ÁP DỤNG LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH KHOẢNG XÁC ĐỊNH PHẢN ỨNG ĐỘNG CỦA HỆ KẾT CẤU CÓ MỘT BẬC TỰ DO

Động lực học là một môn quan trọng của ngành Cơ học Kết cấu bởi tính phức tạp so với tĩnh lực học khi có sự tham gia của thành phần “động” (vận tốc, gia tốc, ...) trong tính toán. Tuy vậy, do nó có nhiều ứng dụng quan trọng trong các ngành công trình đặc biệt là ngành xây dựng nên ngày càng được quan tâm nghiên cứu.

CỦA HỆ KẾT CẤU

CÓ MỘT BẬC TỰ DO

Ths PHÙNG QUYẾT THẮNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

Ch yên ngàn :Xây dựn cô g rìn Dân dụn và Cô g n hiệp

Mã số:6 58.20

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

HÀ NỘI 1 /2 1

LỜI CẢM ƠN

Với tên đề tài luận văn là “Áp dụng lý thuyết phân tích khoảng xác định phản

ứng động của hệ kết cấu có một bậc tự do” Ý tưởng ban đầu của đề tài là khá rõ

ràng nhưng trong quá trình triển khai thực hiện, chúng tôi thấy rằng vấn đề đặt ra

không đơn giản như ý tưởng ban đầu bởi đề tài liên quan nhiều đến kiến thức toán

và kỹ năng lập trình Đây có thể xem là một dạng kiến thức tổng hợp liên quan đến nhiều lĩnh vực của toán học, tin học và động lực học kết cấu công trình Ngoài ra, các tài liệu liên quan hầu hết bằng tiếng Anh cũng gây trở ngại không nhỏ và đôi

chỗ nhầm lẫn khiến chúng tôi mất khá nhiều công sức và thời gian trong suốt thời

gian qua

Nhìn lại cả quá trình thực hiện đề tài, nhiều thời điểm tác giả cảm thấy khá bế

tắc bởi nội dung nghiên cứu tương đối trừu tượng, không biết đâu là con đường

cuối cùng để hướng tới Dù kết quả trong luận văn chưa đạt được kỳ vọng như ban đầu (tất cả nghiệm của mô hình Taylor bao sát bên ngoài nghiệm của Monte-Carlo) nhưng đây là sự cố gắng nỗ lực không biết mệt mỏi của chúng tôi trong suốt thời gian qua

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình tới các thầy cô Khoa Xây dựng và Khoa Đào tạo Sau đại học Chúc các thầy, các cô luôn giữ vững niềm đam mê và nhiệt huyết để tiếp thêm sức mạnh cho thế hệ trẻ ngày càng trưởng thành hơn trong nghề nghiệp và chuyên môn

Cuối cùng, tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc của mình tới gia đình, thầy Thành, anh Toan, các bạn thân cùng bạn bè ở lớp cao học khóa 2-

2009, công ty TNHH Tư vấn thiết kế Cimas và diễn đàn Ketcau.com đã luôn động viên, ủng hộ tác giả trong suốt chặng đường cao học đã qua, một chặng đường đầy gian nan và thử thách!

Hà Nội, mùa thu 2011

Phùng Quyết Thắng

MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH VẼ iv

DANH MỤC BẢNG BIỂU v

DANH MỤC BIỂU ĐỒ vi

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 5

1.1 TỔNG QUAN 5

1.2 ĐẶT VẤN ĐỀ 7

1.2.1 Bài toán tĩnh học 7

1.2.2 Bài toán động lực học 7

1.3 SỰ CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI 11

1.4 PHƯƠNG HƯỚNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 12

1.4.1 Phương pháp Monte-Carlo 13

1.4.2 Phương pháp Mô hình Taylor 14

1.4.3 Nhận xét 15

1.5 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 16

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 17

2.1 ĐẠI SỐ KHOẢNG 17

2.1.1 Số học khoảng 17

2.1.2 Các phép toán của số học khoảng 18

2.1.3 Hàm số khoảng 21

2.1.4 Véc tơ khoảng, ma trận khoảng 22

2.1.5 Đặc trưng cơ bản của lý thuyết phân tích khoảng 23

2.2 MÔ HÌNH TAYLOR 30

2.2.1 Khái niệm 30

2.2.2 Xây dựng mô hình Taylor 30

2.2.3 Phép toán số học trong mô hình Taylor 31

2.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG ĐỐI VỚI CÁC BÀI

TOÁN ĐIỀU KIỆN ĐẦU (ODEs IVP) 32

2.3.1 Dạng phương trình 32

2.3.2 Phương pháp giải chung 33

2.3.3 Thuật toán VSPODE giải ODEs IVP 34

2.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 43

CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN GIẢI QUYẾT 44

3.1 QUY TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH TAYLOR 44

3.1.1 Quy đổi phương trình động lực học về ODEs IVP 44

3.1.2 Thuật toán VSPODE giải ODEs IVP 44

3.2 QUY TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO 48

3.2.1 Nghiệm giải tích của phương trình vi phân 48

3.2.2 Các bước thực hiện 48

3.3 PHẦN MỀM THỰC HIỆN TÍNH TOÁN 49

3.4 THỰC HIỆN MÔ PHỎNG SỐ 53

3.4.1 Kết quả tính toán của chương trình tại ω = 0.8ω’D 54

3.4.2 Kết quả tính toán của chương trình tại ω = 0.5ω’D 75

3.4.3 Kết quả tính toán của chương trình tại ω = 0.3ω’D 79

3.4.4 Đánh giá kết quả của hai phương pháp theo tỷ số tần số ω/ω’D 82

3.3.4 Kết luận 83

3.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 84

KẾT LUẬN 85

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

PHỤ LỤC 1

1 SỐ LIỆU TÍNH TOÁN THEO TỶ SỐ TẦN SỐ ω/ω’D = 0.3 1

1.1 Chuyển vị 1

1.2 Vận tốc 5

2 SỐ LIỆU TÍNH TOÁN THEO TỶ SỐ TẦN SỐ ω/ω’D = 0.5 9

2.1 Chuyển vị 9

2.2 Vận tốc 13

3 SỐ LIỆU TÍNH TOÁN THEO TỶ SỐ TẦN SỐ ω/ω’D = 0.8 17

3.1 Chuyển vị 17

3.2 Vận tốc 21

4 TỶ SỐ ĐỘ RỘNG CHUYỂN VỊ VÀ VẬN TỐC CỦA MÔ HÌNH TAYLOR SO VỚI MONTE-CARLO 25

4.1 Chuyển vị 25

4.2 Vận tốc 26

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31]

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1: Sơ đồ thực hiện và triển khai luận văn 4

Hình 2: Hệ kết cấu dao động một bậc tự do có cản nhớt 8

Hình 3: Hình ảnh minh họa phương pháp Monte-Carlo 13

Hình 4: Biểu đồ tọa độ (x,y) với R=50 (lần thử) 14

Hình 5: Mối quan hệ giữa các phương pháp tính toán 16

Hình 6: Biểu diễn số học khoảng X hai chiều 17

Hình 7: Độ rộng, giá trị tuyệt đối và điểm giữa của số khoảng X 17

Hình 8: Chương trình MATLAB tính toán VD 9 25

Hình 9: Ảnh các miền bao của hàm f(x,y) 27

Hình 10: Biểu đồ tọa độ f(x+y,y-x) bằng phương pháp Mote-Carlo 27

Hình 11: Hiệu ứng bao phủ với dao động điều hòa 28

Hình 12: Giảm hiệu ứng bao bằng cách chuyển hệ trục tọa độ 29

Hình 13: Hình ảnh nghiệm của bài toán ODEs - IVP 33

Hình 14: Hình ảnh nghiệm sơ bộ của bài toán ODEs IVP 37

Hình 15: Hình ảnh minh họa giai đoạn 2 của thuật toán 40

Hình 16: Hình ảnh chương trình chính Taylormodel_OK1.m 50

Hình 17: Hình ảnh lập trình tính mô hình Taylor trong Taylormodel_OK1.m 50

Hình 18: Hình ảnh lập trình tính Monte-Carlo trong Taylormodel_OK1.m 50

Hình 19: Hình ảnh thân chương trình con Giaidoan01.m 51

Hình 20: Hình ảnh thân chương trình con Giaidoan02.m 51

Hình 21: Hình ảnh thân chương trình con (DH_bac_3.m) tính đạo hàm riêng 51

Hình 22: Hình ảnh xuất kết quả ra màn hình của Taylormodel_OK1.m 52

Hình 23: Các chỉ tiêu đánh giá 68

Hình 24: Các trường hợp biểu đồ bao của hai phương pháp 70

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1: Phép nhân khoảng hai số thực 19

Bảng 2: Lịch sử phát triển các thuật toán giải ODEs IVP 35

Bảng 3: Chuyển vị ở giai đoạn 1 của mô hình Taylor sau chu kỳ đầu tiên 55

Bảng 4: Vận tốc ở giai đoạn 1 của mô hình Taylor sau chu kỳ đầu tiên 56

Bảng 5: Chuyển vị ở giai đoạn 2 của mô hình Taylor sau chu kỳ đầu tiên 57

Bảng 6: Vận tốc ở giai đoạn 2 của mô hình Taylor sau chu kỳ đầu tiên 58

Bảng 7: Chuyển vị của mô hình Taylor và Monte-Carlo sau chu kỳ đầu tiên 59

Bảng 8: Vận tốc của mô hình Taylor và Monte-Carlo sau chu kỳ đầu tiên 60

Bảng 9: Chuyển vị quy đổi của mô hình Taylor và Monte-Carlo 64

Bảng 10: Vận tốc quy đổi của mô hình Taylor và Monte-Carlo 65

Bảng 11: Tiêu chí đánh giá thứ nhất “so sánh với lý thuyết” 69

Bảng 12: Tiêu chí đánh giá thứ hai “vị trí tương đối” 70

Bảng 13: Đánh giá kết quả chuyển vị của hai phương pháp 71

Bảng 14: Đánh giá kết quả vận tốc của hai phương pháp 72

Bảng 15: Tổng hợp các kết quả chuyển vị ứng với ω/ω’D =0.8 73

Bảng 16: Tổng hợp các kết quả vận tốc ứng với ω/ω’D =0.8 73

Bảng 17: Tổng hợp các kết quả chuyển vị ứng với ω/ω’D =0.5 75

Bảng 18: Tổng hợp các kết quả vận tốc ứng với ω/ω’D =0.5 76

Bảng 19: Tổng hợp các kết quả chuyển vị ứng với ω/ω’D =0.3 79

Bảng 20: Tổng hợp các kết quả vận tốc ứng với ω/ω’D =0.3 79

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 1: Chuyển vị và độ rộng tuyệt đối của mô hình Taylor và phương

pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω’D=0.8 61

Biểu đồ 2: Chuyển vị và độ rộng quy đổi của mô hình Taylor và phương pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω’D=0.8 66

Biểu đồ 3: Chuyển vị và độ rộng tuyệt đối của mô hình Taylor và phương pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω’D=0.5 77

Biểu đồ 4: Chuyển vị và độ rộng quy đổi của mô hình Taylor và phương pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω’D=0.5 78

Biểu đồ 5: Chuyển vị và độ rộng tuyệt đối của mô hình Taylor và phương pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω’D=0.3 80

Biểu đồ 6: Chuyển vị và độ rộng quy đổi của mô hình Taylor và phương pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω’D=0.3 81

Biểu đồ 7: Biểu đồ so sánh tỷ lệ độ rộng của mô hình Taylor so với Monte-Carlo 82

Biểu đồ 8: Biểu đồ so sánh tỷ lệ độ rộng của mô hình Taylor so với Monte-Carlo 82

DANH MỤC VÍ DỤ VD1: Giải bài toán tĩnh học trong hai trường hợp 7

VD2: Bài toán vi phân cấp hai 9

VD 3: Ví dụ minh họa sự cần thiết của đề tài 11

VD 4: Giải lại VD 3 theo phương pháp Monte-Carlo 13

VD5: Giải lại VD 3 theo phương pháp mô hình Taylor 14

VD6: Minh họa cách tính trong số học khoảng 20

VD7: Minh họa khái niệm miền bao 21

VD 8: Luật liên kết trong ma trận số học khoảng 23

VD9: Minh họa cách tính dạng trung tâm để giảm vấn đề phụ thuộc 24

VD10: Minh họa hiệu ứng bao phủ 26

VD11: Biểu diễn đại lượng khoảng = [1.4,1.6] theo đại lượng ngẫu nhiên Monte-Carlo với số lần thử = 1000 48

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Động lực học là một môn quan trọng của ngành Cơ học Kết cấu bởi tính phức tạp so với tĩnh lực học khi có sự tham gia của thành phần “động” (vận tốc, gia tốc, ) trong tính toán Tuy vậy, do nó có nhiều ứng dụng quan trọng trong các ngành công trình đặc biệt là ngành xây dựng nên ngày càng được quan tâm nghiên cứu Thực tế phân tích kết cấu của một công trình, ta hay gặp các số liệu về vật liệu, hình học, liên kết, tải trọng là những đại lượng không chắc chắn Những số liệu này ảnh hưởng trực tiếp đến các thông số tính toán của hệ kết cấu trong bài toán động lực học bao gồm các tham số đặc trưng (độ cứng, độ cản, khối lượng) và điều kiện ban đầu cho trước Vì vậy, kết quả thu được của hệ sau phản ứng (chuyển vị, vận tốc, gia tốc, ) cũng là kết quả không chắc chắn

Mô hình xác suất, thống kê được xây dựng phần nào đã giải quyết khá đầy đủ

và rõ ràng vấn đề không chắc chắn nêu trên Nhưng trong những trường hợp số liệu không đủ, không rõ ràng, không được phân loại thì người ta phải chuyển sang sử dụng các mô hình phi xác suất như lý thuyết tập mờ, phương pháp phân tích

khoảng, mô hình lồi, lý thuyết nhân chứng được xem là phù hợp hơn [1], [2]

Bên cạnh đó, nếu chỉ biết miền giá trị của tham số bất định mà không có thông tin nào thêm thì người ta thường sử dụng hàm phân bố đều trong lý thuyết xác suất Như vậy, sự thiếu hụt thông tin đã được bù đắp bởi ý kiến chủ quan của người phân tích Ferson và Ginzburg đã chứng minh rằng phương pháp xác suất có thể mang lại

những kết quả không chính xác [2] Để khắc phục điều này, lý thuyết khoảng được

đề xuất áp dụng Trong lý thuyết này, yếu tố không chắc chắn sẽ được biểu diễn tốt nhất dưới dạng khoảng giá trị của nó với giá trị bị chặn dưới là và giá trị chặn trên

là Cách biểu diễn này là phù hợp trong thực tế giải các bài toán động lực học công trình vì nó tránh được việc phải tốn kém xây dựng mô hình xác suất (dựa trên rất nhiều số liệu thống kê) đối với các tham số bất định của bài toán Đây là lý do

cho việc chọn đề tài theo hướng áp dụng lý thuyết phân tích khoảng xác định phản

ứng động của hệ kết cấu có một bậc tự do

2 MỤC ĐÍCH CỦA NGHIÊN CỨU

Lý thuyết phân tích khoảng và đặc biệt là mô hình Taylor hiện được rất nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm Mục đích của tác giả trong luận văn là tìm hiểu, học tập và áp dụng kiến thức này vào lĩnh vực của ngành xây dựng trong đó

có lĩnh vực động lực học

Luận văn còn là sự tổng hợp, đúc kết lại các kiến thức mà tác giả được giảng dạy trong chương trình đào tạo thạc sỹ đồng thời đây cũng là cơ hội tốt để tác giả học thêm nhiều kỹ năng khác như: dịch tài liệu, lập trình tin học, soạn thảo văn bản chuyên nghiệp, từ đó phục vụ cho các công việc chuyên môn sau này

Luận văn cũng là bước thực tập làm khoa học để tác giả vững tin thực hiện các

đề tài tiếp theo trong tương lai

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu mà luận văn đề cập là phương pháp mô hình Taylor dựa trên lý thuyết phân tích khoảng Phương pháp này sẽ được so sánh với phương pháp xác suất thống kê Monte-Carlo để kiểm tra, đánh giá kết quả tính toán của nó

Phạm vi nghiên cứu của luận văn ở đây chỉ xét bài toán với hệ kết cấu đàn hồi

tuyến tính có một bậc tự do chịu tác động của ngoại lực tác động điều hòa Trong

đó, ngoại lực có độ lớn và tần số tất định, hệ có điều kiện đầu và các tham số đặc trưng là đại lượng khoảng Với hệ kết cấu nhiều bậc tự do, nội dung trình bày trong

luận văn vẫn áp dụng được nhưng khối lượng tính toán tương đối lớn

4 CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU

Lý thuyết phân tích khoảng là một trong nhiều phương pháp tiếp cận vấn đề theo hướng phi xác suất bên cạnh các phương pháp như: lý thuyết tập mờ, mô hình lồi, lý thuyết nhân chứng, Trong nhiều năm qua, rất nhiều nhà khoa học trên thế giới đã nghiên cứu lý thuyết này ứng dụng vào vật lý, toán học và bước đầu được áp dụng vào ngành xây dựng khi gặp các vấn đề mà lý thuyết xác suất bị hạn chế Một trong những hướng phát triển quan trọng trong những năm qua của lý thuyết phân tích khoảng là phương pháp mô hình Taylor Đây là phương pháp dựa trên chuỗi khai triển Taylor kết hợp với miền dư được Berz và các cộng sự của ông nghiên cứu trong nhiều năm qua bên cạnh các tên tuổi khác như Neher, Corliss, Nedialkov,

Chuỗi Taylor kết hợp với miền dư ở đây là các phép toán có độ chính xác cao

(high precision operation) nằm trong nhóm các phương pháp như: phương pháp Newton, phương pháp Newton khoảng, phương pháp theo tiêu chuẩn Leibniz và

phương pháp tổng Kahan [31]

Phương pháp mô hình Taylor cũng là một trong những hướng nghiên cứu của

lĩnh vực toán tối ưu toàn cục (global optimization) mà một trong những người khai

sinh ra nó là Hoàng Tụy [8]

Hiện nay trên thế giới một vài nhóm tác giả nghiên cứu phương pháp mô hình

Taylor áp dụng vào lĩnh vực cơ học kết cấu như Thouverez, Elishakoff [7] nhưng

mới chỉ dừng lại ở các nghiên cứu cơ sở Ở Việt Nam, lý thuyết phân tích khoảng mới bước đầu được nghiên cứu trong ngành xây dựng với các bài báo của Trần Văn

Liên về phương pháp đại số khoảng ứng dụng phân tích kết cấu thanh theo phương

pháp phần tử hữu hạn (2009) [1], [2] nhưng chưa đưa ra hướng nghiên cứu để giải

quyết các vấn đề đặc trưng của lý thuyết phân tích khoảng Hiện nay, phương pháp

mô hình Taylor hiện chưa có bài báo hoặc đề tài nào công bố chính thức ở Việt

Nam Theo tác giả, đây là hướng nghiên cứu còn khá mới ở nước ta, có thể áp dụng

phương pháp này vào nhiều lĩnh vực của ngành xây dựng như: cơ học đất, động lực học và chế ngự dao động, độ tin cậy và tuổi thọ công trình, dự báo động đất,

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp nghiên cứu trong luận văn là tiếp cận lý thuyết phân tích khoảng

và phương pháp mô hình Taylor trên cơ sở lý thuyết Sau đó, lập trình một chương

trình trên MATLAB để tính toán cho bài toán cụ thể; từ đó kiểm tra, đánh giá kết

quả của phương pháp theo chương trình đã lập

Hình 1 dưới đây là sơ đồ tóm tắt các bước thực hiện trong luận văn:

Hình 1: Sơ đồ thực hiện và triển khai luận văn

KẾT QUẢ 1

KẾT QUẢ 2

Bài toán ĐỘNG LỰC HỌC tham số là đại lượng Khoảng

Phương pháp

Monte – Carlo

Phương pháp

Mô hình Taylor

Biểu diễn dữ liệu

đầu vào dưới dạng

đại lượng ngẫu nhiên

Phương pháp Taylor model thông thường

Phương pháp Taylor model chứa tham số

Thay thế đại lượng

ngẫu nhiên vào

nghiệm giải tích

Giai đoạn 1

Tìm nghiệm sơ bộ duy nhất

Giai đoạn 2

Tìm nghiệm chặt từ giai đoạn 1

SO SÁNH

KẾT LUẬN

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU

1.1 TỔNG QUAN

Khái niệm khoảng thực chất không phải là mới Khoảng số học được biết đến

từ lâu với số của nhà bác học Archimedes khi ông thực hiện nội tiếp và ngoại tiếp

đường tròn một đa giác 96 cạnh để thu được kết quả xấp xỉ của số [10]

3 +10

71 < < 3 +

1

Mãi sau này (1951), người ta mới tìm thấy một ấn phẩm xuất bản ở Nga [10]

về số học khoảng được trình bày khá chi tiết và rõ ràng về quy tắc tính cũng như xem nó như một công cụ của phương pháp số Và nó chỉ thực sự trở thành một

phương pháp và biết đến rộng rãi khi Moore bảo vệ luận án tiến sỹ năm 1966 [10]

Đến những năm 1990, phương pháp phân tích khoảng đã được ứng dụng vào các hệ kỹ thuật để biểu diễn các tham số không chắc chắn một cách đơn giản, gọn nhẹ và cho hiệu quả tính toán cao khi các tham số đó chỉ chứa thông tin về miền giá trị Lý thuyết phân tích khoảng có thể hỗ trợ cho các chứng minh, các phỏng đoán của con người trong đó phải kể đến phỏng đoán về quỹ đạo các hành tinh của

Kepler từng tồn tại gần 400 năm qua [19]

Ngoài ra, phương pháp phân tích khoảng có liên quan chặt chẽ đến các phương pháp đánh giá các yếu tố không chắc chắn khác như lý thuyết tập mờ, lý thuyết tập ngẫu nhiên, mô hình lồi, mô hình Dempster-Shafer, phương pháp biên xác suất, Ví dụ, một số mờ là một tập không đếm được của các khoảng tương ứng với mức độ thuộc Do đó phân tích mờ có thể được biểu diễn như là phân tích

khoảng với những mức độ thuộc khác nhau [2]

Tuy vậy, để xác định miền giá trị (miền bao) có giá trị sử dụng (validated bounds) dựa trên lý thuyết phân tích khoảng là tương đối khó khăn bởi vấn đề phân

kỳ của miền bao sau mỗi bước thời gian khi thực hiện các phép tính khoảng liên

quan đến phương trình vi phân Người ta chỉ ra rằng vấn đề phụ thuộc (dependency problems) và hiệu ứng bao phủ (wrapping effects) là nguyên nhân chính gây ra hiện

tượng phân kỳ nói trên [1], [16], [17], [19] Đây được xem là đặc trưng rất riêng

của toán học khoảng so với toán học thông thường

Để giải quyết vấn đề trên, một trong những hướng phát triển quan trọng trong những năm qua của lý thuyết phân tích khoảng là phương pháp mô hình Taylor

Đây là phương pháp dựa trên chuỗi khai triển Taylor kết hợp với miền dư (Taylor

expansion with remainder) được Berz và các cộng sự của ông nghiên cứu trong

nhiều năm qua bên cạnh các tên tuổi khác như Neher, Corliss, Nedialkov,

Chuỗi Taylor kết hợp với miền dư (mô hình Taylor) ở đây là các phép toán chính xác bậc cao nằm trong nhóm các phương pháp như: phương pháp Newton, phương pháp Newton khoảng, phương pháp theo tiêu chuẩn Leibniz và phương

pháp tổng Kahan [31]

Với tên gọi ban đầu “Số học Taylor nhiều chiều bao chặt với miền dư” được

đề xuất lần đầu tiên bởi nhà khoa học Lanford (1980) thì phải sau đó bốn năm (1984), nó mới được nhóm tác giả Eckmann, Kock, Wittwer chứng minh chi tiết Đến năm 1996, phương pháp này mới được biết đến nhiều hơn với những nghiên cứu độc lập của tập thể nhóm tác giả Berz, Makino, Hoefkens và mang tên gọi

“phương pháp mô hình Taylor” đến bây giờ [27]

Từ đó đến nay, rất nhiều thuật toán được đề xuất nhằm làm giảm ảnh hưởng của vấn đề phụ thuộc dựa trên mô hình Taylor như AWA của Lohner (1988),

COSY của Berz (1997) [26] Một trong những ứng dụng nổi bật của mô hình

Taylor là sử dụng tích phân xác định để tính phản ứng động lực học của các hành

tinh trong hệ mặt trời năm 2001 [27] Ngoài ra có thể kể đến một vài ứng dụng khác

như: ổn định của hạt gia tốc của Berz (1998), tính toán miền bao giá trị riêng của

ma trận của Brown (2003), độ tin cậy của mặt tương giao (2004),

Phương pháp mô hình Taylor cũng là một trong những hướng nghiên cứu của lĩnh vực toán tối ưu toàn cục mà một trong những người khai sinh ra nó là Hoàng

Tụy [8]

Hiện nay trên thế giới một vài nhóm tác giả nghiên cứu phương pháp mô hình

Taylor áp dụng vào lĩnh vực cơ học kết cấu như Thouverez, Elishakoff [7] nhưng

mới chỉ dừng lại ở các nghiên cứu cơ sở Ở Việt Nam, lý thuyết phân tích khoảng mới bước đầu được nghiên cứu trong ngành xây dựng với các bài báo của Trần Văn

Liên về phương pháp đại số khoảng ứng dụng phân tích kết cấu thanh theo phương

pháp phần tử hữu hạn (2009) [1], [2] nhưng chưa đưa ra hướng nghiên cứu để giải

quyết các vấn đề đặc trưng của lý thuyết phân tích khoảng Hiện nay, phương pháp

mô hình Taylor hiện chưa có bài báo hoặc đề tài nào công bố chính thức ở Việt

Nam Theo tác giả, đây là hướng nghiên cứu còn khá mới ở nước ta, có thể áp dụng

phương pháp này vào nhiều lĩnh vực của ngành xây dựng như: cơ học đất, động lực học và chế ngự dao động, độ tin cậy và tuổi thọ công trình, dự báo động đất,

Với mục đích nêu trên, tác giả mạnh dạn chọn đề tài “Áp dụng lý thuyết phân

tích khoảng xác định phản ứng động của hệ kết cấu có một bậc tự do” làm đề tài

luận văn thạc sỹ của mình với sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Xuân Thành Thuật toán đưa ra trong luận văn cho kết quả tốt so với kết quả thu được từ phương pháp Monte-Carlo và có thể ứng dụng vào thực tế tìm khoảng phản ứng động của hệ kết

trong đó:

 : chuyển vị của hệ kết cấu

 : độ cứng của hệ kết cấu

 : ngoại lực tác động lên hệ kết cấu

Khi đại lượng , là các giá trị xác định thì nghiệm xác định dễ dàng Nhưng khi đại lượng , là các đại lượng dạng khoảng thì vấn đề trở nên khó khăn hơn, liên quan nhiều đến vấn đề cực trị hoặc các vấn đề xác suất thống kê trong toán học Nhưng đó không phải là bản chất vấn đề của đại lượng dạng khoảng Vì vậy, một lý thuyết mới được xây dựng và không ngừng phát triển trong hơn 50 năm qua

được đặt tên là lý thuyết phân tích khoảng (interval analysis theory) [19]

VD1: Giải bài toán tĩnh học trong hai trường hợp

a) Khi = 3; = 10 là dạng giá trị xác định thì nghiệm của (1.2) là =/ = 3/10 = 0.3 dễ dàng tìm được không mấy khó khăn

b) Khi = [2.95,3.05] ; = [49.5,50.5] là dạng giá trị khoảng thì nghiệm của (1.2) cũng dễ dàng tìm được khi ứng dụng lý thuyết phân tích khoảng:

= = [2.95,3.05]

[49.5, 50.5]=

2.9550.5,

3.0549.5 = [0.0584, 0.0617]

Ở đây, là thương của hai biến số , đều nằm trong giá trị khoảng Cận dưới

và cận trên của được tính toán sao cho nó đạt (tử nhỏ, mẫu lớn) và (tử lớn, mẫu nhỏ) Bạn đọc có thể tham khảo mục 2.1.1 Số học khoảng Chương 2 để hiểu rõ hơn công thức tính toán

1.2.2 Bài toán động lực học

Xét bài toán dao động của hệ kết cấu một bậc tự do có phương trình vi phân cấp hai tuyến tính tham số hằng:

Đây là hệ kết cấu phổ biến và đơn giản nhất trong nghiên cứu động lực học công trình nhưng rõ ràng việc tìm nghiệm của nó phức tạp hơn so với hệ tĩnh lực học ở phương trình (1.2) bởi sự tham gia của yếu tố vi phân

Hiện nay, lý thuyết động lực học đã cung cấp hầu hết lời giải cho việc tìm nghiệm giải tích của hệ (1.3) khi , , , là các đại lượng xác định [4] Bên cạnh

đó, những phương pháp giải gần đúng phương trình (1.3) như phương pháp số kết

hợp với lý thuyết phân tích khoảng cũng có thể áp dụng được [12]

 : khối lượng của hệ kết cấu

 : tần số riêng không cản của hệ

 : tần số riêng có cản của hệ

 : tỷ lệ cản

 : chuyển vị ban đầu của dao động tại thời điểm = 0

 : vận tốc ban đầu của dao động tại thời điểm = 0

 : chu kỳ dao động của hệ không cản

 : chu kỳ dao động của hệ có cản

 : tần số dao động cưỡng bức (rad/s)

 : độ lớn của lực kích thích

Trong biểu thức (1.4), số hạng đầu là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (với vế phải của phương trình (1.3) = 0); số hạng thứ hai là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (với vế phải của phương trình (1.3) ≠ 0)

và còn được gọi là nghiệm bình ổn

Đạo hàm chuyển vị theo thời gian biểu thức (1.4), ta có vận tốc của hệ kết cấu

có dạng như sau:

VD2: Bài toán vi phân cấp hai

Tìm chuyển vị ( ) của một hệ kết cấu biết:

 Điều kiện ban đầu: (0) = = 0.01; (0) = = 0.01

 Tham số đặc trưng ( , , ) = (50, 1.5, 3)

 Lực ( ) có dạng tuần hoàn: ( ) = 2 sin ớ = 1.0

Giải

Thay các số liệu vào phương trình (1.3) ta có:

3 ̈ ( ) + 1.5 ̇ ( ) + 50 ( ) = 2 (1.13) Tính hệ số theo công thức (1.9) và (1.10) được: = 0.0612 < 1

Nghiệm của phương trình (1.13) được tính theo công thức (1.4) Tính các hệ số theo biểu thức từ (1.5) đến (1.11), ta có:

thử rất lớn tỏ ra không phù hợp Khi đó, việc áp dụng đại lượng khoảng vào công thức giải tích (1.4) như trường hợp tĩnh học còn hợp lý không?

1.3 SỰ CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Theo cách thông thường, chúng ta sẽ áp dụng lý thuyết phân tích khoảng vào phương trình (1.3) bằng cách thay trực tiếp các đại lượng khoảng vào biểu thức (1.4) và (1.12) Khi đó, ta nhận được kết quả sau phản ứng của hệ là các giá trị khoảng mở rộng, phân kỳ theo thời gian Những kết quả này thường không có giá trị sử dụng so với các phương pháp có độ tin cậy khác Đây là vấn đề gây khó khăn cho nhiều người từng quan tâm đến lý thuyết này Dưới đây xét một ví dụ khá đơn giản đối với hàm một biến áp dụng lý thuyết phân tích khoảng để từ đó tìm nguyên

nhân của hiện tượng mở rộng trên

VD 3: Ví dụ minh họa sự cần thiết của đề tài

Tính giá trị của biểu thức ( ) với = [2, 3] theo lý thuyết phân tích khoảng

= 1 + 1

[1, 2]= 1 + [0.5,1] = [1.5, 2]

Chú ý: xem thêm các tính chất về đại lượng khoảng ở mục 2.1 ĐẠI SỐ KHOẢNG,

Chương 2 để hiểu hơn về cách tính trình bày ở ví dụ 3

Chúng ta nhận được hai kết quả khác nhau từ cùng một biểu thức Vậy, kết quả nào là đáng tin cậy? Bản chất của “hiện tượng” trên do đâu?

Về mặt toán học, đây là bài toán tìm miền giá trị hàm số ( ) với 2 ≤ ≤ 3 Lời giải của bài toán như sau:

Ta có:

( ) = − 1

( − 1) < 0 nên ( ) là hàm nghịch biến trong khoảng [2,3] Khi đó, = (3) = 1.5;

= (2) = 2 Vì vậy, miền giá trị của ( ) là 1.5 ≤ ( ) ≤ 2 Đối chiếu với hai cách đã làm thì cách 2 là lời giải chính xác của bài toán!

Với bài toán đơn giản chỉ có một biến như VD 3, việc áp dụng lý thuyết phân tích khoảng là không hợp lý Nhưng qua ví dụ này, tác giả muốn chỉ ra một đặc trưng rất khác biệt của lý thuyết này so với lý thuyết toán thông thường để từ đó tìm

ra cách giải quyết vấn đề mà luận văn đặt ra Đó là bài toán vi phân nhiều biến được biểu diễn bởi phương trình (1.3) đã nêu ở trên

Bản chất của “hiện tượng mở rộng” ở đây là do lý thuyết phân tích khoảng

không có khả năng nhận diện được các biến có sự lặp lại trong cùng một biểu thức

nên khi thay giá trị khoảng vào biểu thức chưa “xử lý” thì miền giá trị này bị mở rộng so với kết quả thực tế Đây là một trong những đặc trưng rất riêng của lý

thuyết phân tích khoảng, được đặt tên là vấn đề phụ thuộc cùng với ảnh hưởng của

độ trực giao Descartes Từ đó ảnh hưởng đến kết quả tính toán khi kết quả này được truyền tới kết quả tính toán tiếp theo như bài toán giải phương trình vi phân bằng phương pháp số (chi tiết xem tại mục 2.1.5 Đặc trưng cơ bản của lý thuyết phân tích khoảng, Chương 2)

Như vậy, chúng ta không thể áp dụng lý thuyết phân tích khoảng bằng cách

“thay trực tiếp” vào biểu thức giải tích (1.4) mà không có biện pháp xử lý sai số do các đặc tính của lý thuyết phân tích khoảng đã nêu ở trên dẫn đến sự cần thiết phải

có một phương pháp tiếp cận để giải quyết vấn đề này

1.4 PHƯƠNG HƯỚNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Để giải quyết vấn đề đặt ra, phương pháp mới mô hình Taylor dựa trên chuỗi đại số Taylor hiện đang được nghiên cứu và ứng dụng trong một vài năm trở lại đây Bên cạnh đó, phương pháp cổ điển Monte-Carlo dựa trên cơ sở lý thuyết xác suất thống kê được áp dụng để kiểm định kết quả của bài toán

1.4.1 Phương pháp Monte-Carlo

Với lịch sử ra đời cùng với sự xuất hiện của máy tính điện tử những năm 40 của thế kỷ trước, phương pháp Monte-Carlo là phương pháp giải “thô” một cách nhanh chóng các bài toán nhiều chiều trong giải tích số cũng như được sử dụng để tiến hành và quan sát trên máy tính điện tử các thí nghiệm theo kiểu mô phỏng của việc xuất hiện các hiện tượng ngẫu nhiên trong nhiều bài toán quan trọng của toán học,vật lý và của nhiều lĩnh vực khác

Bằng cách sử dụng đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều, phương pháp Carlo được sử dụng ở đây với mục đích quy đổi đại lượng giá trị khoảng thành đại lượng số xác định bằng một số lượng lớn mẫu thử ngẫu nhiên Từ đó cho ta một miền kết quả cần tìm Do đó, mẫu thử càng lớn thì độ chính xác của kết quả càng cao, đạt tới “miền giới hạn của kết quả” tạo thành một miền biên, bao xung quanh Đây có thể xem là “phương pháp liệt kê phần tử”

Monte-Hình 3: Monte-Hình ảnh minh họa phương pháp Monte-Carlo (chấm tròn thể hiện phần tử kết quả Monte-Carlo)

VD 4: Giải lại VD 3 theo phương pháp Monte-Carlo

Giải

Chọn ngẫu nhiên các giá trị trong khoảng = [2,3] với phép thử = 50:

= {2, 2.1, 2.3, 2.5, … , 3}

Thay lần lượt vào biểu thức (1.14), ta thu được kết quả tương ứng Một vài

ví dụ của kết quả tính toán như sau:

2.51.5= 1.667 (2.1) = 2.1

2.1 − 1 =

2.11.1= 1.909 (2.9) =

2.92.9 − 1=

2.91.9= 1.526

(2.3) = 2.3

2.3 − 1 =

2.31.3= 1.769 (3.0) =

3

3 − 1=

3

2= 1.50

Hình 4: Biểu đồ tọa độ (x,y) với R=50 (lần thử)

Từ đồ thị Hình 4, ta thấy kết quả là một dải các điểm có giá trị tung độ trong khoảng [1.5, 2.0], trùng với kết quả của cách 2 VD 3

Ưu điểm của phương pháp Monte-Carlo là đơn giản, dễ thực hiện khi chỉ cần thực hiện “phép lặp lại” nhưng số lượng lặp phải đủ lớn để đạt kết quả chính xác

Do đó, vấn đề thời gian và khả năng hỗ trợ của máy tính điện tử là vấn đề quan trọng trong phương pháp này

1.4.2 Phương pháp Mô hình Taylor

Nhằm giải quyết các vấn đề đặc trưng của lý thuyết phân tích khoảng, một phương pháp mới được ra đời từ những năm 1980 đã mở ra một trang mới cho sự phát triển của phương pháp phân tích khoảng Phương pháp mới đó được đặt tên là

mô hình Taylor vì dựa trên chuỗi Taylor đại số khoảng kết hợp với phần dư để chuyển các hàm toán học phức tạp (lượng giác, logarit, hàm mũ ) về hàm đa thức

Mô hình Taylor gồm hai phần: phần đa thức (số hạng đầu) và phần dư (số hạng sau), ký hiệu là ( , ):

VD5: Giải lại VD 3 theo phương pháp mô hình Taylor

tụ” giảm đi nhiều Do đó, đây là một phương pháp gần đúng

Kết quả của phương pháp mô hình Taylor luôn “bao sát bên ngoài” miền kết quả mang tính liệt kê của phương pháp Monte-Carlo Điều này được đề cập và

chứng minh khá đầy đủ trong luận án tiến sỹ của tác giả Wittig (2011) [31] Do đó,

vấn đề “sót nghiệm” do phép thử không đủ lớn của phương pháp Monte-Carlo sẽ được giải quyết

Hình 5 dưới đây là hình ảnh minh họa kết quả của ba phương pháp: phương

pháp mô hình Taylor, phương pháp khoảng và phương pháp Monte-Carlo [31]

Hình 5: Mối quan hệ giữa các phương pháp tính toán

 Dấu ++ (xanh lá cây): phương pháp Monte-Carlo

 Hình chữ nhật (xanh nhạt): phương pháp phân tích khoảng

 Đường cong (xanh lam): phương pháp Mô hình Taylor

Tư Hình 5 cho ta thấy, trong hai phương pháp sử dụng lý thuyết khoảng thì phương pháp mô hình Tayor cho kết quả phù hợp hơn với phương pháp Monte-Carlo (kết quả bao sát bên ngoài phương pháp Monte-Carlo), hiện tượng mở rộng miền bao bị hạn chế đáng kể Vì vậy, luận văn này sử dụng phương pháp mô hình Taylor để tìm lời giải cho bài toán động lực học hệ kết cấu một bậc tự do Sau đó, kết quả tìm được sẽ được so sánh và đánh giá với phương pháp Monte-Carlo

1.5 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Việc ra đời phương pháp mô hình Taylor đã phần nào giải quyết được các đặc trưng rất riêng của toán học khoảng so với toán học thông thường Vì vậy, phương pháp mô hình Taylor đang là hướng nghiên cứu nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trên thế giới Hiện nay, phương pháp này cũng đang bước đầu được nghiên cứu, ứng dụng vào ngành xây dựng Vì vậy, việc tìm hiểu, học tập và ứng dụng phương pháp này là điều rất cần thiết đối với tác giả và những bạn quan tâm đến lý thuyết phân tích khoảng trong thời gian

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 ĐẠI SỐ KHOẢNG

2.1.1 Số học khoảng

Số học khoảng (interval arithmetic) = , = { ∈ R : ≤ ≤ } là

tập hợp các số thực nằm giữa hai giá trị gọi là cận dưới infimum và gọi là cận

trên supremum [19]

Nếu có dạng phức tạp hơn, cận dưới và cận trên được viết dưới dạng:

= ( ) ; = ( ) (2.1) Hình 6 biểu diễn hình ảnh của số học khoảng hai chiều = [( , ); ( , )]

Hình 6: Biểu diễn số học khoảng X hai chiều

Tập hợp tất cả các số khoảng được ký hiệu là ℝ Điểm giữa ( ), bán kính ( ), độ rộng ( ), giá trị tuyệt đối ( ) của khoảng :

d

x y

2.1.2 Các phép toán của số học khoảng

 Phép nhân số học khoảng có 9 trường hợp cụ thể sau:

Bảng 1: Phép nhân khoảng hai số thực

 Nếu ( ) ≠ 0 thì có thể phân tích thành hai thành phần: phần xác định (trung điểm) ( ) và phần khoảng 1 +

trong đó:

=( )− 1 =

( ) , −

( )( ) , ℎ ( ) < 0

(2.17)

Với gọi là nhân tử khoảng, là số đo sự biến thiên của đối với điểm giữa ( ) của nó Một khoảng có 2% không chắc chắn (đối với điểm giữa) nghĩa là = [−0.01,0.01] và = ( ) (1 + [−0.01,0.01] )

 Khái niệm hai toán tử đối nhau trong số học khoảng không tồn tại, nghĩa là: + (− ) = , + − , − = − , − = ( ) [−1,1] ≠ 0

VD6: Minh họa cách tính trong số học khoảng

2.1.3.2 Miền giá trị của hàm

Miền giá trị của hàm là miền giới hạn tập giá trị mà hàm có được

Cho: ∶ → thì ( , ) ≔ { ( )| ∈ }

2.1.3.3 Miền bao của hàm F

Cho ∶ ⊆ → là một hàm liên tục thì hàm bao (inclusion function) của là một hàm khoảng sao cho : ℝ → ℝ là miền bao của với mọi khoảng đóng ⊆ ; tức là: ( )⊇ ( , ) ớ ọ ⊆

VD7: Minh họa khái niệm miền bao

Cho ( ) = − 2 = ( − 2) = ( − 1) − 1 thì hàm bao là:

ta tìm cách giảm sự lặp lại của biến, đưa các biến về dạng trung tâm

Ở ví dụ trên, miền bao “chặt nhất” của hàm là ( )

2.1.4 Véc tơ khoảng, ma trận khoảng

Một ma trận khoảng ∈ ℝ × là một ma trận mà các phần tử của nó là các khoảng = [ , ] với = 1, … , ; = 1, … , ; ℝ × biểu thị tập của tất cả các ma trận khoảng có kích thước ×

Cận dưới, cận trên, điểm giữa, giá trị tuyệt đối của ma trận khoảng được định nghĩa tương tự như số học khoảng

Ma trận khoảng kích thước × 1 gọi là một véc tơ khoảng, biểu diễn bằng

Do đặc trưng của số học khoảng, một vài luật đại số đúng cho các phép toán

ma trận số thì chỉ đúng ở dạng yếu hơn cho các phép toán ma trận khoảng Các luật

đại số được Neumier đưa ra như sau [1]:

( ) ⊆ ( ) cho ∈ ℝ × , ∈ ℝ × , ∈ ℝ × (2.20) ( ) ⊆ ( ) cho ∈ ℝ × , ∈ ℝ × , ∈ ℝ × (2.21) ( ) ⊆ ( ) cho ∈ ℝ × , ∈ ℝ × , ∈ ℝ × (2.22) ( ) ⊆ ( ) cho ∈ ℝ × , ∈ ℝ × , ∈ ℝ × (2.23) ( ) ⊆ ( ) cho ∈ ℝ , ∈ ℝ × , ∈ ℝ × (2.24)

VD 8: Luật liên kết trong ma trận số học khoảng

Do không có khả năng nhân diện được sự lặp lại của các biến trong biểu thức

tính toán nên phương pháp khoảng chịu ảnh hưởng rất lớn với sự ước lượng quá

mức (overestimation) thường dẫn đến sai số không thể chấp nhận được Đặc trưng

này được gọi tên là vấn đề phụ thuộc [19], [25]

Trong chương mở đầu, chúng ta đã có dịp đề cập đến nó Nhìn chung, nó không dễ dàng bị loại bỏ Vì vậy, để giảm bởt sự ước lượng quá mức, giá trị lựa

chọn thường ở dạng trung tâm (centered form) [19]

Dạng trung tâm ( ) là cách biểu diễn hàm khoảng ( ) có dạng bậc hai như sau: Cho hàm ( ) thì miền bao dạng trung tâm của ( ) là

3 Dạng trung tâm cũng chính là một dạng của định lý trung bình trong toán học

Định lý giá trị trung bình (mean-value theorem) phát biểu như sau:

Cho hàm số ( ) và hai vector , Tồn tại vector sao cho < < để

trong đó:

 ( ): Jacobian của biểu thức ( ), là đạo hàm bậc nhất đối với vector và , tương ứng với ( ) trong công thức (2.25)

Hình 8: Chương trình MATLAB tính toán VD9

Do vấn đề phụ thuộc, chỉ một số luật đại số của số thực vẫn còn đúng trong cho đại số khoảng Các luật đại số khác chỉ giữ ở dạng yếu hơn Nguyên tắc chung

áp dụng đối với phép toán khoảng [1] là:

Thứ nhất, hai biểu thức đại số tương đương trong đại số thực thì cũng tương đương trong đại số khoảng khi mà tất cả các biến xuất hiện chỉ một lần Nếu , , ∈ ℝ thì

⁄ ⊆ ⁄ (Luật giản ước phụ) (2.34)

0 ∈ − , 1 ∈ / (Luật giản ước phụ) (2.35) Vấn đề phụ thuộc làm cho luật phân bố, luật giản ước của đại số không còn phù hợp và gây nhiều khó khăn để có kết quả chính xác đối với các tính toán khoảng phức tạp Thành công của phép tính phân tích khoảng phụ thuộc đáng kể

vào việc giảm bớt sự phụ thuộc [1] Vấn đề này ảnh hưởng trực tiếp đến các kết quả

của số học khoảng của việc tính toán đạo hàm của hệ số chuỗi khoảng Taylor trong luận văn Do đó, khi lập trình tính đạo hàm một cách tự động, tác giả cũng đã lưu ý

đến việc xử lý sự sắp xếp của các luật đại số kể trên

2.1.5.2 Hiệu ứng bao phủ

a Khái niệm

Chúng ta sẽ tìm hiểu hiệu ứng bao phủ qua ví dụ dưới đây:

VD10: Minh họa hiệu ứng bao phủ

Xét hàm số:

: ( , ) →√2

2 ( + , − ) ớ ( , ) = ([−1,1], [−1,1]) Tìm ảnh của miền giá trị ( , ) trên đồ thị

Hình 9: Ảnh các miền bao của hàm f(x,y)

Kiểm tra bằng Monte-Carlo thấy rằng các điểm giá trị ( , ) đều nằm trong miền bao hình vuông xoay Do đó, ảnh của miền giá trị ( , ) là hình vuông xoay

Hình 10: Biểu đồ tọa độ f(x+y,y-x) bằng phương pháp Mote-Carlo

với R=1500 (lần thử)

Như vậy, hàm nhiều biến ( ≥ 2) luôn tồn tại ảnh của miền giá trị là một hình hộp xoay, gọi tên là hiệu ứng bao phủ Đây là nguyên nhân thứ hai gây ra ước lượng quá mức trong phương pháp phân tích khoảng Nó xuất hiện khi các kết quả tính

toán trung gian là các giá trị khoảng [25] Hiệu ứng bao phủ được đề cập lần đầu tiên năm 1965 trong ấn phẩm [18] của Moore và của Lohner năm 2001 [13] khi

thực hiện quan sát các kết quả trong quá trình tính toán

Chú ý rằng ước lượng quá mức do hiệu ứng bao (diện tích miền bao ( , )

C D

- 2

2

- 2 f(x,y)

M Q

P

N

bằng hai lần diện tích của miền giá trị ( , )) không phải là kết quả của sự phụ

thuộc và ước lượng loại này là một vấn đề lớn trong số học khoảng khi áp dụng cho

ODEs [26]

Hình 11: Hiệu ứng bao phủ với dao động điều hòa

Hình 11 thể hiện ảnh hưởng của hiệu ứng bao phủ của dao động điều hòa sau

5 bước thời gian liên tiếp Nếu lấy miền bao số 1 (hình kẻ sọc bên trái phía ngoài cùng) là kết quả ban đầu thì do hiệu ứng bao phủ, miền bao số 2 bị mở rộng gấp 2 lần so với miền bao số 1 (được thể hiện bằng hình vuông ngoài cùng) Do kết quả lần trước được truyền lại cho kết quả tiếp theo nên miền bao mới thứ 3 lại tiếp tục

mở rộng gấp 2 lần so với kết quả trước đó, tức là gấp 4 lần so với kết quả số 1 Cứ như vậy miền bao lần thứ 5 đã gấp 16 lần so với miền bao thực tế ban đầu (hình gạch sọc nằm bên trong)

b Các phương pháp giảm hiệu ứng bao

Hiện nay có rất nhiều phương pháp khác nhau để giảm ảnh hưởng của hiệu ứng bao phủ như: phương pháp sắp xếp lại giá trị biểu thức, phương pháp biến đổi

hệ tọa độ, phương pháp elip, phương pháp zonotopes, [13] trong đó phương pháp

biến đổi tọa độ dạng trực giao gồm hai phương pháp: hình hộp và phân tách QR được nghiên cứu áp dụng trong luận văn để giảm hiệu ứng bao phủ Với tính ổn định tốt hơn, phương pháp phân tách QR sẽ được áp dụng trong luận văn

Sự khác biệt trong phương pháp hình hộp (parallel-piped) và phương pháp phân tách QR ở cách chọn ma trận (Xem công thức liên quan (2.62), (2.63), (2.64), (2.67), (2.68), (2.69) ở chương 2)

Đối với phương pháp hình hộp: chọn = ( ) Ma trận trong trường hợp này thường trở thành điều kiện yếu

Đối với phương pháp phân tách QR: ta đặt = ( ) và chọn

= Phép phân tách QR có tính chất = [28] nên cho tính ổn đinh

tốt hơn phương pháp hình hộp và cách chọn này luôn có một trục hợp với cạnh dài

nhất của tập miền bao (hình 2.3)

Hình 12: Giảm hiệu ứng bao bằng cách chuyển hệ trục tọa độ

Nếu là miền bao của biến khoảng hai chiều (Hình 12a) thì miền giá trị ( ) qua phép ánh xạ 1:1 tương ứng là miền bao { | ∈ } Do ảnh hưởng của hiệu ứng bao phủ nên kết quả nhận được lúc này là miền bao , là một hình chữ nhật lớn hơn rất nhiều so với miền bao thực tế (Hình 12b)

Hình 12c ứng với cách giảm hiệu ứng bao phủ theo phương pháp hình hộp Theo phương pháp này, cạnh ngắn của miền bao thực tế song song với trục ′ của

hệ tọa độ “trực giao hóa” ′ ′ Khi này ảnh hưởng của hiệu ứng bao phủ (diện tích miền bao của hình Hình 12c nhỏ hơn so với diện tích của miền bao ở Hình 12b

Hình 12d là hình ảnh giảm hiệu ứng bao phủ theo phương pháp phân tách Theo phương pháp này, cạnh dài của miền bao thực tế song song với trục ′ của

hệ tọa độ “trực giao hóa” ′ ′ Khi đó, hiệu ứng bao phủ ảnh hưởng lên miền bao thực tế là ít nhất trong các trường hợp đã nêu

2.1.5.3 Các đặc trưng khác

Ngoài hai đặc trưng cơ bản kể trên, vấn đề tỷ lệ (scaling problem) tuyến tính

với độ rộng của khoảng cũng là một đặc trưng gây ra ước lượng quá mức trong lý

thuyết phân tích khoảng Vấn đề tỷ lệ cùng vấn đề thiếu bậc (order loss) cũng ảnh

hưởng đến kết quả của phương pháp mô hình Taylor [31]

Đây là vấn đề khá mới hiện nay nên trong khuôn khổ luận văn chưa kịp đề cập

y' x'

S.R

x y

c)

y' x' S.R

x y

c) {S.r |r R}

{S.r |r R}

đến Xin tham khảo tài liệu của tác giả Wittig (2011) từ trang 15 đến trang 20 về

2.2.2 Xây dựng mô hình Taylor

2.2.2.1 Xây dựng trực tiếp từ định nghĩa

Định lý Taylor [12]: Cho hàm : ∈ ⊂ → khả vi từng phần đến cấp ( + 1) của với mọi ∈ và lân cận ∈ Tồn tại ∈ sao cho 0 < < 1 để:

trong đó:

 : bậc lũy thừa của đa thức trong khai triển chuỗi Taylor

 : là đại lượng vector khoảng gồm biến thành phần Trong luận văn này

Phần dư được tính bằng cách thay trực tiếp số học khoảng hoặc bằng các

phương pháp khác được đề xuất bởi Berz, Markino [15], Galen [9]

2.2.2.2 Xây dựng hàm số từ những hàm đơn giản

Xây dựng một thư viện mô hình Taylor từ các hàm đơn giản sử dụng lý thuyết

đại số vi phân dư (remainder differential algebra, RDA) [15] Dưới đây là mô hình

Taylor của một số hàm đơn giản như sau:

1 1 + ̅( )

2.2.3 Phép toán số học trong mô hình Taylor

Cho hàm , lần lượt là mô hình Taylor của hàm ( ), ( ) trên khoảng

∈ , thì tổng + và tích của mô hình Taylor có dạng:

Có thể tách × = + trong đó là đa thức chứa số hạng bậc