TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ CÁC ỨNG DỤNG1.1... Phép đổi biến trong tích phân xác định.
Trang 1TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ CÁC ỨNG DỤNG
1.1 Định nghĩa tích phân xác định
1.1.1 Định nghĩa:
Cho HS f(x) xác định và bị chặn trên [a,b]
+ Chia tuỳ ý [a,b] bởi các điểm chia:
a= x 0 < x 1 < x 2 <…< x k < x k+1 <…< x n = b
+ Trên mỗi đoạn [x k-1 , x k ] lấy điểm
bất kì và lập tổng :
( )
n
S = f x D x + f ( ) x2 D x2 + + f ( ) xn D xn= ồn f ( ) xk D xk
k
ξ
y
xk – 1 ξk
f( ξk)
xk
Trang 2+ Nếu khi sao cho max , S n dần tới một giới hạn xác định S không phụ thuộc vào cách chia [a, b] và cách chọn
điểm trong đoạn [ x k-1 ; x k ] thì giới hạn đó đ ợc gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên [a,b], ký hiệu là
Khi đó ta nói f(x) khả tích trên [a,b]
([a,b] là khoảng lấy tích phân, a là cận d ới , b là cận trên, x là biến số lấy tích phân, f(x) là h m s d ới dấu tích phân, f(x)dx là à ố biểu thức d ới dấu tích phân).
n → +∞
k
x
( )
b
a
f x dx
∫
+ Nếu h m s f(x) liên tục trên [a,b] ho c hàm số f(x) bị chặn à ố ặ
và có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì nó khả tích trên [a,b].
0
k
x
∆ →
Trang 3Chia [0;1] thành n đoạn nhỏ bằng nhau và lấy các điểm
là đầu mút phải của mỗi đoạn nhỏ, khi đó ta có :
∆x k = , = x k =k ( k = 1,2,…,n ) và max khi
1 2 0
x dx
∫
1 2
0
x dx
max 0
1
lim
k
n
x
k
x
x
D đ
=
k
ξ
1
1.1.2 VD: Tính
k
ξ
Vì f(x) = x 2 liên tục trên [0;1] nên nó khả tích trên [0;1], do đó
ta có:
1
Trang 42 0
x dx =
n
k
k
n n
®¥
=
æ ö÷
ç ÷
ç ÷
çè ø
3
1
1 lim n
n
k
k n
®¥
=
3
1
n
®¥
3
( 1)(2 1) lim
6
n
n
®¥
=
1
2 0
1 3
x dx =
ò
Vậy,
1 3
=
Do đó:
Trang 5( )
b
a
f x dx
∫
* Nếu f(x) 0, x∈[a;b] thì 0
* Nếu f(x) ≥ g(x), x∈[a;b] thì : ≥
* Nếu m ≤ f(x) ≤ M,∀x∈[a;b] (M, m là hằng số) thì :
m(b-a) ≤ ≤ M(b-a)
1.2 Các tính chất của tích phân xác định
( )
*
b
a
kf x dx
b
a
f x dx
ũ
( )
* [ ( )]
b
a
ũ
( )
a
b
f x dx
=- ũ
( )
b
f x dx
ũ
( )
c
a
f x dx
c
f x dx
∫
( )
*
b
a
f x dx
ũ
( )
b
a
f x dx
b
a
g x dx
∫
∀
( )
b
a
k f x dx
≥
( )
b
a
g x dx
∫
( )
b
a
f x dx
ũ
Trang 6* Giả sử trên [a, b], m ≤ f(x) ≤ M và g(x) khả tích
+Nếu g(x) không đổi dấu trên [a, b] thì ∃ µ ∈ [m, M] sao cho :
f(x)g(x)dx ≤ µ g(x)dx.
Hệ quả : g(x) = 1: ∃ µ ∈ [m, M] sao cho f(x)dx = µ (b – a)
+Nếu f(x) ∈ C[a, b] thì ∃c ∈[a, b] sao cho:
f(x)g(x)dx = f(c) g(x)dx
Hệ quả : g(x) = 1: ∃c ∈[a, b] sao cho f(x)dx = f(c)(b – a).
*Tích phân trên miền đối xứng c ủ a hàm ch ẵ n, hàm lẻ
+Nếu f( – x) = – f(x) thì f(x)dx = 0,
+Nếu f( – x) = f(x) thì f(x)dx = 2 f(x)dx
b
a
∫
b
a
∫
b
a
∫
b
a
∫
b
a
∫
b
∫
b
∫
b
a
∫
b
a
∫
Trang 7Vì 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 trên [0; ] nên 1≤
2
2
0
1
1 sin
π
+
∫
2
1 sin
2
π
2
2 0
1
1 sin
2 xdx
p
£ ò + £ 3 2 2 π
VD: ¦íc l îng giá tr cña TP: I = ị
2
p
Do đó:
hay 1,57 ≤ I ≤ 1,92
Trang 8dx x C = +
∫
1
∫
1
, ( 1) 1
x
α
α
+
+
∫
e dx e = + C
∫
,( 0, 1) ln
x
a
∫
sinx dx = − c x C os +
∫
os sin
c dx = x C +
∫
2
1
∫
2
1 sin x dx = − cotgx C+
∫
2 2
+
∫
2 2
1 ln 2
C
+
∫
2dx 2 arcsin x C
a
−
∫
±
∫
1.3.Cách tính tích phân xác định
1.3.1.Các tích phân cơ bản
Trang 9( ) ( ) ( ) ( )
b
a
b
f x dx = F x a = F b - F a
ò
0
sinxdx ( cos )x 0 cos +cos0=2
p
-ò
hàm số f(x) liên tục trên [a;b] thì:
* VD:
Trang 10
1.4.1 Dạng 1: Cho trong đó f(x) liên tục trên [a;b],
thực hiện phép đổi biến x = ϕ(t) Nếu:
+ ϕ(α) =a , ϕ( ) = b
+ ϕ(t) và ϕ’(t) liên tục trên [α; ].
+ f[ϕ(t)] liên tục trên [α; ]
( )
b
a
f x dx
∫
β
β
( )
b
a
f x dx =
ò f ( ) ( )t ' t dt
β α
∫
β
Khi đó ta có:
1.4 Phép đổi biến trong tích phân xác định
Trang 112
0
1 x dx−
∫
− ≤ ≤
1− x = cos t = cost
1
2 0
1 x dx−
∫ 2 2
0
cos tdt
p
0
1
(1 cos2 )
p
1 sin2
2
t t
p
π
* VD: Tính:
Đổi biến x = sint với
; 2
p
Ta có: 0 = sin0; 1 = sin
Vậy
Trang 12Nếu f(x) là hàm lẻ Nếu f(x) là hàm chẵn
( )
0
2 ( )
a
a
a
f x dx
f x dx
−
=
( )
a
a
f x dx
−
=
∫
( ) 0
a
f x dx
-=
ũ
( )
0
a
f x dx
+ ũ
( )
0
a
f x dx
−∫
( )
0
a
f t dt
0
a
-( )
a
a
f x dx
−
=
∫
0
( ) ( )
a
f x + −f x dx
∫
( )
0
0
2 ( )
a
a
a
f x dx
f x dx
−
=
∫ ∫ N Nếu f(x) là hàm chẵn ếu f(x) là hàm lẻ
* VD: CMR nếu f(x) liờn tục [-a;a] thỡ:
Thật vậy, ta cú:
Trong tớch phõn thứ nhất ở VP đặt x = - t =>dx = - dt ta cú:
Do đó :
Vậy:
Trang 13Nếu hàm số d ới dấu tích phân có dạng f(x) = g[ϕ(x)] ϕ…(x) thì
để tính
ta đổi biến số ϕ(x) = t Nếu ϕ(x) biến thiên đơn điệu và có đạo hàm ϕ…(x) liên tục trên [a;b] còn g(t) liên tục trên [ϕ (a); ϕ (b)] ,
ta có công thức:
( )
b
a
f x dx
b
a
gộj x ựj x dx
( )
b
a
f x dx
b
a
g ộ j x ự j x dx
= ũ ờ ở ỳ ỷ
( )
( )
( )
b
a
g t dt j
j
1.4.2.Dạng 2:
Trang 142 0
cos
1 sin
x dx x
π
+
∫
0;
2
π
2
2 0
cos
1 sin
x dx x
π +
0 1
dt t
=
+
ũ = p 4
* VD 1: Tính
Đặt t = sinx, ta có hàm t =sinx biến thiên đơn điệu trên ,
dt = cosxdx
Trang 152 1
dx
-< -<
ò
1
2
1 2 cos 1
dx
1 ( cos ) sin
dx
-=
ò
1
2
1 2 cos 1
dx
−∫ − + 1 cos 2 2
1 cos sin
dt t
a
-=
+
sin arctg sin arctg sin
2
2sin
,
tg
a
a a a
α α π α α
1 2
1
α = α + − = α
− +
∫
* VD 2: TÝnh
Ta cã
Nh ng v×:
Nªn:
Đặt t = x – cos , ta có dt = dx và:a
Trang 161.5.Phộp lấy tích phân từng phần
[a;b], khi đó:
b
a
* VD 1: Tính
1
ln
e
xdx
∫
Ta có u = lnx => du = dx
dv = dx => v = x
1
xdx x= x − dx e e= − − − =e
Trang 17Đặt u=sin n-1 x, dv = sinxdx, ta có du = (n-1)sin n-2 xcosxdx, v = - cosx.
Do đó: In = - cosx sin n-1 + (n-1)2
0
x
π 2
2 2 0
sinn xcos xdx
π
−
∫
2
0
(n 1) sinn x(1 sin )x dx
p
-= (n-1)I n-2 - (n-1)I n
4
3
n
n
I −
−
−
2
1
n
n
2 2
2
0 0
(n 1)[ sinn xdx sinn xdx]
Thay n = n -2, ta đ ợc: I n-2 =
2
0
sinn xdx
π
∫
* VD 2: Tính In = , n nguyên d ơng
Trang 18TiÕp tôc nh vËy , ta cã:
2
0 0
sin xdx
p
= ò
2 0
0
xdx x
p
p
I 0 nÕu n ch½n
2
2
m
I
m m
p
-=
-( )-( )
2 1
2 2 2 4.2
(2 1) 2 1 5.3
m
m m I
+
-=
-2
p
=
I 1 nÕu n lẻ Như vậy,
+ Nếu n chẵn (n = 2m) thì
+ Nếu n lẻ (n =2m+1) thì
2 0
dx
p
= ò
Trang 192 2
3 x 3
− ≤ ≤
2 3
0
S = pũx + x dx
25 9
2 3
25 9
1
4
36
dt
S = pũ t
25
2
1
9 t dt
p
25 2
9
9 3t 1
p
27 27
p
+ VD: Tính diện tích mặt tròn xoay sinh bởi sự quay quanh trục
Ox của cung y=x 3 với
Vì tính đối xứng của đ ờng y=x 3 , chỉ cần tính 1/2 diện tích mặt tròn xoay ứng với x biến thiên từ 0 đến
Ta cú:
Đổi biến 1+ 9x 4 = t, ta đ ợc 36x 3 dx = dt,
t = 1 khi x= 0, t = khi x = 2
3
Do đú: