Chuyên đề năm 2013 nguyễn bá đang

Chuyên đề ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC Nguyễn Bá Đang Tư vấn Chương trình phát triển giáo dục trung học-Bộ GD-ĐT I- ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Đặt vấn đề Để chứng minh hai hay nhiề

Chuyên đề ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC

Nguyễn Bá Đang (Tư vấn Chương trình phát triển giáo dục trung học-Bộ GD-ĐT)

I- ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Đặt vấn đề

Để chứng minh hai hay nhiều đường thẳng song song ta thường dùng các cách sau:

1- Dùng định nghĩa

Nhắc lại các tiên đề Euclid

- Qua hai điểm chỉ vẽ được một đường thẳng;

- Một đường thẳng có thể kéo dài mãi mãi;

- Vẽ đường tròn biết tâm và bán kính;

- Mọi góc vuông đều bằng nhau;

- Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng tạo nên những góc cùng phía có tổng nhỏ hơn 1800, thì hai đường này kéo dài sẽ cắt nhau

2- Sử dụng các dấu hiệu về hai đường thẳng song song;

3- Tính chất đường trung bình trong tam giác;

4- Định lí Thalets

Định lí Thalets tổng quát

Nêu cả phần thuận và đảo

Các ví dụ minh họa

Bài toán Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy điểm E, đường

thẳng BE cắt AC tại M và đường thẳng CE cắt AB tại N Chứng minh MN//BC

Giải Qua E dựng đường thẳng PQ//BC  EPEQ

NB  BC  BC MC

 MN//BC

Nhận xét: Kết quả này như một định lí để sử dụng chứng

minh cho các bài toán khác

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC không cân, đường trung tuyến

AD, phân giác AE Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt AE, AD lần lượt tại F và G Chứng minh rằng DF luôn đi qua trung điểm của GE

Giải 1 (Lời giải trong МATMATИKA BШKOЛE)

Q P

E D

A

B '

C'

A'

c b a

C B A

GE//AC  AG CE

GD  ED

CF  AEAKC cân  FCFK

DF//AB  MAMC

2

BK

DF   AG AK 2AK

GD  DF  BK



GD  DE 

Vậy GE song song BC  DF luôn đi qua trung điểm của GE

Cách 2

AE là phân giác góc A , CK AE

 ACK là tam giác cân  FCFK

Theo giả thiết DBDC DM song

song với AB  MAMC

Sử dụng Bài toán trên

 GE/ /AC

Và DF đi qua trung điểm EG

Ví dụ 2 Cho tam giác vuông ABC ( A 900), đường cao AH cắt đường phân giác

BD và đường phân giác CE tại M và N Gọi I, J là trung điểm của MD và NE Chứng minh rằng IJ song song với cạnh BC

Giải 2 Kéo dài AI, AJ cắt cạnh BC tại

Q và P

Xét tam giác AEN:

2

AEC AEN B C

AH BC, A 900  HACB

2

ANE NAEACN B C

 tam giác AEN cân, JE JN  AJ EN

 tam giác CAN: ACJ JCP, CJ AP  CACP JAJP

Hoàn toàn tương tự IAIQ  IJ là đường trung bình của tam giác APQ

 IJ song song với BC

N M

J E

D

B

A

I

F G

M K

E

B

A

Ví dụ 3 Cho tam giác cân ABC (  0

ABAC A ) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DBCA, đường trung trực BD cắt đường thẳng qua A và song song với

BC tại E Chứng minh rằng tứ giác EACB là hình bình hành

Giải 3 Gọi J là trung điểm CD,

I là trung điểm BD

 IJ song song với BC

 IJ song song với AE

Đường thẳng EI cắt cạnh AC tại G, theo giả

thiết DBCA

 tam giác BCD cân BDBC

 tam giác GBD cân GBGD

 BGDA

 tam giác ABC và tam giác GBD bằng nhau

(g.c.g)

 BABG  tam giác ABG cân, mặt khác

BJ CD  JAJG  IEIG

 tứ giác EDGB là hình bình hành  DG song song với BE

 AC song song với BE  tứ giác EACB là hình bình hành

Ví dụ 4: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB,

BC, CD, EA và I, J là trung điểm MP, NQ

Chứng minh rằng IJ song song với ED và

4

ED

IJ 

Giải 4 Gọi K là trung điểm CE  KQ là

đường trung bình của tam giác EAC

 KQ song song AC và 1

2

QK  AC;

M, N là trung điểm AB và BC

 MN song song AC, 1

2

MN  AC

 MN song song QK và MN QK

 MNKQ là hình bình hành

 M, J, K thẳng hàng và MJ JK

Xét MKP có I, J là trung điểm MP và MK

C B

A

J D

G I

E

K

N M

C B

A

J

D

P Q

I

E

 IJ song song với PK và 1

2

IJ  PK (1)

Xét CDE, PK là đường trung bình  PK song với DE và 1

2

PK  DE (2)

Từ (1) và (2)  IJ song song với ED và

4

ED

IJ 

Ví dụ 5: Cho đa giác ABCDEFGH có tất cả các góc bằng nhau, và độ dài các

cạnh là số hữu tỉ Chứng minh rằng các cạnh đối diện của đa giác song song và

bằng nhau

Giải 5 Theo giả thiết các góc của đa giác bằng nhau

 số đo của mỗi góc

0

0

(8 2)180

135 8



Kéo dài cạnh AH và BC cắt nhau tại P

180 135 45

PABPBA    APB 900

 tam giác PAB là tam giác cân;

Tương tự các tam giác BJC, CND, DRE, EQF, FSG,

GMH, HIA là các tam giác vuông cân

 MPNQ và IJRS là hình chữ nhật

 các cạnh đối diện song song với nhau

Tam giác AIH là tam giác vuông cân theo định lí Pitago

IA IH HA 

2

AH

IA  ;

Tương tự

2

BC

BJ  ,

2

DE

RE  ,

2

FG

SF  ;

IJ IAABBJ  AB ,

SRSFFEER EF ;

IJRS là hình chữ nhật  IJ SR

AB

EF

2 AH BCFGDE EFAB, các cạnh độ dài là các số hữu tỉ

AHBCFGDE EF, ABlà các số hữu tỉ  1 ( )

2 AHBCFGDE là

số vô tỉ, nhưng vế trái là số vô tỉ

 AHBCFGDE0, EFAB  0 EF AB

Tương tự có BCFG CD, GH DE, HA

R S

J I

Q

P

N M

G H

D C B A

Ví dụ 6 Trong một ngũ giác, mỗi một đường chéo đều cắt ngũ giác ra được một

tam giác có diện tích bằng 1 đơn vị Chứng minh rằng mỗi đường chéo song song với một cạnh, và tính diện tích ngũ giác đó

Giải 6: Đường chéo BD cắt ngũ giác thành tứ giác ABDE

và BCD, đường chéo CE cắt ngũ giác thành tứ giác

ABCE và DEC  S BDC S CDE  1

 khoảng cách từ E và B đến CD bằng nhau

 BE // CD Tương tự ta chứng minh được mỗi

đường chéo song song với một cạnh

AE// BD, CE//AB  ABIE là hình bình hành

 BIC

IDC

S BI

S  DI và

BIE DIE

S BI

S DI  1

BIC BIE BIC DIE

S  S

mặt khác S BCI S EID

1

BIC

BIC BIC

S

S  S

2

1 0

BIC BIC

2

BIC

S  

2

ABCDE ABE BIE DCE BIC BIC

S S S S S  S  

Ví dụ 7 Cho ba đường thẳng a, b, c song song với nhau Dựng tam giác đều đi

qua một điểm nằm trên một ba đường thẳng trên

Giải 7 Bài toán này đã có từ lâu, cách giải dùng phép biến hình

Giả sử ABC là tam giác đều nằm trên

ba đường thẳng song song a, b, c

Kẻ CH b, dựng tam giác đều HCE

30

bHEcCE  E cách đều b

và c

 E nằm trên đường thẳng song song

với a

Đường thằng này cắt BC tại F 

FBFC

 AF BC FAC 300 FACCEF  tứ giác AFCE nội tiếp  AEEC Cách dựng: - Dựng tam giác đều HCE

- Dựng đường thẳng vuông góc với CE cắt đường thẳng a tại A  CA là cạnh tam giác đều

- Dựng đường trung trực AC cắt đường thẳng b giao điểm này là đỉnh B

Nhận xét: Bài toán nay dựng hình đòi hỏi tổng hợp nhiều kiến thức cả định nghĩa

và tính chất của đường thẳng song song

c

b a

F

M I H

E

C

B

A

I E

B A

Ví dụ 8 Cho đường tròn tâm O và điểm A, B, C là hai điểm thay đổi trên đường

tròn Gọi M là hình chiếu của B trên AC và N là hình chiếu của C trên AB Chứng

minh rằng MN luôn song song với đường thẳng cố định

Giải 8 BM AC CN, AB

 tứ giác BNMC nội tiếp  ANM ACB

A là điểm cố định  tieeps tuyến với đường tròn

(O) không đổi

Ax là tiếp tuyến  xABACB

 xAB ANM  MN song song với xA

 MN song song với đường thẳng cố định

Ví dụ 9 Cho ngũ giác ABCDE, thỏa mãn BAC CAD DAE và

     Đường thẳng BD cắt AC tại M, CE cắt AD tại N, hai

đường này cắt nhau tại O Chứng minh rằng MN song song với CD, từ đó suy ra

AO đi qua trung điểm CD

Giải 9 Từ BAC CAD DAE và

      các tam giác

ABC, ACD, ADE đồng dạng (g.g)

AC  AD  AE 

AB AC

AD  AE

và BAD CAE  ABD đồng ACE

AC, AD là hai phân giác tướng ứng của hai

tam giác 

AB AC

AM  AN 

AC  AN  AD

 AM AN

AC  AD MN//CD  AO đi qua trung điểm CD

Nhận xét tính chất đặc trưng của hai tam giác đồng dạng là các góc đường cao,

trung tuyến, phân giác, bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp… tương ứng tỉ lệ với

nhau

Bài tập tự luyện

Bài 1 Chứng minh rằng hai đường chéo cùng xuất phát từ một đỉnh của một ngũ

giác đều chia góc đó làm ba góc bằng nhau, từ đó suy ra mỗi đường chéo song

song với một cạnh

Bài 2 Cho hai đường tròn (O ) và (1 O ) cắt nhau tại A, B Tiếp tuyến chung CD 2

x

O N

M

C B

A

I

O N M

E

D

B

C A

(C(O1)và D(O2), CA cắt DB tại M, DA cắt CB tại N Chứng minh rằng MN song song với CD

Bài 3 Cho tam giác ABC và H là trực tâm tam giác AD là đường kính đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M và N sao cho tứ giác ADCM và ADBN là hình bình hành, BH cắt AC tại E, AN cắt MH tại I Chứng minh rằng IE song song với

AD

Bài 4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn tâm (I) luôn đi qua B và C cắt AB, AC lần lượt tại M, N Đường tròn tâm (J) ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O) tại K Chứng minh KI//OJ

Bài 5 Cho bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau Dựng hình vuông có

các đỉnh nằm trên các đường thẳng đó

II- ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Đặt vấn đề

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc có nhiều cách chứng minh, người ta thường sử dụng:

- Định nghĩa;

- Các dấu hiệu nhận biết;

- Ba đường cao đồng quy;

- a/ / ,b a  c bc;

- Định lý Thalets

- Góc chắn nửa đường tròn;

- Tứ giác nội tiếp;

- …

Bài tập cũng đa dạng, mỗi bài có cách giải khác nhau Các ví dụ sau chỉ mang tính minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu của A trên BD Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của BH và CD Chứng minh AM vuông góc với MN

Giải 1 Gọi I là trung điểm AH  MI là đường trung

bình của HAB  MI//AB  MI  AD  I là trực tâm

ADM  DI  AM , NCND  IM DN IMND

là hình bình hành  DI//MN  MN  AM

I

H

N

M

B A

Ví dụ 2 Cho hình bình hành ABCD, dựng ra ngoài hình vuông ABMN và

BCEF Chứng minh rằng MF = BD và BD  MF

Giải 2 MBF FBC CBA ABM 3600

 MBF CBA1800

Mặt khác BAD CBA1800 MBF  BAD

 MBF = BAD (c.g.c)  BD = MF và

0

90

FBH CBD

    , CBD ADB

 FBH ADB900  FBH  BFM 900

 BD  MF

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC  0  0

A B Điểm D trên cạnh AC và E trên cạnh AB thỏa mãn  0

40 ,

70

ECB  , đường thẳng BD và CE cắt nhau tại

F Chứng minh rằng AF vuông góc với cạnh BC

Giải 3 Kéo dài BC lấy điểm K sao cho

40

FBK FKB

Kẻ AF BC cắt BD tại F  HBHK

Theo giả thiết ABC 600  tam giác ABK là

tam giác đều, đường thẳng BF cắt AK tại I

40

DBC    0

40

FKB    0

80

KFI 

20

FKI    0 0 0 0

180 80 20 80

KIF    

 tam giác KFI là tam giác cân  KF KI

Xét ABC và BKI có: ABBK

60

ABCBKI  ,   0

40

BACKBI 

 hai tam giác bằng nhau  BCKI  BK BC  tam giác BCF là tam

giác cân    1800 400 0

70 2

BCF BFC    C, F, E thẳng hàng

Ví dụ 4 Cho tứ giác ABCD, dựng ra phía ngoài các hình vuông có cạnh AB, BC,

CD, DA Gọi M, N, P, Q là các tâm hình vuông với cạnh AB, BC, CD, DA

Chứng minh rằng MP vuông góc với NQ và bằng NQ

H

N M

F

D

B

C

A

E

B

A

C H

E

F

I

K D

Giải 4 Trước hết chứng minh bài toán:

Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân MAB và NAC (đỉnh M, N), gọi I là trung điểm BC Chứng minh

,

MI NI MI NI

Kéo dài BM một đoạn MPMB PAAB

tương tự NQNC QAAC

 MI là đường trung bình của PBC

 MI//PC, 1

2

MI  PC

Tương tự NI//QB và 1

2

NI  QP

90

PAC  AQAB, APAB, AQ AC

 APC = APQ  PCQB, APC APQ

Xét hai tam giác APE và HEB có: APCAPQ, PEABEH 

90

BHEPAE  MI NI MI, NI

Trở lại bài toán: Gọi I là trung điểm AC theo bài

toán trên  MI NI, MI NI

,

QI PI QI PI

90

MIPMIQ QIN

 MIP và NIQ bằng nhau (c.g.c)

 MPNQ cũng tương tự như bài toán trên 

MPNQ

Nhận xét Bài toán này vào loại “khó”, phải vẽ

thêm nhiều đường, song bản chất vẫn quy về tính

chất của tam giác vuông cân và đường trung bình

tam giác

Ví dụ 5 Cho tam giác cân ABC (ABAC), D là trung điểm BC Gọi H là hình chiếu của D trên AC, I là trung điểm DH Chứng minh AI vuông góc với DH

Giải 5 Từ B kẻ BF  AC  BE//DH, DBDC

 HEHC, BEC và ADC là hai tam giác vuông

Có C chung  hai tam giác đồng dạng

 hai tam giác EBH và HAI đồng dạng

 EBH HAI, mặt khác EBH DHB (so le)

 HAI DHB ,   0

90

DHBBHE

90

H

B

A

E

P

C H

I

N M

B A

Q

E

P

C I

N M

D

B A

Q

Nhận xét: Bài toán đã sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng các cạnh tương ứng bằng tỉ số đồng dạng và các góc tương ứng tạo bởi các đường tương ứng bằng nhau

Ví dụ 6 Cho tam giác ABC, đường cao AH, I là điểm bất kì trên AH, đường

thẳng CI cắt AB ở P, đường thẳng BI cắt AC ở Q Chứng minh AH là phân giác của góc PHQ (Định lí Blanchet)

Giải 6 Qua I kẻ đường thẳng MN song song với BC, HP, HQ cắt đường thẳng

MN tại E và F

MN//BC  IE CH

IM  CB và

IF BH

IN  BC

Chia hai đẳng thức  IE IN CH BC CH

IM IF  CB BH  BH

Mặt khác IN HC

IM  HB  1

IE

IF   IEIF

 HEF là tam giác cân  AHI AHQ

 AH là phân giác của góc PHQ

Ví dụ 7 Cho tam giác ABC thỏa mãn AB2ACvà A2B Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông

Giải 7: Trên cạnh AC kéo dài lấy điểm D sao cho AD AB

 DC3ACvà BAC2BDA  BDCB

 ABC đồng dạng với BDC  AC BC

BC  DC

2

BC AC DC

 BC2 3AC2, theo giả thiết AB2AC AB2 4AC2

 AB2AC2 BC2  AB2 BC2AC2 theo định lí đảo

Pythagore  ABC vuông tại C

Nhận xét: Đề ra đơn giản, giả thiết cho mối quan hệ giữa hai

cạnh và góc tam giác vậy phải kẻ thêm hình để đưa về hai

tam giác đồng dạng, sau đó sử dụng định lí đảo định lí Pithagore

Ví dụ 8 Cho hình thang ABCD (AD//BC,   0

90

AB M là trung điểm AB Gọi

H là hình chiếu của A trên MD, K là hình chiếu của B trên MC, đường thẳng AH cắt BK tại N Chứng minh rằng MN vuông góc với CD

D

C B

A

F E

P

Q N M

I

B

A

Giải 8 Theo giả thiết AH MD, BK MC

 tứ giác MHNK là tứ giác nội tiếp

 MHK MNK

Tam giác AMD là tam giác vuông

 MA2 MH MD , tương tự ta có:

 MB2 MK MC , do MAMB

 MH MD MK MC

 tứ giác HDCK là tứ giác nội tiếp

 MHK DCK  tứ giác NECK nội tiếp

90

NEC 

Ví dụ 9 Cho tam giác nhọn ABC, đường phân giác AD, gọi M và N là hình chiếu

của D trên AC và AB Giao điểm BM và CN là P Chứng minh rằng AP vuông góc với BC

Giải 9 Qua A kẻ

đường thẳng d song

song với BC, đường

thẳng BM, CN cắt d

tại E và F, và H là

giao điểm của AP và

BC Theo định lí

Thales 

HC AF

HB  AE,

AM

CM  BC   BC

AN

BN  BC   BC , DM  AC DN, AB, 



BADCAD 

AMD = AND  AN  AM  AE CM  AF BN 

BN  AE 

HB  BN (*)

Kẻ AK BC  DMC và AKC là hai tam giác vuông có góc C chung  hai

tam giác đồng dạng  CD CM

CA  CK , tương tự

BD BN

AB  BK

AD là phân giác  CD BD

CA  AB 

CK  BK 

BN  BK kết hợp (*) 

K trùng với H  APBC

E F

B

A

D

N

C

H

E

C

D

B

N

K

H

M

A

Ví dụ 10 Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài các tam giác BCD, CAM, ABN

CBDCAM  BCD ACM  ABN BAN  Chứng minh tam giác DMN là tam giác vuông cân

Giải 10 Theo giả thiết   0

15

ABN BAN 

 ANB 1500 Dựng tam giác đều BNI 

90

ANI  ANBBNI   ANI vuông cân

 NIA 450     0

30

BAI NAINAB ,

45

ABI NBINBA  các tam giác BAI, ACM,

BCD đồng dạng  DBI ABC;

 BI BD AM

AB  BC  CA (1)

 DBI đồng dạng CBA

DB DI BI

BC CA  AB(2) Từ (1), (2)  AM = DI

DIBCAB  DIN MAN  ANM = IDN  MN = DN  ANM IND

90

DNM DNIINM MNA INM INA

Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho tam giác ABC, BM, CN là các trung tuyến Chứng minh rằng BM

vuông góc với CN khi và chỉ khi AC2AB2 5BC2

Bài 2 Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại I, đồng thời thỏa mãn

IAIB và ICID Gọi O là điểm cách đều A, I, D Chứng minh rằng OI vuông góc với BC

Bài 3 Cho tam giác ABC, BAC 300 Đường phân giác trong và ngoài góc B

cắt cạnh AC tại B B , đường phân giác trong và ngoài góc 1, 2 C cắt cạnh AB tại

1, 2

C C Đường tròn ngoại tiếp tam giác BB B cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 2

1 2

CC C tại điểm P ở trong tam giác ABC, gọi O là trung điểm B B Chứng minh 1 2

rằng OP vuông góc với BP

Bài 4 Cho tam giác ABC, đường cao AH Dựng đường tròn đường kính AB, D là

điểm trên đường tròn đó, đường thẳng DH cắt đường tròn đường kính AC tại E, gọi M, N là trung điểm của BC và DE Chứng minh AMN là tam giác vuông

Bài 5 Cho tứ giác ABCD, AB và CD cắt nhau tại D, và AD, BC cắt nhau tại E

Chứng minh rằng tứ giác ABCD nọi tiếp khi và chỉ khi các phân giác góc AED

và CFD vuông góc với nhau

C I

N

D B