Trên cạnh AB và AC lấy tơng ứng hai điểm D, E sao cho BD=CE.. Đờng thẳng MN cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự ở P và Q.. a Chứng minh tam giác MIN cân.. Chứng minh AD là phân giác của gó
Trang 1đề thi học sinh giỏi Trờng THCS Bạch Liêu
năm học 2009-2010 Môn: Toán 7 (vòng 2) - Thời gian 120 phút
Câu 1: Cho hai đa thức: A= x3-2x2-xy2+2xy+2y+2x-2
B= 2x2-2y2+3xy-2x-2y a) Tính A+B
b) Tính A-B
c) Tính giá trị của đa thức B biết x=1; y=-2
d) Tính giá trị của đa thức A biết x+y-2=0
Câu 2: Cho hàm số y=f(x)= 3 x − + 1 3 x − 7
a) Tính: f(2); f(-2); f(1
3); f( 1
3
− ) b) Tìm x biết f(x)=10
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)
Câu 3: Cho bốn số tự nhiên a, b, c, d khác 0 thoả mãn: a2+b2= c2+d2
Chứng minh: a+b+c+d là một hợp số
Câu 4:Cho tam giác ABC, AB < AC Trên cạnh AB và AC lấy tơng ứng hai điểm
D, E sao cho BD=CE Gọi M, N, I lần lợt là trung điểm của BC, DE, CD Đờng thẳng MN cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự ở P và Q
a) Chứng minh tam giác MIN cân
b) Chứng minh AP=AQ
c) Qua A kẻ đờng thẳng song song với MN cắt BC tại D Chứng minh AD
là phân giác của góc BAC
d) Chứng minh:
AB AC BC AB AC
AM
+ − < < + .
Biểu điểm và đáp án Câu 1: 2 điểm trong đó:
a) 0.5đ: A+B= x3-xy2-2y2+5xy-2 b) 0.5đ: A-B=x3-4x2-xy2+2y2-xy+4y+4x-2 c) 0.5đ:B=-10
d) 0.5đ: A=2
Câu 2: 3.5 điểm: a) 1đ: f(2)=6; f(-2)=18; f(1/3)=6; f(-1/3)=10
b) 1.5đ: x=-1/3; x=3
c) 1đ: Min f(x)= 6 khi 1/3 7
3
x
≤ ≤
Trang 2Câu 3: 1 điểm: Ta có a2+b2=c2+d2 suy ra a2+b2+c2+d2 chia hết cho 2(1)
Mặt khác a2+b2+c2+d2 +a+b+c+d =a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)+d(d+1) chia hết cho 2 (2);
Từ (1) và (2) suy ra a+b+c+d chia hết cho 2 (3)
a, b,c, d, thuộc N và khác 0 nên suy ra: a+b+c+d≥4(4)
Từ (3),(4) suy ra điều phải chứng minh
Câu 4: 3,5 điểm: a) 1đ:NI // = 1/2 CE MI//= 1/2 BD mà CE=BD suy ra MI=NI.
b) 0,5đ:Tam giác MIN cân tại I (CMT) suy ra góc MNI= góc NMI NI//AC nên góc MNI= góc NQE=góc Q MI//AB nên góc NMI= góc P Do đó góc P= góc Q1 suy ra tam gica APQ cân tại A, do đó AP=AQ
c) 0,5đ:Do AD//MN nên góc A1= góc P; góc BAC= góc P + góc Q1= 2 lần góc P Do đó góc A2= góc P Suy ra A1=A2 do đó AD là phân giác góc BAC
d)1đ: Từ các bất đẳng thức AM>AB-BM;AM>AC-MC nên AM>
2
AB AC BC+ − (1)
Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA=MD ta có tam giác AMB= tam giác DMC, suy ra CD=AB Trong tam giác ACB ta có AD<AC+CD nên 2AM<AC+AB suy ra AM<
2
AB AC+ (2) Từ (1) và (2) ta có ĐPCM.
Vẽ hình đúng: 0,5 đ