Toán tử năng lượng trong biểu diễn số hạt

Trong mỗi giai đoạn phát triển của vật lý học, đại lượng năng lượng mô tả chuyển động của hạt được nhìn nhận ở những khía cạnh khác nhau.Càng về sau này thì năng lượng mô tả chuyển động

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS.TSKH Đào Vọng Đức, người

đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận này

Đồng thời, em cũng xin bày tỏ lời cảm ơn của mình các thầy giáo, côgiáo trong khoa Vật lý-Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 cùng các bạn sinhviên đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu, hoànthành khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2012.

Sinh viên Nguyễn Thị Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận: “Toán

tử năng lượng trong biểu diễn số hạt” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

NỘI DUNG

Chương 1 Dao động tử điều hòa

1.1 Phương trình Newton cho chuyển động của hạt trong cơ học cổ điển

1.2 Phương trình Schrodinger cho chuyển động của hạt trong cơ học lượng tử

1.2.1 Phương trình Schrodinger

1.2.2 Hàm sóng

1.2.3 Năng lượng

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Chương 2 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa

2.1 Đồ thị biểu diễn năng lượng của hạt theo lý thuyết cổ điển

2.2 Đồ thị biểu diễn năng lượng của hạt theo lý thuyết lượng tử

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Chương 3 Toán tử năng lượng trong biểu diễn số hạt

3.1 Các toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới

3.2 Các vector riêng và trị riêng của toán tử Hamilton

3.3 Biểu diễn số hạt của toán tử năng lượng

3.4 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3

KẾT LUẬN

TÀI LIÊU THAM KHẢO

1 Lý do chọn đề tài

MỞ ĐẦU

Vật lý học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứunhững qui luật từ đơn giản đến tổng quát của các hiện tượng tự nhiên Vật lýhọc nghiên cứu tính chất, cấu trúc của vật chất và những định luật của sự vậnđộng của vật chất

Cơ học là một bộ phận của vật lý học Nó nghiên cứu sự dịch chuyểncủa các vật, sự biến dạng của chúng và những tương tác đang diễn ra giữa cácvật đang dịch chuyển hoặc biến dạng Một trong những đại lượng dùng để mô

tả trạng thái của vật, mô tả chuyển động của hệ vật chính là năng lượng Nănglượng ứng với hình thức chuyển động cơ học gọi là cơ năng Định luật bảotoàn năng lượng là một định luật cơ bản của thiên nhiên

Trong mỗi giai đoạn phát triển của vật lý học, đại lượng năng lượng

mô tả chuyển động của hạt được nhìn nhận ở những khía cạnh khác nhau.Càng về sau này thì năng lượng mô tả chuyển động của hạt càng được nhìnnhận hoàn chỉnh và đúng với thực nghiệm hơn Trong cơ học cổ điển, nó

là đại lượng động lực năng lượng Đến cơ học lượng tử, các đại lượngđộng lực được thay thế bằng các toán tử và năng lượng mô tả chuyểnđộng của hạt tương ứng bằng toán tử năng lượng

Khi nghiên cứu toán tử năng lượng trong biểu diễn số hạt, ta có thể tìmđược phổ năng lượng của các hệ dao động bằng phương pháp đại số Chính

vì vậy nên tôi đã chọn đề tài “Toán tử năng lượng trong biểu diễn số hạt”.

2 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu toán tử năng lượng trong biểu diễn số hạt

3 Mục đích nghiên cứu

Viết được toán tử năng lượng của các hệ dao động qua các toán tử sinhhủy dao động.

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra được dạng của toán tử năng lượng của các hệ dao động trongbiểu diễn số hạt

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp toán cho vật lý, phương pháp toán tử, giải phương trìnhhàm riêng và trị riêng của toán tử

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Xét một hạt có khối lượng m chuyển động một chiều theo trục Ox dưới tác dụng của lực đàn hồi F =

1.1 Phương trình Newton cho chuyển động của hạt trong cơ học cổ điển

Theo cơ học cổ điển, hạt sẽ dao động điều hòa xung quanh vị trí cânbằng

Nghiệm của phương trình có dạng:

+ φ ).Động năng của hạt là:

= 1 ma2ω2

cos2 ( ωt + φ ).2

Năng lƣợng của hạt có thể có những giá trị liên tục tỷ lệ thuận với a

Nhƣ vậy, hạt thực hiện dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng

Vˆ ( x) = V ( xˆ ) = 1 Kxˆ2 = 1 Kx2 .

Toán tử động năng của hạt có dạng:

y ra

 ( ξ )

= 0

và hữu hạn ở lân cận điểm

 ( ξ )

trong vế trái của phương

ψ

′

−

ψ ( )Nghiệm của phương trình(1.7) là ψ ( ξ )  exp{±ξ 2

2

}

(1.7)

Những nghiệm chấpnhận được về mặt vật lí làhàm sóng ψ ( ξ ) phải

ξ = ∞, do đó ta tìmnghiệm chính xác củaphương trình dưới dạng

ψ

 ( ξ )

= v( ξ )exp

{−ξ

2

2}

Thay (1.8) vào

(1.7) tađược:

v( ξ )

có dạng

v

′( ξ

v′(

−10

T

a tìmnghiệmcủ

a (1.9) dướidạn

g chuỗilũ

y thừa:

(1.9)

Theo tính chất nghiệm của phương trình Schrodinger

trong bài toán

phương trình (1.8) phải là hàm chẵn (hoặc lẻ) của ξ Phù hợp vớiđiều ấy, chuỗi lũy thừa (1.10) phải là chuỗi lũy thừa bậc chẵn (hoặc lẻ) của ξ ,b

ởivìhàm

exp

Dođó,từ(1

12)suyra,nu

a

1

=

0hoặc

a

0

=

0

Trư

ớc hết

k

xét chuỗi chẵn (1.12) Muốn thế trong (1.12) thay thế

k → 2(k −1)ta đƣợc:

a = 4 k − (3 + ε )

a 2k

2k

(2k

− 1)

2(k − 1)

Tương tựxét chuỗi lẻ (1.12) Muốn thế

( )exp

ψ

 ( ξ )

xác định theo công thức (1.8) hữu hạn khi

ξ →∞bắtbuộc chuỗi lũy thừa

v(

ξ

)

phải trở thành đa thức, nghĩa là chuỗi

1

k

1



thì phươngtrình (1.9) trởthành:

v

′( ξ ) −

2nv( ξ

n′

( ξ )

→

(

Nghicphơngtrình(1.6)cókểđế(1.8)và(1.1

4)là:(1.14)

N n

đượ

c tìm

từ điềukiệnchu

ẩn hóa hàm

ψ

n

( x):

có dạng tường minh

−

1)

∞

∞

Đặt

)e

H

n

( ξ

)e

−

ξd

ξ,

=(−1)n ∫ H (dξ ) eξ− dξ

n n

−∞

Đặt

phân I ,

ta sử dụng hệthức của đa thức Hermite:

dH n ( ξ ) ( )

Thtv

ta có:

d d

=

2(

n

−

1)

−

1)

a đƣợc:

∞

I

e

dξ,

−

∞

SửdụngtíchphânPoisson

n

−

1)!

!

∫ e

=

(

−

1)

n

(

−

1)

n 2

1 4

ψ1exp

Một số đa thức Hermite đầu tiên:

H3 x

Các hàm sóng chuẩn hóatương ứng là

ψ 0

( x) =

β e− β 2 x2 2 ,π

− 1 e ,

1.2.3 Năng

lượn g

3 π

Do chu

ỗi lũy

thừa

v( ξ )

3

Thật vậy, gọi các độ bất định của

năng lƣợng, xung lƣợng và tọa độ lần

Có thể quy ƣớc chọn gốc tính năng lƣợng trùng với năng lƣợng không

E0 Khi đó dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lƣợng là bội của nănglƣợng 

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1, ta đã viết được phương trình Newton cho chuyểnđộng của hạt trong cơ học cổ điển, phương trình Schrodinger cho chuyểnđộng của hạt trong cơ học lượng tử, tìm được hàm sóng và năng lượng củadao động tử điều hòa Qua đó ta thấy năng lượng của dao động tử điều hòatrong cơ học lượng tử chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn, giá trị nhỏ nhất

CHƯƠNG 2 PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

2.1 Đồ thị biểu diễn năng lượng của hạt theo lý thuyết cổ điển

Theo lý thuyết cổ điển, hạt thực hiện dao động điều hòa xung quanh vịtrí cân bằng của nó:

x = asin( ωt + φ ).Vận tốc của hạt như một hàm của tọa độ là:

Hình 2.1: a) Đường parabol biểu diễn thế năng của hạt tính theo đơn vị

ω , còn các đường nằm ngang là năng lượng toàn

Để hiểu rõ hơn về sự khác biệt giữa dao động tử điều hòa và dao động

cổ điển Trên hình 2.1a ta vẽ đại lƣợng V ω (tức là thế năng tính theo

Xét một mức năng lƣợng nào đó, giả sử mức E2 với n = 2 Theo

cơhọc cổ điển, hạt có năng lƣợng E

2 chỉ có thể chuyển động trong phạm vi AB

mà thôi Thật vậy, nếu hạt nằm ngoài đoạn AB thì thế năng V của hạt sẽ lớn hơn năng lƣợng toàn phần E = E2 , do đó động năng của hạt T = E

hơn không, điều này là vô lý

2.2 Đồ thị biểu diễn năng lượng của hạt theo lý thuyết lượng tử

Theo lý thuyết lƣợng tử, xác suất

dW ( LT ) (

x)

mà hạt vi mô với năng

lƣợng E n có thể đƣợc tìm thấy trong khoảng từ x đến x

n

n

suất tìm thấy hạt vi mô ở một mức năng lƣợng nằm trong một khoảng nào đóchứ không thể nói về giá trị xác định của năng lƣợng tại một thời điểm nhƣtrong cơ học cổ điển.

Khác với cơ học cổ điển, trong cơ học lƣợng tử vẫn có xác suất tìm

thấy hạt vi mô với năng lƣợng E =

E2

ở ngoài vùng AB nhƣ thấy rõ trên hình

2.1b Điều này không hề mâu thuẫn gì với hệ thức cổ điển E = V + T

, vì trong

thế giới vi mô, động năng và thế năng không thể đo đƣợc chính xác một cách

đồng thời Từ hình 2.1b còn thấy rằng xác suất W ( LT

C và D Một cách tổng quát, do tính chất của các hàm sóng của dao động tửđiều hòa, số điểm mà tại đó không thể tìm thấy hạt với năng lƣợng

lƣợng E n chính bằng n nên phổ năng lƣợng là gián đoạn.

CHƯƠNG 3 TOÁN TỬ NĂNG LƯỢNG TRONG BIỂU DIỄN SỐ HẠT

3.1 Các toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm được bằngphương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức củaHamiltonian

(3.2)

2)

ta có:

(3.3)

Các

toán

tử

a

ˆ

và aˆ+ xuất hiện ở trên có thể biểu diễn ngƣợc lại qua

p

ˆ

và

q

ˆ

nhƣ

sau:

12

pˆ qˆ

−

qˆ pˆ

đpcm)

ω2

Việc nghiên cứu phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa quy về bài toán tìm các vectơ riêng và trị riêng của Hamiltonian (3.5), trong

đó các toánt

ử

a

ˆ

và aˆ+ thỏa mãn hệ thức giao hoán (3.4) Để làm điều đó ta định nghĩa

một toán

tử mớinhƣ sau:

Và có hệ thức giao hoán giữa

toán tử này với các toán tử aˆ và

aˆ+ :



N

ˆ,



N

ˆ,









tử Nˆ

là các số không âm

Thật vậy, xét vectortrạng thái thu đƣợcbằng cách tác dụng toán tử

aˆ lên n

Đó là vector trạng thái

aˆ n Tác

dụng lên vector trạng thái này

có nghĩa là

aˆ n cũng

là một vector riêngcủa

Nˆ

nhƣng

ứng với trị riêng

n − 1

Tương tự

như vậy, dễ dàng chứng minh

cũng là các vector riêng

của Nˆ

ứng với các trị

của Nˆ

nhưng

cũng

là

các

ve

ctorriêngcủa

N

ˆ

ứn

g vớicá

c trị riêng

Nế

u

n

làmộvecorrêngc

ủtt

.,

aˆ p n

cũng là một vector riêng của toán tử

Nˆ

ứng với trị riêng

Nˆ

ứng với trị riêng

n

+

p

nếu chúng khác không

Kết hợp hai tính chất trên ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của

Nˆ

thìchuỗicácsốkhôngâm

n

−

1,

n

−

2,

n

−

3, cũng

làcáctrịriêngcủa

N

ˆ.Vì

chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ

vector trạng

ứng với trị riêng nhỏ nhất

nếu aˆ n≠ 0min

thì đó là vector trạng thái ứng với trị riêng

nmin −1 < nmin , trái với

giả thiết ta suy ra:

nmi

n

là trị riêng nhỏ nhất Từ đẳng thức (3.11)

Nˆ n

min min min

So sánh hai phương trình trên ta có:

Trị riêng nhỏ nhất của toán

Khi đó, vector trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất

của Nˆ là 0 Vector trạng thái này thỏa mãn điều kiện:

được ký hiệu

aˆ+

n

0

Tvveri

n

c

ứng

vớitrịriêng

n

.Vì

của Hˆ

E0

ứng với trị riêng

= 1 ω,2

1

là vectorriêngcủa

g của

có năng lƣợng thấp

nhất là

0 .Trạng thái tiếp theo 1

với năng lƣợng

E0

+

ω

có thể đƣợc xem là kết quả

của việc thêm một

lƣợng tử năng lƣợng

ω

theo 2 với năng lƣợng:

vào trạng thái 0 Trạng thái tiếp

cho một trạng thái tỷ lệ với n

−

1

và do đó được đoán nhận là toán tử hủy

lượng tử nănglượng Toán tử

aˆ+ khi tác dụng lên n

cho một trạng thái tỷ lệv

ới

n

+

1

và do đó được đoán nhận là toán tửsinh lượng tử năng lượng Nếu

ta tưởng tượng lượng tử năng lượng là một hạt thì

Nˆ

đó trạng

thái n

với năng

(3.12)

12)vàsdngđiềukintrcgiaochunhóavavi

t, tacó:

Coi

α

n

Do

Và

tacó:

aˆ, aˆ+  = aˆaˆ+

− aˆ+ aˆ

= 1⇒ aˆ+ aˆ

= aˆaˆ+ − 1

2 2

là thực,

ta suy ra

n n

βn =

Tiếp theo, xét trạng thái

tử điều hòa

Năn

g lƣợng của dao động tử điều hòa ởtrạng thái

n đƣợc

xác định theo biểu thức:

2

có năng lƣợng thấp nhất là

E0 =

2

ω ≠ 0

(khác với lý thuyết cổ điển) Phổ

năng lƣợng của dao động tử điều hòa là gián đoạn

Trong cơ học lƣợng tử, trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa

có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lƣợng bằng ω

Kháiniệm “hạt” đƣa vào ở đây chỉ để cho tiện, thực chất đó chỉ là các “giả hạt”.Trong thực tế ta không có các hạt thật mà chỉ có các trạng thái dao động khácnhau khi hạt dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng đƣợc mô tả giống nhƣmột hệ hạt

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3

Trong chương 3, ta đã xác định được các vector riêng và trị riêng củatoán tử Hamilton qua các toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới Viếtđược toán tử năng lượng của dao động tử điều hòa qua các toán tử sinh hủydao động trong biểu diễn số hạt, tính phổ năng lượng của dao động tử điềuhòa bằng phương pháp giải phương trình hàm riêng và trị riêng cho nănglượng của dao động tử điều hòa ở mức thấp nhất theo quan điểm lượng tử

- Xác định được các vector riêng và trị riêng của toán tử Hamilton qua các toán

tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới

- Viết được toán tử năng lượng của dao động tử điều hòa qua các toán tử sinhhủy dao động trong biểu diễn số hạt

Qua việc nghiên cứu đề tài, chúng tôi thấy rằng: Với việc nghiên cứutoán tử năng lượng trong biểu diễn số hạt đơn giản hơn khi nghiên cứu toán tửnăng lượng trong biểu diễn tọa độ Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa

có thể tìm được bằng phương pháp giải phương trình hàm riêng và trị riêngcho năng lượng của dao động tử điều hòa ở mức thấp nhất theo quan điểmlượng tử

Tuy nhiên, đây cũng là lần đầu tiên tôi làm khóa luận tốt nghiệp và dokiến thức cũng như thời gian nghiên cứu còn hạn hẹp, khoá luận này khótránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp quý báu củaquý thầy cô và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lƣợng tử, NXB Đại học Quốc gia HàNội

[2] Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lƣợng tử, NXB Đại học sƣ phạm

[3] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), NXB Đại học Quốc gia HàNội

[4] Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở vật lý hạt cơ bản, NXB Thống Kê, HàNội

[5] Phạm Quý Tƣ (1986), Cơ học lƣợng tử, NXB Giáo dục