tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
Trang 1ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN
TS Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email: ytkadai@hcmut.edu.vn
TP HCM — 2016.
Trang 6Đạo hàm riêng Khái niệm đạo hàm riêng
Cho hàm số f : D ⊂ R2→ R và(x0, y0) ∈ D.Khi
cho x thay đổi,y cố định (y = y0) thì ta được
hàm một biến x: g(x) = f (x,y0).Nếu g(x)có
đạo hàm tại x = x0 thì ta gọi đó là đạo hàm
riêng của hàm f (x, y) tại điểm(x0, y0) theo
gọi là đạo hàm riêng của hàm số f (x, y) tại điểm
(x0, y0) ∈ G theo biến x Ký hiệu f x0(x0, y0)hoặc ∂f
∂x (x0, y0).
Trang 7Cho hàm số f : D ⊂ R2→ R và(x0, y0) ∈ D.Khi cho x thay đổi,y cố định (y = y0) thì ta được hàm một biến x: g(x) = f (x,y0).Nếu g(x)có đạo hàm tại x = x0 thì ta gọi đó là đạo hàm riêng của hàm f (x, y) tại điểm(x0, y0) theo biến x.
gọi là đạo hàm riêng của hàm số f (x, y) tại điểm
(x0, y0) ∈ G theo biến x Ký hiệu f x0(x0, y0)hoặc ∂f
∂x (x0, y0).
Trang 8H ÌNH : Khái niệm đạo hàm riêng
Trang 9Đạo hàm riêng Khái niệm đạo hàm riêng
Trang 10Đạo hàm riêng Khái niệm đạo hàm riêng
Trang 12QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA z = f (x,y)
1 Để tìm f x0 ta xemy là hằng số và lấy đạo hàm của f (x, y)theo biến x.
2 Để tìm f y0 ta xemx là hằng số và lấy đạo hàm của f (x, y)theo biến y.
Trang 13Đạo hàm riêng Quy tắc tìm đạo hàm riêng
Trang 14Đạo hàm riêng Quy tắc tìm đạo hàm riêng
VÍ DỤ 1.2
Tìm các đạo hàm riêng của hàm số
z = f (x,y) = arctan x
y·
Giải Khi tính ∂f ∂x ta xem y như hằng số, còn
khi tính ∂f ∂y ta xem x như hằng số.
Trang 15Đạo hàm riêng Quy tắc tìm đạo hàm riêng
VÍ DỤ 1.2
Tìm các đạo hàm riêng của hàm số
z = f (x,y) = arctan x
y·
Giải Khi tính ∂f ∂x ta xem y như hằng số, còn
khi tính ∂f ∂y ta xem x như hằng số Ta có
Trang 17Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng
Trang 18Đạo hàm riêng Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng
Trang 19Đạo hàm riêng Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng
Trang 20VÍ DỤ 1.3
Cho f (x, y) = 4 − x2− 2y2 Tìm f x0(1, 1), f y0(1, 1) và nêu ý nghĩa hình học của chúng.
Trang 21Đạo hàm riêng Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng
H ÌNH : Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêngf0
Trang 22H ÌNH : Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêngf0
Trang 23Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp cao
Với hàm hai biến z = f (x,y) thì đạo hàm
riêng f x0 vàf y0 cũng là những hàm hai biến,
do đó những đạo hàm riêng của chúng
(f x0)0x , (f x0)0y , (f y0)0x , (f y0)0y được gọi là đạo hàm riêng
cấp hai của hàmf Như vậy,
Trang 24Với hàm hai biến z = f (x,y) thì đạo hàm
riêng f x0 vàf y0 cũng là những hàm hai biến,
do đó những đạo hàm riêng của chúng
(f x0)0x , (f x0)0y , (f y0)0x , (f y0)0y được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của hàmf Như vậy,
Trang 25Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp cao
Trang 27Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp cao
Trang 29Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp cao
Trang 31Đ ỊNH LÝ C LAIRAUT
ĐỊNH LÝ 1.1
Cho hàm số z = f (x,y) xác định trên miền D Khi đó nếu f xy00 và f yx00 là những hàm liên tục trên D thì với mọi (x0, y0) ∈ D ta có
f xy00(x0, y0) = fyx00(x0, y0) (1)
Trang 32Đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng
Trang 33PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE
∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2 = 0Nghiệm của phương trình này được gọi
những hàm điều hòa , đóng vai trò quan
trọng trong những bài toán truyền nhiệt, lan truyền, điện trường,
Trang 34Đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng
VÍ DỤ 1.7
Chứng minh rằng u(x, y) = e x sin y là nghiệm
của phương trình Laplace.
Giải Ta có
u0x = e x sin y, u0y = e x cos y,
u00xx = e x sin y, u00yy = −e x sin y.
Do đó u00xx + u00yy = e x sin y − e x sin y = 0. Vậy
u(x, y) = e x sin y là nghiệm của phương trình Laplace.
Trang 35u00xx = e x sin y, u00yy = −e x sin y.
Do đó u00xx + u00yy = e x sin y − e x sin y = 0. Vậy
u(x, y) = e x sin y là nghiệm của phương trình Laplace.
Trang 36PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
∂2u
∂t2 = a2∂2u
∂x2Phương trình sóng mô tả dạng của sóng: sóng biển, sóng âm, sóng dao động,
Trang 37Đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng
VÍ DỤ 1.8
Chứng minh rằng u(x, t) = sin(x − at)là
nghiệm của phương trình sóng.
Giải Ta có
u0x = cos(x − at), u0t = −a cos(x − at),
u00xx = −sin(x − at), u00tt = −a2sin(x − at) = a2.u00xx
Do đó u(x, t) = sin(x − at) là nghiệm của phương trình sóng.
Trang 38VÍ DỤ 1.8
Chứng minh rằng u(x, t) = sin(x − at)là
nghiệm của phương trình sóng.
Giải Ta có
u0x = cos(x − at), u0t = −a cos(x − at),
u00xx = −sin(x − at), u00tt = −a2sin(x − at) = a2.u00xx
Do đó u(x, t) = sin(x − at) là nghiệm của
phương trình sóng.
Trang 39Mặt phẳng tiếp diện và sự xấp xỉ tuyến tính Mặt phẳng tiếp diện
Mặt phẳng tiếp diện của mặt cong z = f (x,y)
ĐỊNH NGHĨA 2.1
Mặt phẳng tiếp diện với mặt congS tại điểmP(x0, y0, f (x0, y0))là mặt phẳng chứa 2 tiếp tuyến T1 và T2
Trang 40Mặt phẳng tiếp diện của mặt cong z = f (x,y)
ĐỊNH NGHĨA 2.1
Mặt phẳng tiếp diện với mặt congS tại điểmP(x0, y0, f (x0, y0)) là mặt phẳng chứa 2 tiếp
tuyến T1 và T2
Trang 41ĐỊNH LÝ 2.1
Giả sử hàm số f (x, y) có đạo hàm riêng cấp một liên tục thì phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt cong z = f (x,y) tại điểm
P(x0, y0, f (x0, y0)) là
z−f (x0 , y0) = fx0(x0, y0)(x−x0)+fy0(x0, y0)(y−y0) (2)
Trang 42Mặt phẳng tiếp diện và sự xấp xỉ tuyến tính Mặt phẳng tiếp diện
VÍ DỤ 2.1
Tìm mặt phẳng tiếp diện với paraboloid
elliptic z = 2x2+ y2 tại điểm (1, 1, 3)
Giải Phương trình mặt phẳng tiếp diện với paraboloid elliptic z = 2x2+ y2 tại điểm
(1, 1, 3) là
z − f (1,1) = f x0(1, 1)(x − 1) + f y0(1, 1)(y − 1)
⇔ z = 4x + 2y − 3.
Trang 43VÍ DỤ 2.1
Tìm mặt phẳng tiếp diện với paraboloid
elliptic z = 2x2+ y2 tại điểm (1, 1, 3)
Giải Phương trình mặt phẳng tiếp diện với paraboloid elliptic z = 2x2+ y2 tại điểm
(1, 1, 3) là
z − f (1,1) = f x0(1, 1)(x − 1) + f y0(1, 1)(y − 1)
⇔ z = 4x + 2y − 3.
Trang 44H ÌNH : Mặt paraboloidz = 2x2+ y2và mặt phẳng tiếp diệnz = 4x + 2y − 3tại điểm (1, 1, 3)
Trang 45Mặt phẳng tiếp diện và sự xấp xỉ tuyến tính Sự xấp xỉ tuyến tính
Mặt phẳng tiếp diện của f (x, y) = 2x2+ y2 tại
điểm (1, 1, 3) là z = 4x + 2y − 3.Điều này có
nghĩa là hàm tuyến tính L(x, y) = 4x + 2y − 3 là
sự xấp xỉ tốt nhất hàm f (x, y)khi (x, y) nằm
gần (1, 1)
Hàm tuyến tính L(x, y) = 4x + 2y − 3 được gọi
(1, 1), và sự xấp xỉ
f (x, y) ≈ 4x + 2y − 3
được gọi là sự xấp xỉ tuyến tính của hàmf
tại (1, 1)
Trang 46Mặt phẳng tiếp diện của f (x, y) = 2x2+ y2 tại điểm (1, 1, 3) là z = 4x + 2y − 3.Điều này có
nghĩa là hàm tuyến tính L(x, y) = 4x + 2y − 3 là
sự xấp xỉ tốt nhất hàm f (x, y)khi (x, y) nằm gần (1, 1)
Hàm tuyến tính L(x, y) = 4x + 2y − 3 được gọi
(1, 1), và sự xấp xỉ
f (x, y) ≈ 4x + 2y − 3
được gọi là sự xấp xỉ tuyến tính của hàmf
tại (1, 1)
Trang 47Mặt phẳng tiếp diện và sự xấp xỉ tuyến tính Sự xấp xỉ tuyến tính
Ví dụ, tại điểm (1.1, 0.95) sự xấp xỉ tuyến tính
là f (1.1, 0.95) ≈ 4.(1.1) + 2.(0.95) − 3 = 3.3và giá
trị chính xác là
f (1.1, 0.95) = 2.(1.1)2+ (0.95)2= 3.3225
Tuy nhiên, nếu tại điểm (2, 3) thìL(2, 3) = 11,
trong khi đó f (2, 3) = 17. Điều này có nghĩa là
tại những điểm xa điểm (1, 1) ta sẽ không có
được sự xấp xỉ tuyến tính tốt.
Ý nghĩa. Trong lân cận của P(x0, y0, f (x0, y0)),
z ≈ f (x0 , y0) + fx0(x0, y0)(x − x0) + fy0(x0, y0)(y − y0)
Trang 48Ví dụ, tại điểm (1.1, 0.95) sự xấp xỉ tuyến tính
là f (1.1, 0.95) ≈ 4.(1.1) + 2.(0.95) − 3 = 3.3và giá trị chính xác là
f (1.1, 0.95) = 2.(1.1)2+ (0.95)2= 3.3225
Tuy nhiên, nếu tại điểm (2, 3) thìL(2, 3) = 11,
trong khi đó f (2, 3) = 17. Điều này có nghĩa là tại những điểm xa điểm (1, 1) ta sẽ không có được sự xấp xỉ tuyến tính tốt.
Ý nghĩa. Trong lân cận của P(x0, y0, f (x0, y0)),
z ≈ f (x0 , y0) + fx0(x0, y0)(x − x0) + fy0(x0, y0)(y − y0)
Trang 50ĐỊNH NGHĨA 3.1
Hàm số f (x, y)được gọi là khả vi tại điểm
(x0, y0) ∈ D, nếu như số gia toàn phần của nó
f (x0+ ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0) tại điểm (x0, y0)
được biểu diễn dưới dạng
Trang 53Vi phân Định nghĩa hàm khả vi
VÍ DỤ 3.1
Chứng minh rằng, hàm f (x, y) = xe xy khả vi
tại điểm (1, 0)và tìm hàm tuyến tính hóa
của nó tại điểm (1, 0) Sử dụng sự xấp xỉ
Trang 54VÍ DỤ 3.1
Chứng minh rằng, hàm f (x, y) = xe xy khả vi tại điểm (1, 0)và tìm hàm tuyến tính hóa
của nó tại điểm (1, 0) Sử dụng sự xấp xỉ
Trang 58VÍ DỤ 3.2
Tìm hàm số z = f (x,y) để tính gần đúng giá trị của biểu thức p3
Trang 59Vi phân Định nghĩa vi phân
ĐỊNH NGHĨA 3.2
Biểu thức f x0(x0, y0)∆x + f0
y (x0, y0)∆y được gọi là
vi phân của hàm sốf (x, y) tại điểm (x0, y0) và
Trang 60ĐỊNH NGHĨA 3.2
Biểu thức f x0(x0, y0)∆x + f0
y (x0, y0)∆y được gọi là
vi phân của hàm sốf (x, y) tại điểm (x0, y0) và được kí hiệu là df (x0, y0)
ĐỊNH LÝ 3.2
Nếu hàm số z = f (x,y) khả vi tại điểm
(x0, y0) ∈ D thì f (x, y)có các đạo hàm riêng và
df (x0, y0) = fx0(x0, y0)dx + fy0(x0, y0)dy (3)
Trang 61Ý nghĩa hình học của vi phân và số gia toàn phần:
H : Ý nghĩa hình học của vi phân và số gia toàn phần
Trang 62Vi phân Định nghĩa vi phân
VÍ DỤ 3.3
Cho f (x, y) = x2+ 3xy − y2
1 Tìmdf
2 Chox thay đổi từ2 đến2.05 và y thay đổi
từ 3đến 2.96, hãy so sánh giá trị của ∆f và
df
Giải.
Theo công thức vi phân ta có
df = f x0dx + f y0dy = (2x + 3y)dx + (3x − 2y)dy.
Trang 63VÍ DỤ 3.3
Cho f (x, y) = x2+ 3xy − y2
1 Tìmdf
2 Chox thay đổi từ2 đến2.05 và y thay đổi
từ 3đến 2.96, hãy so sánh giá trị của ∆f và
df
Giải.
Theo công thức vi phân ta có
df = f x0dx + f y0dy = (2x + 3y)dx + (3x − 2y)dy.
Trang 64Vi phân Định nghĩa vi phân
Trang 67Vi phân Vi phân cấp hai
Trang 69M AT L AB : T ÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN
Tính giá trị của hàm số z = f (x,y) tại điểm
(a, b)
1 subs(z, {x, y}, {a, b})
2 subs(z, [x, y], [a, b])
Trang 70M AT L AB : T ÍNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Cho hàm số z = f (x,y). Muốn tính toán hình thức với những biến hình thức thì ta phải khai báo syms x y
1 diff (f , x) - tính đạo hàm riêngf x0
2 diff (f , y) - tính đạo hàm riêng f y0
3 diff (f , x, 2) - tính đạo hàm riêng cấp hai f xx00
4 diff (f , y, 2) - tính đạo hàm riêng cấp haif yy00
5 diff (diff (f , x), y) - tính đạo hàm riêng cấp haif xy00
Trang 71CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI