ [A − n; 1 +

A − n) và các khoảng này là rời nhau trừ trường hợp n = A.

Khi m ƒ= k, do tính đối xứng của m và k nên ta xét trường

L2 (R) có thể xấp xỉ với độ chính xác tuỳ ý bằng một hàm số có giácompact và

bằng hằng số trên mỗi nửa khoảng A.2−j , (A + 1) 2 −j (điều này cóđược

khi chọn giá và j đủ lớn) Do đó ta có thể giả thiết f có giá

2j1 , 2j1 và

−

bằng hằng số trên từng khúc .A.2−j0 , (A + 1) 2 −j0

trong đó j0 và j1 có thể

độ dài gấp hai lần độ dài từng khúc của f 0 với giá trị trên mỗi khúc

bằng trung bình cộng của hai giá trị hằng số tương ứng của f 0 Cụ thể

29

f

Như vậy, ψ(t) là một sóng nhỏ trực chuẩn.

1.5 Không gian H1 trên R

Cho R2 = .(x, t) ∈ R2|t > 0 là nửa mặt phẳng trên Phần thựccủa π i

z

, z = x + it, được gọi là nhân Poisson của

R2

và phần ảo được gọi

là nhân Poisson liên hợp của R2 Do

+

+ +

+

Không khó có thể chỉ ra được u(x, t) là hàm điều hòa trong R2 , thỏa mãn

Nếu ta xét

lim

t→0 +u (x, t) = f (x) h.k.n trên R.

1 ¸ x − y

là một hàm giải tích trong R2 Bất đẳng thức M Riesz khẳng định rằng

tồn tại một hằng số A p > 0, không phụ thuộc vào f ∈ L p(R) sao cho:

không gian Banach thực Khi ReH1, được “phức hóa” chúng ta thu được

một không gian, chúng ta sẽ ký hiệu bởi H1(R) ≡ H1 Điều đó có

||f || H1 = ||g|| R eH1 + ||h|| R eH1

xác định một chuẩn trên H1.

Không gian H1 chúng ta vừa định nghĩa gồm có các hàm trong

L1(R) Câu hỏi tự nhiên là, liệu có tồn tại một sự mô tả đơn giản các hàm đó không Quả thật tồn tại, một đặc trưng của H1, qua các phần

tử sơ cấp, được gọi là các “nguyên tử” Điều này là rất thích hợp vớimục tiêu của chúng ta là thu được cơ sở sóng nhỏ của không gian này

Định nghĩa 1.5.1 Một nguyên tử là một hàm đo được a xác định trên

R, thỏa mãn các điều kiện:

Sau đây là đặc trưng nguyên tử của H1 ≡ H1(R) :

Định lý 1.5.1 Một hàm f thuộc H1(R) khi và chỉ khi f có khai

ở đây infimum là được lấy theo tất cả các khai triển của f ở dạng (1.5.4).

Tồn tại một đặc trưng tương tự của H1 qua các phân tử Phân tử

có phần phức tạp hơn nguyên tử

⊂

Định nghĩa 1.5.2 Một phân tử có tâm tại x0 ∈ R là một hàm đo được

M xác định trên R với sự tồn tại b > 1

|λ j | < ∞.

Infimum của tất cả những tổng trên, được lấy trên tập tất cả các biểu diễn của f trong dạng (1.5.7), cho chúng ta một chuẩn tương đương với

||f || H1 ( R ).

Dễ dàng thấy rằng một nguyên tử cũng là một phân tử có tâm tạitrung điểm của khoảng giá của nguyên tử, với chuẩn phân tử không lớnhơn 1 Thật vậy, nếu x0 là tâm của khoảng I ⊂ R và a là một nguyên

trò cơ bản của một sóng nhỏ thích hợp ψ để các nhân cho chúng ta các

tổng riêng khác nhau của khai triển sóng nhỏ

các

không gian mà chúng ta đang nghiên cứu

−

Chương 2

Sóng nhỏ và xấp xỉ đa phân giải

Xấp xỉ đa phân giải (Multiresolution analysis – MRA) đượcMallat và Meyer đưa ra vào năm 1986 Ý tưởng này đóng góp vàoviệc xây dựng các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn mới Về mặt toán học,

ý tưởng chính của xấp xỉ đa phân giải là biểu diễn một hàm (một tín

hiệu) f như là một giới hạn của quá trình xấp xỉ liên tiếp, ở đó mỗi quá trình là một mô hình gần hơn với f Các quá trình xấp xỉ liên

tiếp này tương ứng với các độ phân giải khác nhau Lịch sử của sựhình thành xấp xỉ đa phân giải là một ví dụ tuyệt vời cho thấy cácứng dụng đã góp phần thúc đẩy sự phát triển lý thuyết Khi Mallatlần đầu tiên tiếp xúc với cơ sở sóng nhỏ của Meyer, ông đang làmviệc trong lĩnh vực xử lý ảnh Ở đó, ý tưởng nghiên cứu các hìnhảnh một cách đồng thời ở nhiều độ phân giải khác nhau và so sánhcác kết quả lại với nhau đã được phổ biến trong nhiều năm Từ đó,ông nhận ra rằng cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn chính là một công cụ để

mô tả về mặt toán học sự gia tăng thông tin khi chuyển từ một xấp

xỉ thô sang một xấp xỉ với độ phân giải cao hơn

2.1 Xấp xỉ đa phân giải

Một xấp xỉ đa phân giải (MRA) là một dãy của các không gian con

đóng xấp xỉ liên tiếp V j , j ∈ Z của L2(R) Cụ thể hơn, V j là các khônggian con đóng thỏa mãn:

v) Tồn tại một hàm ϕ ∈ V0 sao cho { ϕ (· − k)| k ∈ Z} là một

Khi đó hàm ϕ được gọi là hàm thang bậc của MRA.

Từ (2.1.4) suy ra tất cả các không gian V j đều là một mô hình phóng

to hay thu nhỏ của không gian V0.

Ký hiệu φ j,n (x) = 22 φ .2j x − n. Khi đó từ (2.1.4) và (2.1.5) ta có

{ φ j,n | n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn của V j , ∀j ∈ Z.

Một ví dụ của các không gian V j thỏa mãn (2.1.1) – (2.1.4) là

V j = f ∈ L2(R)|∀k ∈ Z : f |[2j k,2 j(k+1)) = constant ,

được gọi là xấp xỉ đa phân giải Haar Hàm thang bậc tương ứng với xấp

xỉ này được chọn là hàm chỉ số của [0, 1], tức là:

f (x)

x Proj V 1 f

x Proj V 0 f

Hàm này được gọi là hàm thang bậc Haar

Ký hiệu P j là phép chiếu trực giao từ L2(R) lên V j

Hình 2.1 chỉ ra phép chiếu của một hàm f trên các không gian Haar V0,

chiếu P j f có thể xem như là một xấp xỉ của f ở thang bậc 2−j

Một nguyên tắc cơ bản của xấp xỉ đa phân giải là nếu có một họcác không gian con đóng thỏa mãn (2.1.1) – (2.1.5) thì ta có thể tìm ramột cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn {ψ j,k | j, k ∈ Z} của L2(R) sao cho với