Phân giác của góc ACB cắt cạnh AB tại F, gọi G là trung điểm của AE.[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT LONG ĐIỀN ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Thời gian làm bài : 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 : ( 4 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau :
2
/16 8 1 4(4 1)
a x x x
3 2 (3 )( 1)
b
x x x x
Câu 2 : ( 3 điểm) Cho biểu thức:
M
x N *
a) Thu gọn biểu thức M
b) Tìm x biết
1 11
M
Câu 3 : ( 3điểm) a) Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức A có giá trị là một số nguyên:
2
A
x
b) Tính tổng:
B
Câu 4 : ( 4 điểm)
Bà Nam gởi vào quĩ tiết kiệm x đồng với lãi suất mỗi tháng là a% (a là số cho trước) và lãi
tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau
a) Hãy viết biểu thức biểu thị tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai
b) Nếu lãi suất là 1,1% (tức a = 1,1) và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là 2212100đồng, thì lúc đầu
bà Nam đã gởi bao nhiêu tiền tiết kiệm?
Câu 5 : ( 6 điểm)
Cho tam giác đều ABC, trên tia đối của tia AB ta lấy điểm D, trên tia đối của tia AC ta lấy điểm
E sao cho AD = AE Phân giác của góc ACB cắt cạnh AB tại F, gọi G là trung điểm của AE
a) Chứng minh AF AD = AG AC
b) Gọi H là trung điểm của CD Chứng minh FGH là tam giác đều.
c) Chứng minh BC . ED = BD2 – EB2
Trang 2
. -PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN LONG ĐIỀN NĂM HỌC 2011-2012 - MÔN: TOÁN – LỚP 8HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HSG
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1:
(4điểm,
mỗi câu
1 điểm)
2
2
4(4 x 1) (4 x 1)
(4 x 1)(5 4 ) 0 x
x hay x
Vậy
1 5
;
4 4
S
0,25 0,25
0,25 0,25
3 2 (3 )( 1)
b
x x x x
Điều kiện xác định là x 2; x 3 và x 1
Với điều kiện này thì HS qui đồng, khử mẫu, đưa được về phương trình:
2x2 – 6x + 7 = 0
2
x
mà
2
2
x
.=> Phương trình (*) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 32 10 3 12 6 16
x
Vậy S x x / 16
là tập nghiệm của bất phương trình đã cho
0,5 0,25
d x x
Điều kiện:
3 2
x
Khi đó:
1
5 (1)
( < , ân)
nh
Vậy
4 2
;
3 7
S
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2:
(3điểm) a) (1,5điểm) Thu gọn biểu thức M1 1 1 1 1 1 1 1
100 ( 100)
M
0,75 0,5+0,25
b) (1,5điểm) Tìm x biết
1 11
M
Trang 4
100
(1) 100
(2)
11 1100 10 10 100
M
x x
Từ (1) và (2) suy ra x = 10, hoặc HS giải PT: x2+100x – 1100 = 0 ra KQ đúng,
không nhận nghiệm x= - 110 (trái với điều kiện
*
x N )
0,5
1,0
Câu 3:
(3điểm) a) (1,5điểm)
2
A
x
x
Để A có giá trị là một số nguyên thì
13
3 x 2 phải là một số nguyên, hay
13 3 x 2
1
3
x x
hay x loai
Vậy x 1; 5
0,5
0,25
0,75
Trang 54 2 2 2 2
) (1,5 )
1
1
x
Suy ra B
0,5 0,25 0,25
0,5
Câu 4:
(4điểm) a) (2,5 điểm)
+Số tiền lãi sau tháng thứ nhất của bà Nam là: 100
a x
(đồng) + Số tiền cả gốc và lãi có được sau tháng thứ nhất là:
x x x
Sau 2 tháng:
Tiền lãi trong tháng thứ hai là:
x
Tổng số tiền lãi của cả hai tháng là:
x x x
b) (1,5 điểm) Với a = 1,1 và
1,1
0,011
100 100
a
Theo đề bài ta có phương trình:0,011(0,011+2)x=2212100 0,022121.x =
2212100 x = 100000000(đồng)
Một trăm triệu đồng
0,5
0,5
0,5
1,0
1,0 + 0,5
Trang 6Câu 5:
(6điểm)
C B
A
F
G
H I
a) (2 điểm) Chứng minh AF AD = AG AC
Nhờ t/c trung tuyến hoặc phân giác trong tam giác đều cũng là đường cao, HS nêu
được DGC, DFC là những góc vuông
Dễ thấy vuông GAD và vuông FAC đồng dạng => AG/AF = AD/AC =>
đpcm
0,5+ 0,5 0,5 + 0,5
b) (2 điểm) ED // BC => ADE và đềuABC đồng dạng =>ADE đều.
Nhờ t/c trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông => GH = FH =
1/2CD (1)
HS c/m được EB = CD (do AEB = ADC), mà GF = 1/2EB (đường TB) => GF =
1/2CD (2)
Từ (1) và (2) => tam giác FGH đều.
0,25 0,5 0,75 0,5 c) (2 điểm) Chứng minh BC ED = BD2 – EB2
Dựng I là một điểm trên đoạn BD sao cho góc IED = góc BEC
HS c/m được hai tam giác BIE và CDE đồng dạng (góc EBD = góc ECD và góc
BEI = góc CED) => BI/CD = BE/EC => CD BE = BI EC (1)
Lại thấy hai tam giác IED và BEC đồng dạng (góc IED = góc BEC và góc IDE =
góc BCE) => ID/BC = BD/EC => BC ED = ID EC (2)
HS cộng (1) và(2) theo từng vế, lưu ý là BD = CE và BD = EC => đpcm
0,25
0,75 0,5 0,5
HS làm cách khác nếu đúng vẫn được tròn điểm
Biên soạn: Nguyễn Văn Thế