tích phan xác định tich phan xac dinh

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

Trang 1

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

B ÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 1 / 36

Trang 3

Tích phân xác định Bài toán thực tế

B ÀI TOÁN XÂY DỰNG

Các kỹ sư xây dựng được giao nhiệm vụ là sạch cổng chào của thành phố, cao 630m , rộng 630m Phương trình của cổng chào là y = 630 − x

2

157, 5 · Ý tưởng của các kỹ sư là xây dựng dàn giáo bên dưới cổng chào để có làm sạch mọi nơi trên cổng chào.

Vấn đề quan tâm là diện tích bên dưới cổng chào là bao nhiêu?

Trang 4

Tích phân xác định Bài toán thực tế

Diện tích bên dưới cổng chào là

Trang 5

Tích phân xác định Khái niệm tích phân xác định

K HÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn

[a, b](a < b). Chia đoạn [a, b] thànhn phần nhỏ hữu hạn [x i−1 , x i ](i = 1, ,n)bởi những điểm

Trang 6

Đ ỊNH NGHĨA 1.1

Tổng σ = P n

i=1

f ( ξ i ) ∆x i được gọi là tổng tích phân của hàm số f (x) trên đoạn [a, b] Tổng này còn được gọi là tổng Riemann

Trang 7

Đ ỊNH NGHĨA 1.2

Số hữu hạn I ∈ R được gọi là giới hạn của

tổng tích phân σ khi λ → 0(λ = max∆x i > 0),

nếu như với mọi ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho

với độ dài ∆x i < δ, có nghĩa là λ < δ, luôn có bất đẳng thức |σ − I| < ε, không phụ thuộc

vào cách chia đoạn [a, b] thành những đoạn nhỏ, và cách chọn điểm ξ i trên những đoạn nhỏ [x i−1 , x i ] Lúc này ta viết lim

λ→0 σ = I.

Trang 8

Đ ỊNH NGHĨA 1.3

Nếu tổng tích phân σ có giới hạn hữu hạn

khi λ → 0có nghĩa là lim

Trang 9

´ 2

.

Trang 10

Vậy f ( ξ k ) ∆x k =

µ

k n

3

Trang 11

Trang 12

Trang 13

Trang 14

Trang 15

Trang 16

Trang 17

Trang 18

Trang 19

Trang 20

Trang 21

Trang 22

Trang 23

Chia đoạn [a, b] thành n phần nhỏ hữu hạn

[x i−1 , x i ](i = 1, ,n) bởi những điểm

x 0 = a < x 1 < x 2 < < x i−1 < x i < < x n = b. Kí hiệu

∆x i = x i − x i−1 > 0, λ = max{∆x i , i = 1, ,n}.

Trang 24

Trên mỗi phần nhỏ này [x i−1 , x i ] chỉ chọn số hữu tỉ ξ i ∈ [x i−1 , x i ] và thành lập tổng

Nếu trên mỗi phần nhỏ [x i−1 , x i ] chỉ chọn số

Như vậy, đối với hàm Dirichlet giới hạn của tổng tích phân không tồn tại.

Trang 26

Tích phân xác định Lớp các hàm khả tích

Đ ỊNH LÝ 1.1

Các hàm có tính chất sau sẽ khả tích trên đoạn [a, b]

1 Hàm liên tục trên đoạn [a, b]

2 Hàm bị chặn trên đoạn [a, b] và có một số hữu hạn các điểm gián đoạn trên đoạn [a, b].

3 Hàm bị chặn và đơn điệu trên đoạn [a, b].

Trang 28

Tích phân xác định Tính chất cơ bản

T ÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH II

6 Nếu hàm f (x) khả tích và không âm trên đoạn [a, b], (a < b) thì

Trang 29

T ÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH III

8 Nếu hàm f (x) khả tích trên [a, b], (a < b)

Trang 31

T ÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH V

Trang 32

Phương pháp tính tích phân xác định Tích phân xác định như hàm của cận trên

1 F(x) liên tục trên đoạn [a, b].

2 Nếu f (x) liên tục tại điểm x 0 ∈ [a, b] thì F(x)

sẽ khả vi tại điểm x 0 và F 0 (x 0 ) = f (x 0 ).

Trang 33

Trang 34

Trang 35

số f (t) = arcsint xác định và liên tục trên [0, 1]

nên F(u) khả vi trên [0, 1] Hàm u(x) khả vi trên R Do đó, hàm hợp F(u(x)) khả vi trên

[0, 1]

Trang 36

Trang 37

Phương pháp tính tích phân xác định Công thức Newton-Leibniz

Mọi nguyên hàm của hàm f (x) trên đoạn

Trang 38

C ÔNG THỨC N EWTON -L EIBNITZ

Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến lấy tích phân, có nghĩa là

Trang 39

4 − tan π

6 = 1 −

p 3 3

Trang 40

Trang 41

Trang 42

Phương pháp tính tích phân xác định Tích phân từng phần

Trang 43

Phương pháp tính tích phân xác định Tích phân từng phần

Trang 44

Phương pháp tính tích phân xác định Công thức đổi biến

C ÔNG THỨC ĐỔI BIẾN

ở đây t = ϕ(x) là hàm số liên tục cùng với

đạo hàm của nó ϕ 0 (x) trên đoạn [a, b],

α = ϕ(a),β = ϕ(b), f (t) là hàm số liên tục trên đoạn [ α,β].

Trang 45

C ÔNG THỨC ĐỔI BIẾN

ở đây x = ϕ(t) là hàm số liên tục cùng với

đạo hàm của nó ϕ 0 (t) trên đoạn [ α,β],

a = ϕ(α),b = ϕ(β), f [ϕ(t)] là hàm số liên tục trên đoạn [a, b].

Trang 46

Trang 47

Trang 48

Phương pháp tính tích phân xác định Tính chất của hàm chẵn, hàm lẻ

Trang 49

Trang 50

Đặt u = x,dv = sin xdx

cos 2 x . Khi đó du = dx,v = 1

cos x . Từ đó suy ra

Trang 51

Trang 52

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	0,94 MB