Đổi chỗ các chữ số của A theo một cách nào đó ta được số B.. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể được của n và chỉ rõ một cặp số tự nhiên A, B để n nhận giá trị nhỏ nhất đó.. Từ C kẻ CK vuông gó
Trang 1UBND HUYỆN PHÚC THỌ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2016 - 2017
Môn: Toán
Ngày thi: 20 - 4 - 2017 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (3 điểm)
Tính giá trị biểu thức
2021 2020 2019 2018 2017
) 4 2021 2016 )(
1 2017 31 2026 2016
P
Bài 2: (5 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 3x – y3 = 1
b)Giải phương trình sau:
25 27 29 4 22 26
x
Bài 3: (4 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P = x2 + 3y2 + 2xy - 2x - 6y + 2020
b) Xét một số tự nhiên A gồm ít nhất 5 chữ số Đổi chỗ các chữ số của A theo một cách nào đó ta được số B Giả sử rằng A B 11 1 (số tự nhiên gồm n chữ số 1, n N*)
Tìm giá trị nhỏ nhất có thể được của n và chỉ rõ một cặp số tự nhiên A, B để
n nhận giá trị nhỏ nhất đó
Bài 4: (6 điểm)
Cho hình bình hành ABCD, (A B) Từ C kẻ CK vuông góc với AD, kẻ
CE vuông góc với AB, từ B kẻ BH vuông góc với AC
a) Chứng minh rằng: AB.AE = AH AC
b) Kẻ DI vuông góc AC Chứng minh rằng: AB.AE + AD AK = AC2 c) Giả sử AB = BC = 2cm, góc ABC = 1350 Tính diện tích tứ giác ABCD d) Gọi giao điểm của AC và BD là O, kẻ EM vuông góc với AC
Biết EO - EM = 7cm, chu vi tam giác ACE bằng 72cm2 Tính độ dài cạnh AC
Bài 5: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
2 1 4 1 4
1 2
3 4
3 1
4
1
2
2 4
4 4
n n
n
với mọi n nguyên dương
Hết -(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 8 (2016 – 2017)
ĐỀ THI CHÍNH
Trang 2Bài Nội dung điểm Biểu
Bài 1
(4
điểm) 2017.2018.2019.2020.2021
) 4 2021 2016 )(
1 2017 31 2026 2016
P
Đặt x = 2016, ta có:
1 2 3 4 5
4 5 1
1 31 10
2
x x x x x
x x x
x x
P
Phân tích tử thành tích các đa thức bậc 1 và rút gọn được P = 1
3,0(điểm)
Bài 2
(4
điểm)
a) Có 3x – y3 = 1 3x = y3 + 1 (1)
- Dễ thấy x = y = 0 là một nghiệm của (1)
- Nếu x < 0 thì 3x = n
3
1
( n N*, n = - x), suy ra 0 < 3x < 1 Mà y3 + 1 là số nguyên với y nguyên, suy ra (1) không có nghiệm nguyên
- Nếu x > 0 thì 3x 3
(1) 3x = (y + 1)3 – 3y(y + 1) suy ra (y + 1)3 3 nên y + 1 3
Đặt y + 1 = 3k ( k Z), suy ra y = 3k – 1 Thay vào (1) ta được
3x = (3k – 1)3 + 1 = 9k(3k2 – 3k + 1) nên 3k2 – 3k + 1 là ước của 3x, mà
3k2 – 3k + 1 không chia hết cho 3 và 3k2 – 3k + 1 = 3
4
1 2
k > 0 nên 3k2 – 3k + 1 = 1 3k(k – 1) = 0 k = 0 hoặc k = 1
+ Với k = 0 thì y = -1, suy ra 3x = 0, phương trình này không có x thỏa mãn
+ Với k = 1 thì y = 2, suy ra 3x = 9 = 32 nên x = 2
Vậy các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đề bài là (0; 0) và (2; 2)
2,5(điểm)
b) 25 27 29 4 22 26
x
ĐKXĐ: mọi x R
2
0
x
x
2
0
Vì
0
Nên 4 - x2 = 0 x 2 KL:
2,5(điểm)
Bài 3
(4
điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P = x2 + 3y2 + 2xy -2x - 6y + 2020
P = ( x + y - 1)2 + 2(y - 1)2 + 2017 ≥ 2017
GTNN của P = 2017 x = 0; y = 1
2,0(điểm)
b) Ta biết rằng mỗi số tự nhiên khi chia cho 9 có số dư bằng số dư trong phép
chia tổng các chữ số của nó cho 9
2,0(điểm)
Trang 3I H
K
C
A
D B
Do vậy: A và B có tổng các chữ số bằng nhau nên (A – B) 9 Mà
1
11
B
A (số tự nhiên gồm n chữ số 1, n N*) nên số 11 1(số tự nhiên
gồm n chữ số 1, n N*) chia hết cho 9
Số nhỏ nhất trong các số này là số gồm 9 chữ số 1 tức là n = 9
Vì 12345678 – 01234567 = 11111111 nên A = 9012345678,
B = 8901234567
Bài 4
(6
điểm)
a, AHB AEC (g.g) AB AE = AH.AC
1,5(điểm)
b) Kẻ DI vuông góc AC ta c/m được AH = IC
AID AKC (g.g) AD.AK = AI.AC Theo câu a) có AB AE = AH.AC
2
AB AE AD AK AH AC AI AC
AC AH IC HI AC
1,5(điểm)
c) AB = BC = 2cm AD = DC = 2cm
góc ADC =1350 góc CDK = 450 nên ∆CDK vuông cân tại K tính được CK
= 2cm,
SABCD = CK.AD = 2 2 cm2
1,5(điểm)
d) Theo đề bài ta có: EA+ EC + AC = 72
EO – EM = 7 EM = EO – 7 ; EO = 1/2 AC
HS chứng minh được EA EC = EM AC = 2.EO.(EO-7)
Đặt EO = x Ta có AE.EC = 2x2 – 14 x
Theo định lí Pytago : AE2 + EC2 =AC2 = 4x2
AE2 + EC2 + 2 AE.EC = 4x2 + 2.AE.EC
(AE + EC)2 = 4x2 + 2(2x2 – 14 x)
(72- 2x)2 = 8x2 - 28x
( x- 16) ( x + 8) =0 x = 16 thỏa mãn
EO =16cm nên AC = 32cm
1,5(điểm)
Bài 5
(2
điểm)
a a
a
a a
a
2 2
1 2
2
1 4
1 2 2 2
2 4
2
Với a = 1, 3, …, 2n – 1 thì:
Vế trái của đẳng thức bằng: VT =
1 ) 2 (
1 1
2) -(2n
1
7
1 5
1 5
1 1
1
.
4
1
2
= . 11 (2 )1 1 4 1
4
1
2 2 2
n
n
n = VP (vế phải của đẳng thức cần chứng minh)
2,0(điểm)
Trang 4Chú ý: - Điểm được lấy đến 0.25.
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.