Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung

Vói mong muon hieu biet sâu sac hơn ve bài toán nhieu cna các toán tú và sú dung chúng vào nghiên cúu tính on đ%nh cna các khung dưóicác nhieu trong cá không gian Hilbert và Banach, nhò

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 dưói

sn hưóng dan cna cô giáo - Tien sy Nguyen Quỳnh Nga Tác giá xin bày

tó lòng kính trong lòng biet ơn sâu sac nhat đoi vói cô Cô đã hưóng dan

và chí báo t¾n tình trong suot quá trình làm lu¾n văn

Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u Trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, Phòng Sau Đai hoc, Khoa Toán, To Giái tích, quý thay

cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá ket thúc chương trình Caohoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p

Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng THCS L¾pThach, T¾p the h®i đong sư pham nhà trưòng đã tao đieu ki¾n giúp đõ

đe tác giá hoc t¾p và hoàn thành tot khóa hoc

Tác giá xin chân thành cám ơn sn đ®ng viên, giúp đõ cna gia đình, ban

bè, các thành viên lóp cao hoc Toán Giái tích khóa 15 đot 1 niên khóa

2011 - 2013 đe tác giá hoàn thành lu¾n văn

Hà N®i, tháng 8 năm 2013

Tác giá

Dương Chien Thang

LèI CAM ĐOAN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai Trương Đai hoc Sư phàm Hà N®i 2 dưói

Sn hưóng dan cna Tien sy Nguyen Quỳnh Nga

Trong quá trình làm lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna cácnhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Tôi xin cam đoan lu¾n văn đưoc hoàn thành không trùng vói bat kỳlu¾n văn nào khác

Hà N®i, tháng 8 năm 2013

Tác giá

Dương Chien Thang

Mnc lnc

Má

đau 1

1 M®t so khái ni¾m và ket quá ban đau 3 1.1 Toán tú tuyen tính b% ch¾n trên không gian Banach 3

1.2 Toán tú giá ngh%ch đáo 6

1.3 M®t so khái ni¾m và ket quá cơ bán trong lý thuyet khung 6

1.3.1 Khung trong không gian huu han chieu 7

1.3.2 Khung trong không gian Hilbert tong quát 9

2 Nhieu cúa các toán tN và Nng dnng vào lý thuyet khung 17 2.1 Nhieu cna các toán tú 17

2.2 Úng dung vào lý thuyet khung 25

2.3 Mó r®ng lý thuyet khung 35

Ket lu¾n 42

Tài li¾u tham kháo 43

iii

Má đau

1 Lý do chon đe tài

Năm 1877, Carl Neumann đã chúng minh đ%nh lý noi tieng sau: Neu X

là m®t không gian Banach và T : X → X là m®t ánh xa tuyen tính thóa

mãn "I − T " < 1 thì T là m®t ánh xa khá ngh%ch Đ%nh lý này nói

rang

neu T đn gan vói ánh xa đong nhat I thì T khá ngh%ch Thnc ra đieu ki¾n

đe T khá ngh%ch có the yeu hơn nhieu.

Năm 1948, Hilding [7] đã chúng minh đ%nh lý ó dang tong quát hơn:

Neu X là không gian Banach và T : X → X là m®t ánh xa tuyen tính,

λ ∈ [0; 1) và vói moi x ∈ X, "(I − T )x" ≤ λ("x" + "T x") thì T là

ánh

xa khá ngh%ch

Thay vì gan vói I, neu xét toán tú V gan vói m®t toán tú khá ngh%ch

U theo m®t nghĩa tương tn như cna Hilding thì cũng có the khang đ%nh

đưoc V khá ngh%ch Ket quá trên đ¾c bi¾t có ý nghĩa khi úng dung vào lý

trong đó λ n ∈ R ho¾c C, ∀n ∈ Z Tuy

nhiên khung không nh¾n đưoc sn quan tâm r®ng rãi cho đen khi bài báocna Daubechies, Grossmann và Meyer [5] ra đòi năm 1986 Ke tù đó, lýthuyet khung bat đau phát trien manh me do nhung úng dung trong xú

lý tín hi¾u, lý thuyet m¾t mã, lý thuyet lưong tú

Vói mong muon hieu biet sâu sac hơn ve bài toán nhieu cna các toán

tú và sú dung chúng vào nghiên cúu tính on đ%nh cna các khung dưóicác nhieu trong cá không gian Hilbert và Banach, nhò sn giúp đõ, hưóngdan t¾n tình cna Cô giáo, TS Nguyen Quỳnh Nga, tôi đã manh dan chon

1

nghiên cúu đe tài: ”Nhieu cúa các toán tN và Nng dnng vào lý thuyet

khung ” đe thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p.

2 Mnc đích nghiên cNu

Đe tài này nham nghiên cúu, trình bày ve nhieu cna các toán tú và úngdung vào lý thuyet khung

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Tìm hieu ve nhieu cna các toán tú

Nghiên cúu tính on đ%nh cna các khung dưói các nhieu trong cá khônggian Hilbert và Banach

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong nghiên cúu: Các kien thúc cơ só can thiet, m®t so khái ni¾m

và ket quá cơ bán trong lý thuyet khung, nhieu cna các toán tú và úngdung vào lý thuyet khung

Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, các bài báo trong và ngoài nưóc liênquan đen nhieu cna các toán tú và úng dung vào lý thuyet khung

5 Phương pháp nghiên cNu

Thu th¾p tài li¾u và các bài báo ve nhieu cna các toán tú và úng dungvào lý thuyet khung

Tong hop, phân tích, h¾ thong các khái ni¾m, tính chat

6 DN kien đóng góp cúa lu¾n văn

Lu¾n văn là m®t tài li¾u tong quan ve bài toán nhieu cna các toán tú

và úng dung vào lý thuyet khung

1.1 Toán tN tuyen tính b% ch¾n trên không gian Banach.

Toán tú tuyen tính T tù không gian Banach H vào không gian Banach

K là liên tuc khi và chí khi nó b% ch¾n, nghĩa là, ton tai hang so c>0 sao

cho

"T x" ≤ c "x" , vói moi x ∈ X (1.1)

Ký hi¾u B(X,Y ) là t¾p hop tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n tù X vào Y Khi X=Y thì B(X,Y ) đưoc ký hi¾u đơn gián là B(X ).

Chuan cna T ∈ B(X, Y ) đưoc đ%nh nghĩa là hang so c nhó nhat

thóa mãn (1.1) Nói m®t cách tương đương,

"T " = sup {"T x" : x ∈ X, "x" ≤ 1}

= sup {"T x" : x ∈ X, "x" = 1}

Goi X’ là không gian tat cá các phiem hàm tuyen tính liên tuc trên X,

X’ đưoc goi là không gian đoi ngau cna không gian X.

3

Ký hi¾u x ∈ X, x ∗ ∈ X r va` (x, x∗ ) := x ∗ (x)

M¾nh đe 1.1.1 Giá sú X,Y,Z là các không gian Banach.

Neu T ∈ B(X, Y ) thì ton tai duy nhat m®t phan tú T ∗ ∈ B(Y r , X r)

Toán tú T ∗ ó m¾nh đe 1.1.1 đưoc goi là toán tú liên hop cna toán tú T.

M¾nh đe 1.1.2 Giá sú T ∈ B(X, Y ) và S ∈ B (Y, Z) Khi đó

i) "T x" ≤ "T " "x" , ∀x ∈ X.

ii) "ST " ≤ "S" "T " iii) "T " = "T ∗ "

Giá sú X là không gian Banach, M là không gian con cna X và N là không gian con cna X’ Ta đ%nh nghĩa

M ⊥ = {x ∗ ∈ X r : (x, x ∗ ) = 0, ∀x ∈ M } ,

⊥ N = {x ∈ X : (x, x ∗ ) = 0, ∀x ∗ ∈ N }

Giá sú T ∈ B(X, Y ).Ta ký hi¾u

N (T ) = {x ∈ X : Tx = 0} , R(T ) = .y ∈ Y : y = Tx vói x ∈ X .

Đ%nh lý 1.1.3 Giá sú X,Y là các không gian Banach, T ∈ B(X, Y ) Khi đó N (T ∗ ) = R(T ) ⊥ và N (T ) = ⊥ R(T ∗ ).

Trong trưòng hop các không gian là Hilbert thì ta có

M¾nh đe 1.1.4 Giá sú H,K,L là các không gian Hilbert.

Neu T ∈ B(H, K)thì ton tai duy nhat m®t phan tú T ∗ ∈ B(K, H) sao cho (T ∗ x, y) = (x, T y) , ∀x ∈ K,∀y ∈ H

Toán tú T ∗ ó m¾nh đe 1.1.4 đưoc goi là toán tú liên hop cna toán tú T.

M¾nh đe 1.1.5 Giá sú T ∈ B(H, K) và S ∈ B(K,L) Khi đó

i) "T x" ≤ "T " "x" , ∀x ∈ X.

ii) "ST " ≤ "S" "T " iii) "T " = "T ∗ " iv) "T ∗ T " = "T 2.

Đ%nh lý 1.1.6 Neu T ∈ B(H) thì N (T ∗ ) = R(T ) ⊥ và N (T ) = R(T

∗)⊥

Đ%nh nghĩa 1.1.7 Cho H là không gian Hilbert và T ∈ B(H) T

đưoc goi là toán tú tn liên hop neu T ∗ = T, là unita neu T ∗ T = TT

1.2 Toán tN giá ngh%ch đáo.

Tù đai so ma tr¾n ta biet rang không phái tat cá các ma tr¾n đeu có

ma tr¾n ngh%ch đáo Ta muon tìm m®t dang “ngh%ch đáo suy r®ng” trong

trưòng hop không ton tai ngh%ch đáo mà van nam giu ít nhat m®t vài đ¾ctính huu ích

Cho ma tr¾n E(mxn), chúng ta xem nó như là m®t ánh xa tuyen

tính tù C n vào C m E không nhat thiet là m®t đơn ánh, nhưng bang cách giói han E trên phan bù trnc giao cna hach N E , chúng ta có m®t ánh xatuyen

đieu ki¾n là cơ só rat han che - không cho phép sn phu thu®c tuyen tínhgiua các thành phan và đôi khi chúng ta th¾m chí yêu cau các thành phantrnc giao tương úng vói m®t tích vô hưóng Đieu này làm cho khó tìmho¾c th¾m chí không the tìm thay cơ só đáp úng đieu ki¾n bo sung vàđây là lí

do mà ngưòi ta mong muon tìm m®t công cu linh hoat hơn.

Khung là công cu như v¾y M®t khung cho m®t không gian véc tơ đưoctrang b% m®t tích vô hưóng cũng cho phép moi phan tú trong không gianđưoc viet như là m®t to hop tuyen tính cna các phan tú trong khung,nhưng tính đ®c l¾p tuyen tính giua các phan tú khung là không can thiet.Trong muc này chúng tôi se trình bày m®t so khái ni¾m và ket quá

cơ bán trong lý thuyet khung can đen cho chương 2 Các ket quá cnamuc này có the tham kháo trong [1], [3]

Trưóc tiên chúng ta xem xét trưòng hop không gian là huu han chieu

1.3.1 Khung trong không gian hÑu han chieu.

Cho V là m®t không gian véc tơ huu han chieu, đưoc trang b% m®t

tích vô hưóng <.,.> Nhó lai rang m®t dãy {e j m trong V là m®t cơ

j=1

Như m®t h¾ quá cna đ%nh nghĩa này, moi f ∈ V có m®t bieu dien duy

nhat theo các thành phan trong cơ só, túc là, ton tai các h¾ so vô hưóngduy nhat {c j m sao cho

m

j=1 m

Neu {e j } j=1 là m®t cơ só trnc chuan, nghĩa là là m®t cơ só vói

= c i (e i , e j ) = c j i=1

Vì

f = (f, e j ) e j (1.6)

j=1

Bây giò ta giói thi¾u ve khung; ta se chúng minh rang m®t khung {f j m

cũng cho ta m®t bieu dien như (1.5)

Đ%nh nghĩa 1.3.1 M®t ho đem đưoc cúa các véc tơ {f j } j∈J trong V đưoc goi là m®t khung cúa V nên ton tai các hang so A,B>0 sao cho

A"f " ≤ |(f, f j )| ≤ B"f

"

j∈J

Các so A,B đưoc goi là các c¾n khung Chúng không là duy nhat C¾n

khung dưói toi ưu là supremum trên tat cá các c¾n khung dưói và c¾nkhung trên toi ưu là infimum trên tat cá các c¾n khung trên Chú ý rangcác c¾n khung toi ưu là các c¾n khung thnc sn

Trong không gian véc tơ huu han chieu se là không tn nhiên(m¾c dù cóthe) khi xét các ho {f j } j∈J có vô han các phan tú Trong phan này chúng

ta chí xem xét các ho huu han {f j m , m ∈ N Vói han che này, bat

vói moi f ∈ V , nghĩa là, đieu ki¾n khung

trên tn đ®ng đưoc thóa mãn Tuy nhiên, ta có the tìm m®t c¾n khung trênm

2

tot hơn "f j "

j=1

Đe cho đieu ki¾n dưói trong (1.7) thóa mãn, can thiet rang

span {f j m = V Đieu ki¾n này là đn; moi dãy huu han là m®t khung

cho bao tuyen tính cna nó

M¾nh đe 1.3.2 Cho {f j } j=1 là m®t dãy trong V Khi đó {f j } j=1 là m®t

khung cho span {f j m

Chúng minh Chúng ta có the giá sú rang không phái tat cá các f j đeubang không Như v¾y ta thay, đieu ki¾n khung trên là thóa mãn vói B

khi và chs khi span {f j k = V.

H¾ quá 1.3.3 chí ra m®t khung có the có so phan tú nhieu hơn so phan

tú can thiet đe làm cơ só Đ¾c bi¾t, neu {f j k là m®t khung cna V và

{g j } j=1 là m®t t¾p huu han tùy ý các véc tơ trong V thì

Cho H là m®t không gian Hilbert tách đưoc, vói tích vô hưóng < ,

>

tuyen tính theo thành phan thú nhat Ho các phan tú {f } i= ∞ ⊆ H đưoc

1

goi là dãy Bessel neu ∃B > 0 : ∞

.x2

2

3

Ví dn 1.3.5 Giá sú {e k } ∞ là m®t cơ só trnc chuan cúa H.

(i) Bang cách l¾p moi phan tú trong dãy {e k } ∞ 2 lan ta thu đưoc {f k } ∞ = {e1, e1, e2, e2, } khi đó

{f k } ∞ là m®t khung vói c¾n A=1,B=2 Th¾t v¾y, ta có

là m®t khung vói m®t c¾n khung dưói là 1 và m®t c¾n

(ii) Giá sú {f k } ∞ := ,e1,

Vì the {f k } là m®t khung ch¾t cúa H vói c¾n khung A=1.

Ví dn 1.3.6 Cho K = L2(T ) trong đó T là đưòng tròn đơn v% vói đ®

đo Lebesgue chuan hóa Khi đó .e ins : n ∈ Z là m®t cơ só trnc chuan tiêu

chuan cho L2(T ) Neu E ⊆ T là t¾p đo đưoc bat kỳ thì .e ins. : n ∈

Z.

là m®t khung Parseval cho L2(E).

Chúng minh Th¾t v¾y, trưóc tiên ta chúng minh bo đe sau:

Bo đe 1.3.7 Cho H là m®t không gian Hilbert và K là m®t không gian

con đóng cúa H Goi P là phép chieu trnc giao tù H lên K và {e i } i∈I là m®t cơ só trnc chuan cúa H Khi đó {P e i } i∈I là m®t khung Parseval cúa K.

Chúng minh Goi f là m®t phan tú thu®c K bat kỳ Khi đó Pf = f.

L2(E) là m®t không gian con đóng cna L2(T ) Goi P là phép chieu trnc

giao tù L2(T ) lên L2(E) khi đó P (eins) =

Tù đ%nh nghĩa ta suy ra neu {f i } ∞ là m®t khung ho¾c chí là dãy Bessel

thì dãy {(f, f i )} ∞ là dãy thu®c l2(N ) Ta có the đ%nh nghĩa toán tú:

trí còn lai Khi đó {e i } ∞ làm thành cơ só trnc chuan cna l2(N ) Cơ só

trnc chuan này thưòng đưoc goi là cơ só trnc chuan chuan tac cna l2(N ).

Goi T : l2(N ) → H là toán tú liên hop cna U Theo đ%nh nghĩa toán

= (f, f j ) , ∀f ∈ H.

Do đó T e j = f j , ∀j ∈ N Do U là toán tú tuyen tính b% ch¾n nên toán

Do "T " = "U " và "U " ≤ √ B nên "T " ≤ √ B.

Toán tú U thưòng đưoc goi là toán tú phân tích, toán tú T thưòng đưoc

goi là toán tú tong hop

Toán tú S đ%nh nghĩa bói S = TU thưòng đưoc goi là toán tú khung

Lay liên hop ta có S ∗ = (T U ) ∗ = U ∗ T ∗ = TU = S V¾y S là toán

1

(f, f i ) (f i , f )

=

.∞ i=

1

|(f, f i )|

Do đó {f i } ∞ là m®t khung khi và chí khi

A (f, f ) ≤ (Sf, f ) ≤ B (f, f ) , ∀f ∈ H.

Đieu đó có nghĩa là AI ≤ S ≤ BI vói A,B>0 Do đó S là toán tú dương

và b% ch¾n dưói bói hang so A>0.

Bo đe 1.3.8 Neu m®t toán tú tuyen tính b% ch¾n S trên H là b% ch¾n dưói

bói m®t hang so dương ch¾t A thì S là khá ngh%ch và S −1 b% ch¾n bói 1 Chúng minh Goi R(S) = {f ∈ H : f = Sg, g ∈ H} Ta se chúng

minh R(S) là m®t không gian con đóng cna H Đieu này có nghĩa là moi dãy Cauchy trong R(S) có giói han trong R(S).

Th¾t v¾y, giá sú {f n } là m®t dãy Cauchy trong R(S) Khi đó f n = Sg n

"g n − g m " ≤ 1 "S(g n − g m )" = 1 "f n − f m " Vì v¾y {g n } là dãy

Cauchy

trong H Do đó nó phái có giói han g Do S là liên tuc nên Sg =

lim

n→∞

Sg n =lim

n→∞ f n V¾y R(S) là không gian con đóng cna H.

Bây giò ta se đi chúng minh phan bù trnc giao cna R(S) là {0}.

Th¾t v¾y, neu (f, Sg) = 0, ∀g ∈ H, thì đ¾c bi¾t (f, Sf ) = 0.

2

Nhưng (f, Sf ) ≥

A"f "

Vì v¾y "f " = 0 và do đó f = 0 Ket hop vói

R(S) là không gian con đóng cna H nên R(S) = H và vì v¾y S là toàn2

ánh Do (f, Sf ) ≥

A"f "

nên S là đơn ánh V¾y S là khá ngh%ch.

Vói bat kỳ f ∈ H ta có the viet f = Sg hay tương đương S −1 f = g.

f,

S −1 f i

∞

i=1

Tù đó ta suy ra toán tú tong hop T là toàn ánh.

Đ%nh nghĩa 1.3.9 M®t cơ só Riesz là m®t ho có dang {f i } ∞ = {T e i } ∞

ó đây {e i } ∞ là m®t cơ só trnc chuan cúa H và T ∈ £ (H) Trong đó

£ (H) ký hi¾u là t¾p tat cá các toán tú tuyen tính liên tnc khá ngh%ch tù

1

c i T e i =

T

∞ i=

Do {e i } là cơ só trnc chuan nên c i = 0, ∀i.

c i f i = 0 vói {c i } ∞ ∈ l2(N ) thì

Goi {e i } là cơ só trnc chuan chuan tac cna l2(N ) Do {f i } là m®t

khung

nên toán tú tong hop T là toàn ánh.

Đieu ki¾n c i f i = 0 kéo theo c i = 0, ∀i nói lên T là đơn ánh V¾y

T là song ánh thóa mãn f i = T e i , ∀i Do đó {f i } là cơ só Riesz.

M¾nh đe đưoc chúng minh

Trong nhung úng dung cna các khung, đieu quan trong là phái biet sn

khác nhau giua m®t khung và m®t cơ só Riesz M®t phương pháp tiep c¾n

là đưa ra m®t cơ só gan Riesz như là m®t khung chúa m®t cơ só Riesz thêmvào huu han phan tú Hưóng tiep c¾n thú hai là đưa ra m®t khung Rieszđưoc đ%nh nghĩa như là m®t khung, ó đó moi ho con đeu là m®t khung cna

bao tuyen tính đóng cna nó, vói các c¾n A,B chung cho tat cá các khung

này Khung Riesz chung nhieu tính chat vói cơ só Riesz và chúng luôn luônchúa m®t cơ só Riesz như là m®t ho con

Các ket quá cna chương này có the tham kháo trong các tài li¾u [1], [2],[4], [7], [8].

2.1 Nhieu cúa các toán tN.

Trong muc này X và Y là các không gian Banach T¾p nhung toán tú khá ngh%ch, tuyen tính, b% ch¾n tù X vào Y đưoc ký hi¾u là £(X,Y) ho¾c

£(X) neu X = Y.

Chúng ta bat đau vói m®t đieu ki¾n đe m®t toán tú giua nhung khônggian Banach là khá ngh%ch Hau het vi¾c chúng minh liên quan đen đieuki¾n kéo theo toán tú là toàn ánh Hilding mói chí xét trong trưòng hoptoán tú trên không gian Hilbert nhưng chúng minh cna ông đưoc sú dungtrong trưòng hop tong quát hơn mà ta đang tháo lu¾n ó đây

17

Bo đe 2.1.1 Cho U : X → X là m®t toán tú tuyen tính và giá sú rang ton

tai các hang so λ1, λ2 ∈ [0; 1) sao cho "Ux − x" ≤ λ1 "x" + λ2

x

≤ 1−λ1 "x" , ∀x ∈ X Chúng minh Đ¾t λ = max {λ1, λ2} và ε= 1−λ Chúng ta chúng

minh Bo

đe 2.1.1 theo hai bưóc

Bưóc 1: Vói bat kỳ α ≤ 0, "αx − Ux" ≥ ε "x" vói moi x ∈

Đ¾t E = .α ≤ 0 : "αx ∗ − U ∗ x ∗ " ≥ ε "x ∗ " , ∀x ∗ ∈ X ∗.

1+

λ

2

−

1

nên ε "x ∗ " ≤ "(αI ∗ − U ∗ ) x ∗ " và theo bat đang thúc tam giác

Đieu trên chí ra rang vói moi α ∈ E ta có E ∩ .α, α + ε ⊂ E.

Do đó 0 ∈ E và U* là m®t đơn ánh và do đó suy ra U là toàn ánh

Ta ket thúc bang vi¾c chí ra ưóc lưong chuan Cho x ∈ X.

"U x" ≤ "Ux − x" + "x" ≤ (1 + λ1) "x" + λ2 "U x"

Do đó "Ux" ≥ 1−λ1 "x" Đieu này kéo theo U b% ch¾n

Tương tn ta có ưóc lưong sau:

"Ux" ≥ "x" − "Ux − x" ≥ (1 − λ1 ) "x" − λ2 "U x"

%ch V¾y U ∈£(X) Bang vi¾c thay x bói U −1 x trong nhung bat đang

Cho {e i } ∞ là m®t cơ só trnc chuan cna m®t không gian Hilbert H Ta

đ%nh nghĩa toán tú U : H → H cho bói Ue i := e i +

1

< f, e i >

Vì U e1 − e1 = e2 do đó "I-U " = 1.

Do đó ket quá co đien không chúng minh đưoc U là khá ngh%ch

Nhưng chúng ta có the chúng minh khi sú dung bo đe 2.1.1

Trưóc het chú ý rang "U " ≤ "U − I" + "I" = 2

4

1

∞

Chúng minh Đ%nh nghĩa ánh xa tuyen tính L : Y → Y, Ly := V U −1 y

Sú dung (2.1) vói x = U −1 y chúng ta nh¾n đưoc

"y − Ly" ≤ λ1 "y" + λ2 "Ly" , ∀y ∈ Y