Chương 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH doc

Nếu trong quá trình đó mà Sn → I xác định không phụ thuộc vào phép chia T và cách chọn các điểm ck, thì ta nói rằng hàm fx có tích phân xác định trên [a; b] và I đợc gọi là tích phân xá

5.1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân xác định

5.1.1 Tính diện tích hình thang cong.

a Hình thang cong Hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm f(x) trên [a; b]

là phần mặt phẳng toạ độ đợc giới hạn bởi các đờng y = f(x), y = 0, x = a và

x = b.

b Bài toán Hãy tính diện tích hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm y = f(x) trên [a; b].

Gọi S là diện tích hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm f(x) trên [a; b]

và T là phép chia [a; b] thành n đoạn tuỳ ý bởi các điểm chia:

a = x0 < x1 < x2 < < xn = b.

Qua điểm xk (k= 1 ) dựng các đờng thẳng song song với trục tung ,n

Thì hình thang cong đ cho đã ợc chia thành n hình thang cong con

Đặt ∆x k= xk − xk-1 , l(T) = max k n x k

≤ ≤ ∆

1 →0 thì ∆ →0 với mọi k= ,nx k 1 Lấy tuỳ ý ck∈[ xk-1 ; xk] (k= 1 ) và thành lập các hình chữ nhật có ,n

kích thớc tơng ứng là: độ dài [ xk-1 ; xk] và f(ck) (k= 1 ) Thì diện tích mỗi ,n

hình chữ nhật đó xấp xỉ bằng diện tích của hình thang cong con tơng ứng,

chúng càng gần nhau khi ∆x kcàng nhỏ Khi đó: Sn = n ( )k x k

(5.1)

Trong thực tế có rất nhiều bài toán mà muốn giải nó chúng ta phải đi

đến việc tính một giới hạn có dạng (5.1) Những bài toán đó đợc gọi chung

là bài toán tính tích phân xác định của hàm f(x) trên [a; b] Sau đây chúng

ta xây dựng một lý thuyết riêng để giải các bài toán nh thế

5.2 Định nghĩa tích phân xác định

5.2.1 Định nghĩa tích phân xác định

Trong phần này ta luôn giả thiết a, b là các số hữu hạn và a < b

Định nghĩa 5.1. Cho hàm f(x) xác định trên [a; b] Gọi T là phép chia [a;

b] thành n đoạn tuỳ ý bởi các điểm chia:

gọi Sn là tổng tích phân thứ n của hàm f(x) trên [a; b].

Cho số các điểm chia tăng lên vô hạn (n→+∞) sao cho l(T) →0 Nếu trong quá trình đó mà Sn → I xác định không phụ thuộc vào phép chia T và cách chọn các điểm ck, thì ta nói rằng hàm f(x) có tích phân xác định trên

[a; b] và I đợc gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a; b] Ký hiệu là:

Chú ý 5.1 Trong định nghĩa 5.1,đ định nghĩa tích phân xác định của hàmãf(x) trên [a; b] với giả thiết a < b Nếu a ≥ b, bằng cách định nghĩa tơng tự

∫ là số hữu hạn thì hàm f(x) đợc gọi là khả tích trên [a; b].

Định lý 5.1 Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì f(x) khả tích trên [a; b].

Định lý 5.2 Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] trừ ra một số hữu hạn các

điểm tại đó hàm số gián đoạn loại 1 Thì f(x) khả tích trên [a; b].

= I (hữu hạn) không phụ thuộc vào cách chọn phép

chia T và cách chọn các điểm ck Vì vậy, khi tính b ( )

a

f x dx

∫ bằng định nghĩa,

mà hàm f(x) khả tích trên [a; b] thì có thể chọn phép chia T đặc biệt và các

điểm ck đặc biệt vẫn không làm thay đổi giá trị của b ( )

a

f x dx

(ii) Từ định nghĩa 5.1 và phơng pháp tính diện tích hình thang cong tạo bởi

đồ thị hàm f(x) trên [a; b], ta thấy nếu f(x) > 0 trên [a; b] thì b ( )

a

f x dx

diện tích hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm f(x) trên [a; b].

Ví dụ 5.1 Dùng định nghĩa tích phân xác định tính các tích phân sau:

(i) ∫a b dx, (ii) ∫a b xdx

Giải. (i) b

a dx

∫ f(x) = 1 (∀x∈[a; b]) ⇒ f(x) liên tục trên [a; b] Do đó khả

tích trên [a; b] Theo nhận xét 5.1 có thể chọn phép chia [a; b] đặc biệt và

các điểm ck đặc biệt nh sau:

Gọi T là phép chia [a; b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia:

a = x0 < x1 < x2 < < xn = b

⇒ ∆x k= xk− xk-1 = b a

n

−, l(T) = max k n x k

= n

k

b a n

=

−

∑1

(ii)∫a b xdx ⇒ f(x) = x (∀x ∈[a; b]) ⇒ f(x) liên tục trên [a; b] Do đó khả

tích trên [a; b] Theo nhận xét 5.1 có thể chọn phép chia [a; b] đặc biệt và

các điểm ck đặc biệt nh ở phần trên Khi đó,

f(ck) = xk = a + kb a n− (k= 1 ).,n

Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì tồn tại c ∈[a; b] để :

f(c)(b−a) = b ( )

a f x dx

Chứng minh Vì f(x) liên tục trên [a; b], nên f(x) khả tích trên [a; b] Đồng

thời theo định lý 2 11, thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [a; b]

Nghĩa là: tồn tại x1, x2 ∈[a; b] sao cho

b a

−1 ∫

Chứng tỏ à là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm f(x) trên [a; b]

Mà f(x) liên tục trên [a; b] nên theo định lý 2.10, tồn tại c ∈[a; b] sao cho:

Nhận xét 5.2 (i) Theo kết quả của bài toán tính diện tích hình thang cong tạo bởi đồ thị của hàm f(x) trên [a; b] ta có:

( ) n ( ) k

b

k x a

0

b

k x a

Vậy nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì tồn tại c ∈[a; b] sao cho:

k x a

(ii) Để tìm giá trị trung bình của hàm f(x) trên [a; b], ta phải tiến hành

các bớc nh sau: Chứng minh hàm f(x) liên tục trên [a; b]; áp dụng phần (i)

của nhận xét này suy ra giá trị trung bình của hàm f(x) trên [a; b] là:

( )

b

a f x dx

(iii) Nếu trong phần (ii) có thêm yêu cầu: tìm điểm tại đó hàm số đạt

giá trị trung bình thì phải giải phơng trình f(x) = b ( )

a f x dx

b a−1 ∫ Nghiệm của phơng trình trên thuộc [a; b] chính là điểm cần tìm

5.3 Mối liên hệ giữa tích phân bất định

và tích phân xác định.

Qua ví dụ 5.1 ta thấy việc tính một tích phân xác định bằng định nghĩa gặp rất nhiều khó khăn Để tính tích phân xác định đợc đơn giản hơn chúng ta xét mối liên hệ giữa tích phân bất định và tích phân xác định

từ đó suy ra phơng pháp tính tích phân xác định

5.3.1 Tích phân với cận trên biến đổi

Định nghĩa 5.3 Cho hàm f(x) khả tích trên [a; b] Với mỗi x ∈ [a; b], hàm

f(t) khả tích trên [a; x] Thì ∫a x f t dt( ) đợc gọi là tích phân với cận trên biến đổi của hàm f(x) trên [a; b].

Định lý 5.3 Nếu hàm f(x) liên tục trên [a;b] thì x ( )

Chứng minh Vì f(x) liên tục trên [a; b] nên khả tích trên [a; b] và mọi

đoạn con của nó

Đặt F(x) = ∫a x f t dt ( ) Với mỗi x ∈[a; b] Cho x số gia ∆x sao cho x +∆x

( ) ( ) ( ) ( )

a a b a

5.4.1 Phơng pháp đổi biến số

Giả sử cần tính tích phân b ( )

a f x dx

∫ (x ∈ [a; b]).

Nếu đặt x = ϕ (t) trong đó ϕ (t) tăng (hoặc giảm), khả vi trên [α; β], ϕ′

(t) liên tục trên [α; β]; có miền giá trị [a; b]; và ϕ′ (t) ≠0 (∀ t ∈ (α; β)) Thì:

Cũng nh với tích phân bất định, nhiều trờng hợp đặt t = ϕ (x) thì bài

toán chở nên đơn giản hơn nhng cần lu ý rằng khi đổi biến số phải đổi cận lấy tích phân

VÝ dô 5.4 Cho c¸c h»ng sè a vµ b tho¶ n m ®iÒu kiÖn: a > 0; 0 < b · ≠ 1; hµm

u(x) kh¶ tÝch vµ lµ hµm ch½n trªn [−a; a] Chøng minh r»ng:

x a

5 2

1 liên tục, do đó khả tích và là hàm lẻ trên [−1; 1] áp dụng kết quả vừa chứng minh ta có: a ( )

u = x, v′ = sin mx ⇒ u′ = 1, v = −m1 cos mx.

2 xác định và liên tục trên [0;1] Do đó,

nó liên tục và khả tích trên [0;1]

Các hàm u(x) = x2ex, v(x) = −x+12 là các hàm khả vi trên [0;1]

a f x dx

∫ (những tích phân loại này đợc gọi là tích phân suy rộng) Trong phần này, chúng ta sẽ đa ra phơng pháp tính một số loại tích phân suy rộng và luôn giả thiết rằng a , b là các số hữu hạn

5.5.1 Các tích phân suy rộng cơ bản.

Cho hàm f(x) liên tục trên [a; +∞) Với mọi b (b > a), thì hàm f(x) liên

tục do đó khả tích trên [a; b] Nếu tồn tại b ( )

Nếu giới hạn trên tồn tại và hữu hạn thì tích phân suy rộng

Cho hàm f(x) liên tục trên (−∞; b] Với mọi a (a < b), thì hàm f(x) liên

tục do đó khả tích trên [a; b] Nếu tồn tại b ( )

Chú ý 5.2 (i) Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] trừ một số hữu hạn điểm gián đoạn loại 1 Thì quy ớc tính b ( )

a f x dx

(ii) Khi tính tích phân xác định bằng phơng pháp đổi biến số, mà sau khi đổi biến ta đợc một tích phân suy rộng Thì tính tích phân mới theo

( ) ( )

−ε +ε

1

2 2.VËy tÝch ph©n suy réng trªn héi tô

Câu 4: Định nghĩa tích phân với cận trên biến đổi Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm liên tục trên [a;b] thì đạo hàm của tích phân với cận trên biến

đổi của f(x) trên (a;b) bằng hàm số dới dấu tích phân; từ đó suy ra mối liên

hệ giữa tích phân bất định và tích phân xác định

pháp tính tích phân xác định trên [a;b] của hàm liên tục trên [a;b]

trên biến đổi của cùng một hàm số trên [a;b]

tính cho từng trờng hợp)