Chứng minh rằng A là trung điểm của KQ.. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E.. Bài 5: 2 điểm Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào, biết rằng nếu cộng
Trang 1UBND HUYỆN PHÚC THỌ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2016 - 2017
Môn: Toán
Ngày thi: 20 - 4 - 2017 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (4 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức sau:
A= 3 3 3 3 .1 3 5 7 49
4.9 9.14 14.19 44.49 89
100
1 ) (
1 4
1 ).(
1 3
1 ).(
1 2
1
Hãy so sánh A với 21
Bài 2: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì ta có:
(p - 1)(p + 1)(q - 1)(q + 1) luônchia hết cho 576
b) Cho tỉ lệ thức a c
b d Chứng minh rằng: 5 22 6 2 5 22 6 2
Bài 3: (4 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74
b) Tìm x, biết: x3272 + x3263+x3254+x3245+x5349 = 0
Bài 4: (6 điểm)
Cho 3 điểm B, H, C thẳng hàng, biết BC = 13 cm, BH = 4cm, CH = 9cm Từ
H kẻ tia Hx vuông góc với BC, trên tia Hx lấy A sao cho HA = 6cm
a) Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
b) Lấy K đối xứng với H qua AB, Q đối xứng với H qua AC Chứng minh rằng A là trung điểm của KQ
c) Trên cạnh HC lấy D sao cho HD = HA Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E Tính EBC + ECB
Bài 5: (2 điểm)
Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào, biết rằng nếu cộng lần lượt độ dài hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỉ lệ theo 3:4:5
Hết
-(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:
ĐỀ THI CHÍNH
Trang 2Số báo danh:
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 7 (2016 – 2017)
Bài 1
(4
điểm)
a) A = 3 3 3 3 .1 3 5 7 49
4.9 9.14 14.19 44.49 89
3 1 1 2 (1 3 5 7 49)
3 45 2 625
5 4.49 89
4.49 89 28
2,0(điểm)
b) A là tích của 99 số âm, do đó:
100
1 1
16
1 1 9
1 1 4
1 1
A
2 2
2
101 99
4
5 3 3
4 2 2
3 1
A
100 99
4 3 2
101 100
5 4 3 100 99
4 3 2
99 98
4 3 2 1
100
1
2
1
2,0(điểm)
Bài 2
(4
điểm)
a) - Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p là số nguyên tố lẻ và không chia
hết cho 3, lại có (p - 1).p.(p + 1) 3 do đó (p - 1)(p + 1) 3
Mặt khác với p là số nguyên tố lẻ thì p - 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp
nên (p - 1)(p + 1) 8 Mà (3,8) = 1 nên (p - 1)(p + 1) 3.8 = 24 (1)
- Chứng minh tương tự với số nguyên tố q Ta cũng có (q-1)(q+1) 24
(2)
- Vậy từ (1) và (2) suy ra (p-1)(p+1)(q-1)(q+1) 24.24 = 576
2,0(điểm)
b) Đặt a c
b d = k a = bk; c = dk Xét VT =
8 11
6 5
8 11
6 5
2
2 2
2 2
k
k k b
a
ab a
(1)
VP =
8 11
6 5
8 11
6 5
2
2 2
2 2
k
k k d
c
cd c
(2) Vậy từ (1) và (2) suy ra VT = VP ta được điều phải C/M
2,0(điểm)
Bài 3
(4
điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74
từ 6x2 + 5y2 = 74 6x2 74 2 37
3
x
Do x nguyên nên x2 0;1;4;9
Lại có 6x2 + 5y2 =74 x2 + 1 + 5x2 + 5y2 = 75
x2 + 1 chia hết cho 5 nên x2 = 4 hoặc 9
2,0(điểm)
Trang 3E F
D
Q
N M
B
A K
- Nếu x2 = 4 thì y2 =10 (loại)
- Nếu x2 = 9 thì y2 = 4 x 3;y 2
Vậy có 4 cặp số nguyên (x, y) cần tìm là( 3;2); ( -3;2) (-3;-2); (3;-2)
b) x3272 +x3263+ x3254+x3245+x5349 = 0
0 4 5
349 1
324
5 1 325
4 1 326
3 1 327
2
5
1 324
1 325
1 326
1 327
1 )(
329
329 0
2,0(điểm)
Bài 4
(6
điểm)
a) Áp dụng định lí Pitago vào cac tam giác vuông ABH và ACH tính được
AB2 = 52, AC2 =117
∆ABC có AB2 + AC2 = 169 = BC2
Nên ∆ABC vuông tại A
2,0(điểm)
b) C/M được AH = AK, AQ = AH AK = AQ
C/M được KAH + QAH = 1800 nên A, K, Q thẳng hàng
Vậy A là trung điểm của KQ
2,0(điểm)
c) Từ A kẻ đường thẳng // BC, đường thẳng này cắt đường thẳng kẻ từ D
vuông góc với BC tại F
C/M được AF = HD mà HD = AH nên AF = AH
BAH = EAF ( cùng phụ góc HAC)
Chỉ ra được BAE vuông cân ở A để suy ra AEB = 450 mà góc AEB là
góc ngoài của BEC nên
AEB = EBC + ECB = 450
2,0(điểm)
Bài 5
(2
điểm)
Gọi độ dài các cạnh của tam giác ABC là a, b, c; các đường cao tương ứng
với các cạnh đó lần lượt là ha, hb, hc
Ta có: (ha + hb) : ( hb + hc ) : ( ha + hc ) = 3 : 4 : 5
Hay: 1
3(ha + hb) = 1
4( hb + hc ) =1
5( ha + hc ) = k ,( với k 0)
Suy ra: (ha + hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( ha + hc ) = 5k
Cộng các biểu thức trên, ta có: ha + hb + hc = 6k
Từ đó suy ra: ha = 2k ; hb =k ; hc = 3k
Mặt khác, gọi S là diện tích tam giác ABC, thì ta có:
2S = a.ha = b.hb =c.hc a.2k = b.k = c.3k
3
a
=
6
b
=
2
c
2,0(điểm)
Chú ý:Điểm được lấy đến 0,25 Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.