Chương 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN pdf

về mối liên hệ giữa tính khả vi và sự tồn tại đạo hàm của hàm số tại một điểm... Chứng tỏ đạo hàm của hàm số tại một điểm là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó... Vậy

Ch ơng 3 Đạo hàm và vi phân

3.1 Định nghĩa đạo hàm và vi phân.

3.1.1 Định nghĩa đạo hàm và vi phân.

Cho hàm số y = f(x) xác định tại x0, cho số gia x sao cho hàm số xác

định tại x0  x Khi đó số gia của hàm số tại điểm x0 đợc ký hiệu và xác

định nh sau: fx0 = f(x0  x)  f(x0),

hoặc y(x0) = y(x0  x)  y(x0)

Định nghĩa 3.1 Đạo hàm của hàm y = f(x) tại điểm x0 (ký hiệu là: y (x0)

hoặc f (x0)) là giới hạn (nếu có) của tỷ số giữa số gia của hàm số tại điểm x0

và số gia đối số khi số gia đối số dần tới 0 Vậy

x

x

x

lim

 

  



x

x

x

lim

 

  



Định nghĩa 3.2 Nếu tồn tại    

x

x

x

lim



 

  



0

thì hàm f(x) đợc gọi

là có đạo hàm bên trái tại điểm x0 và đợc ký hiệu là f (x0) Vậy

x

x

x

lim



 

  



0

Tơng tự, đạo hàm bên phải của hàm f(x) tại điểm x0 đợc ký hiệu và xác

định nh sau: f (x0 ) =    

x

x

x

lim



 

  



0

Nhận xét 3.1. Từ các định nghĩa 3.1, 3.2 và định lý 2.2 ta có định lý sau:

Định lý 3.1. Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) có đạo hàm tại x0 là tồn tại các

đạo hàm trái, đạo hàm phải của f(x) tại x0 và f (x0) = f (x0 ) Khi đó,

f (x0) = f (x0) = f (x0 )

Định nghĩa 3.3 Giả sử hàm f(x) xác định trong một lân cận của điểm x0 Với  x đủ nhỏ, số gia f(x0) = f(x0 x)  f(x0) biểu diễn đợc dới dạng:

f(x0) = Ax  o(x)

trong đó o(x) là vô cùng bé bậc cao hơn x khi x 0, A là một số hữu hạn

chỉ phụ thuộc x0 và hàm f mà không phụ thuộc x Thì Ax đợc gọi là vi

phân của hàm f(x) tại x0 và ký hiệu là dfx0 Vậy vi phân của hàm f(x) tại x0

là vô cùng bé tơng đơng với f(x0) khi x 0

dfx0 = Ax

Định lý 3.2. (về mối liên hệ giữa tính khả vi và sự tồn tại đạo hàm của hàm

số tại một điểm)

dfx0 = f (x0)x

Định nghĩa 3.4  Hàm f(x) đợc gọi là có đạo hàm trên (a; b) (a, b là các số

thực), nếu f(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

 Hàm f(x) đợc gọi là có đạo hàm trên [a; b] (a, b là các số hữu hạn), nếu

f(x) có đạo hàm trên (a; b) và tại a có đạo hàm bên phải, tại b có đạo hàm bên trái.

Ví dụ 3.1 (i) Tính các đạo hàm một phía và đạo hàm (nếu có) tại x = 2 của

hàm: f(x) = x khi x ;





 2

Giải Ta có: f (2) =    

x

x x

lim



 

  

 0

x

x x

lim



 

   

 0

= 3

f (2 ) =    

x

x x

lim



 

  

 0

x

x x

lim



 

   



2

0

= 4.

Nh vậy f (2)  f (2) do đó không tồn tại f (2).

(ii) Tính đạo hàm (nếu có) tại x = 0 của hàm f(x) = x3

x

x x

lim

 

  

 0

=

x

x x

lim

 

 



3

0

0 =

x

x

lim

 0 3 2

1

= 

(iii) Tính đạo hàm (nếu có) tại x =0 của hàm f(x) = x3 2

Giải. Ta có:  f (0) =    

x

x x

lim



 

  

 0

=

x

x x

lim



 

 



2 3

0

0 =

x x

lim



 0 3

1

= 

 f (0) =    

x

x x

lim



 

  

 0

=

x

x x

lim



 

 



2 3

0

0 =

x x

lim



 0 3 

1

=  

Nh vậy f (0)  f (0) do đó không tồn tại f (0).

Ví dụ 3.2 (i) Tính vi phân của f(x) = x2  3x  1 tại x = 4.

(ii) Cho y = x với x là biến số độc lập Tính dyx

Giải (i) Ta có df4 = f (4)x = 11x

(ii) Ta có dy = dyx = y (x)x = x

Mặt khác y = x  dy = dx  dx =x

Vậy nếu x là biến số độc lập thì dx =x Chính vì vậy mà trong trờng

hợp x là biến số độc lập thì biểu thức của vi phân của hàm f(x) còn đợc thay

x bởi dx Hay dfx0 = f (x0)dx.

Chú ý 3.1 Kết quả của ví dụ 3.2 vẫn đúng khi x là biến số trung gian Kết

quả này còn đợc gọi là “tính bất biến của vi phân cấp 1”

3.1.2 ý nghĩa hình học của đạo hàm và vi phân.

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 (vẽ hình)

Gọi M0, M là các điểm nằm trên đồ thị hàm y = f(x) có toạ độ tơng ứng

là (x0; f(x0)) và (x0 x; f(x0x)) Điểm T nằm trên tiếp tuyến (Phơng trình

tiếp tuyến là y = t(x)) với đồ thị hàm y = f(x) tại điểm x0, thì T có toạ độ là (x0

x; t(x0x))

Gọi A là giao điểm của các đờng x = x0 x và y = f(x0); B là giao điểm của đờng thẳng đi qua hai điểm M và M0 với đờng thẳng y = f(x0)

Gọi ,  lần lợt là góc giữa chiều dơng của trục hoành và các đờng

thẳng M M , M T 0 0

Nếu x  0 thì    Theo định nghĩa ta có:

x

x x

M A

  



0

0

Chứng tỏ đạo hàm của hàm số tại một điểm là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó

dfx0 = f (x0) x = tg  x = M T

M A

0

0

M0A = M0T = tx0

Vậy vi phân của hàm số tại một điểm là số gia của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó Vậy, nếu x đủ nhỏ thì:

fx0  dfx0  f(x0x)  f (x0)  f (x0) x Công thức trên đợc sử dụng để tính gần đúng giá trị của một hàm số tại một điểm

Ví dụ 3.3 Tính gần đúng số: 38 25 ,

Giải Ta có f (x) = x3 có đạo hàm tại x0 = 8, f (8) =

3

1

3 64 ; f(8) = 2 áp dụng

công thức tính gần đúng với x = 0,25 ta có:

,

38 25 = f(x0x)  f (x0)  f (x0) x = 2 

3

1

3 64 0,25  2,02.

3.1.3 Tính chất của hàm số có đạo hàm tại một điểm.

Định lý 3.3 (về mối liên hệ giữa tính liên tục và tính khả vi của hàm số tại

điểm đó hàm số liên tục.

Chứng minh. Giả sử hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn tại x0 Nghĩa là:

 

x

x x

f

 









0

0 0

hữu hạn

Theo định lý cơ bản ta có:

x

x x

f

f x







0

0 ,trong đó x là VCB khi x)  0

Suy ra f x f x     x x  x





0

0

0

Do đó hàm số liên tục tại x0 (đpcm)

Chú ý 3.2 (i) Định lý 3.3 chỉ là điều kiện cần mà không phải điều kiện đủ

để hàm số có đạo hàm hữu hạn tại một điểm Chẳng hạn, hàm f(x) =  x là

hàm số liên tục tại x = 0, nhng không có đạo hàm x = 0 vì:

x x



  

1 ;

x x



  

1

(ii) Định lý 3.3 đúng cho đạo hàm hữu hạn mà không đúng cho đạo hàm vô

hạn Chẳng hạn, hàm f(x) = x khi x ,















1

0

là hàm số có đạo hàm x = 0,

nhng không liên tục tại x = 0

(iii) Định lý 3.3 đã khẳng định điều kiện cần để hàm số khả vi tại một điểm

là tại đó hàm số liên tục Vì vậy, một hàm không liên tục tại một điểm thì không khả vi tại đó.

áp dụng: Hàm số f(x) =







là hàm gián đoạn tại x = 1 nên với mọi giá trị của a, f(x) không khả vi tại x

=1 (bạn đọc tự chứng minh).

Ví dụ 3.4 Cho hàm f(x) = x a khi x ;





 2

Với giá trị nào của a và b thì hàm f(x) có đạo hàm trên (;)?

Giải. Đặt h(x) = 2x  a, g(x) = bx2  1 Thì h(x) và g(x) là các hàm có đạo hàm tại mọi điểm, nên f(x) có đạo hàm tại mọi x  1.

Để hàm số đ cho có đạo hàm trên (ã cho có đạo hàm trên (  ;) thì nó phải có đạo hàm tại

x = 1 Tức là có: f (1) = f (1) = f (1)

Mà: f (1) =    

x

x x

lim



 

  

 0

x

x x

lim



 



2

0

= 2b Vậy để f(x) có đạo hàm tại x = 1 thì f (1) = 2b hữu hạn Do đó, f(x)

liên tục tại x = 1 Hay  

x

lim f x



x

lim f x



 1 = f(1) = b  1

  

x





 1

x

lim bx





 2 1

1 = b  1  2  a = b  1

Khi đó, f (1) =    

x

x x

lim



 

  

 0

1

x

x x

lim



 

    

 0

= 2

Vậy để f(x) có đạo hàm tại x = 1 thì 2 = 2b  b = 1  a = 2.

Vậy với a= 2 và b= 1 thì hàm f(x) có đạo hàm trên (;).

3.2 Các phép tính về đạo hàm

3.2.1 Các phép tính về đạo hàm.

Định lý 3.4. Nếu các hàm f(x), g(x) là những hàm khả vi tại x0 Thì các hàm

f(x)  g(x), f(x) g(x), f(x): g(x) cũng khả vi tại x0 (với phép chia thì phải có

điều kiện g(x0)  0) và

[f(.)  g(.)]x0 = f (x0)  g (x0), [f(.) g(.)]x0 = f (x0) g(x0)  f(x0) g (x0),

 

 

x





  0

2 0

Định lý 3.5. Nếu hàm u = f(x) khả vi tại x0, y = g(u) khả vi tại điểm

u0=f(x0) Thì hàm y =g[f(x)] khả vi tại x0 và y (x0) =g [f(x0)] f (x0)

Định lý 3.6. Nếu hàm y = f(x) xác định, tăng (hoặc giảm), liên tục trên miền

X; có miền giá trị Y; khả vi tại x0 và y (x0)  0 Thì tồn tại và duy nhất hàm

ngợc x = g(y) xác định, tăng (hoặc giảm), liên tục trên miềnY; có miền giá trị

X và khả vi tại y0 = f(x0) Đồng thời

x [f(x0)] =

 

y x 0

1

3.2.2 Bảng đạo hàm và vi phân cơ bản.

y = c (c là hằng số)  y = 0  dy = 0.

y = x ( là hằng số)  y =  x 1  dy = x 1 dx.

y = a x (0 < a  1)  y = a x lna  dy = a x lna dx.

y = e x  y = e x  dy = e x dx.

y = log a x (0 < a  1)  y =

x ln a

1

 dy =

x ln a

1

dx.

y = ln x  y =

x

1

 dy =

x

1

dx.

y = sin x  y = cos x  dy = cos x dx.

y = cos x  y =  sin x  dy =  sin x dx.

y = tg x  y =

cos x2

1

 dy =

cos x2

1

dx.

y =cotg x  y =

sin x

 2

1

 dy =

sin x

 2

1

dx.

y = arcsin x  y =

x

 2

1

x

 2

1

1 dx.

y = arccosx  y =

x



 2

1

x



 2

1

1 dx.

y = arctg x  y =

x

 2

1

x

 2

1

1 dx.

y = arccotg x  y =

x



 2

1

x



 2

1

1 dx.

y = u  v  y = u  v  dy = du  dv.

y = u v  y = u v  uv  dy = v du  udv.



y =f(u)  y = f (u) u  dy = f (u) u dx.

Ví dụ 3.5 Sử dụng bảng đạo hàm và vi phân cơ bản tính đạo hàm và vi

phân của các hàm số sau:(bạn đọc tự giải)

(i) f(x) = sin 3x;

(ii) f(x) = cos2x  52x+3;

(iii) f(x) = arcsin (x2  3x)  32x 5 ;

(iiii) f(x) = tg 3x.log2(12x3)

3.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao

Định nghĩa 3.5 Cho hàm y = f(x) có đạo hàm trong một lân cận nào đó của

điểm a.

(i) Nếu hàm f (x) có đạo hàm tại điểm a thì ta nói rằng hàm f(x) có đạo

hàm đến cấp hai tại điểm a Ký hiệu đạo hàm cấp hai của hàm f(x) tại điểm

a là f( a) hoặc f(2)(a) Vậy

f(2)(a) =    

x

x

x

lim

 



(ii) Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp n1 trong một lân cận nào đó của điểm a (ký hiệu đạo hàm cấp n1 của hàm f(x) tại điểm a là f(n-1)(a)) và

hàm f(n-1)(x) có đạo hàm tại điểm a thì ta nói rằng hàm f(x) có đạo hàm đến

cấp n tại điểm a Ký hiệu đạo hàm cấp n của hàm f(x) tại điểm a là f(n)(a).

x

x

x

lim

 

  



0

(iii) Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp n tại điểm a Khi đó, vi phân

của hàm f(x) tại điểm a đợc ký hiệu và xác định nh sau:

dnf a = f(n)(a)(dx)n = f(n)(a)dxdx dx.

Ví dụ 3.6 Tính đạo hàm và vi phân đến cấp n của các hàm số sau: f(x) = xn,

g(x) = sin x, h(x) = ln x.

 f(x) = xn  f (x) = n xn-1; f (x) = n(n1) xn-2; ; f(n) (x) = n!

 dn f(x) = n!(dx)n

 h(x) = ln x  h  (x) = x1 = x1 ; h (x) =  x2; ;

h(n) (x) = (1)n1(n1)! xn dn h(x) = (1)n1(n1)! xn (dx)n

 g(x)= sin x  g (x)= cos x= sinx 

2 , g(2)(x)= cosx 

2 = sinx 2 

2 ,

 g(n)(x) = sin xn  

2 ; dn g(x) = sin xn  

2 (dx)n.

3.4 Tính chất của hàm số khả vi.

Trong phần này chúng ta luôn giả thiết a, b là các số hữu hạn và a < b.

3.4.1 Định lý Rolle

Định lý 3.7 Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b) và f(a) = f(b).

Thì tồn tại c  (a; b) để f (c) = 0.

Chứng minh Vì f(x) liên tục trên [a;b] nên theo định lý 2.11 thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [a; b] Hay tồn tại x1, x2[a; b] sao cho:

m = f(x1)  f(x)  f(x2) = M (x [a; b]).

(i) Nếu m = M thì f(x) = M (x [a; b])  f  (x) = 0 (x (a; b)) Hay mọi x

(a; b) đều đóng vai trò của điểm c.

(ii) Nếu m < M Vì f(a) = f(b) và m = f(x1) < f(x2) = M nên trong hai điểm x1 ,

x2 có ít nhất một điểm thuộc (a; b) Chẳng hạn x2 (a; b).

Vì f(x) khả vi trên (a; b) nên f(x) có đạo hàm tại x2 Hay:

f (x2) = f (x2) = f (x2) (3.1)

Vì f(x)  f(x2) (x [a; b]) Nên

fx2 = f(x2  x)  f(x2)  0 (x: x2  x  [a; b]).

Suy ra: f (x2) =

x

x x

f lim



 







2 0

0 , (3.2)

f (x2) =

x

x x

f lim



 







2 0

0 (3.3)

Từ (3.1), (3.2), (3.3) suy ra f (x2) = 0

Chọn c = x2 thì c  (a; b) và f (c) = 0.

Nếu x1 (a; b) Chứng minh tơng tự nh trờng hợp x2 (a; b) ta có c =

x1 (a; b) và f (c) = 0.

ý nghĩa hình học của định lý :

(i) Từ định lý Rolle ta thấy: Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b], khả vi trên (a;

b) và f(a) = f(b) Thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a; b) để tiếp tuyến của đồ

thị hàm số tại điểm đó song song với trục hoành.(Vẽ hình minh hoạ).

(ii) Từ chứng minh định lý Rolle ta thấy nếu hàm đạt cực trị tại một điểm

mà tại đó hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của hàm số tại điểm đó bằng 0

Vì vậy, ta chỉ cần tìm cực trị của hàm số tại những điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm hoặc tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0

Ví dụ 3.7 (i) Cho f(x) = x3  6 x2  11x  6 Sử dụng định lý Rolle, chứng minh rằng phơng trình f (x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả m n điều kiện: ã cho có đạo hàm trên ( 3

< x1 < 2 < x2 < 1

(ii) Cho m > 1 và a b c

m2 m1 m 0 Chứng minh rằng phơng trình:

ax2  bx  c = 0

có ít nhất một nghiệm trong (0; 1)

Giải. (i) Hàm số f(x) = x3  6 x2  11x  6 liên tục trên các đoạn [3; 2], [2;

1]; khả vi trên các khoảng (3; 2), (2; 1) và f(3) = f(2) = f(1) = 0 Theo

định lý Rolle tồn tại các điểm x1 (3; 2), x2  (2; 1) sao cho:

f (x1) = f (x2) = 0.(đpcm)

(ii) Xét hàm số f(x) = a x m b x m c x m

Vì m > 1 nên f(x) liên tục trên [0;1], khả vi trên (0;1) và

m2 m1 m 0

Theo định lý Rolle tồn tại các điểm x0(0;1) sao cho: f (x0)= 0 Mà

f (x) = (ax2  bx  c)xm-1 nên f (x0)= (ax0  bxx  c)x0m-1 ax0  bxx  c =0 (đpcm)

3.4.2 Định lý Lagrange.

Định lý 3.8. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b) Thì tồn tại c

 (a; b) để f (c) = f b  f a 



Chứng minh. Đặt h(x) = f(x)  f b  f a 



 (x  a).

Vì f(x) liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b) nên h(x) cũng liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b) và h(a) = h(b) = f(a) Vậy hàm h(x) thoả m n định lýã cho có đạo hàm trên (

Rolle trên [a; b] áp dụnh định lý Rolle cho hàm h(x) trên [a; b], ta đợc: tồn tại c  (a; b) để h (c) = 0 Mà

h (x) = f  (x)  f b  f a 



  h (c) = 0  f  (c) = f b  f a 



 (đpcm)

liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b) Thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a; b)

để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm đó song song với đờng thẳng đi qua hai điểm có toạ độ a; f a   và b; f b  .(Vẽ hình minh hoạ).

Thì định lý Lagrange trở thành định lý Rolle Hay định lý Lagrange tổng quát hơn định lý Rolle

Ví dụ 3.8 Chứng minh rằng:

(i) sin x  sin y x  y (x, y);

(ii) cos x  cos y x  y (x, y);

(iii) x y

y ln



3 <log3 x  log3 y< x y

x ln



3 ( 0 < x < y).

Giải. (i) sin x  sin y x  y (x, y).

 Nếu x = y Thì (i) đúng

 Nếu x < y Đặt f(x) = sin x Thì f(x) liên tục trên [x; y], khả vi trên (x;

y) Theo định lý Lagrange tồn tại c  (x; y) để:

f (c) = f y  f x  sin y sin x

cos c

  (3.4)

Vì x < y  x y > 0 và vì  cos c  1 ( c) nên từ (3.4) suy ra:

sin y sin x

sin x sin y x y



 Nếu x > y thì chứng minh tơng tự.

(ii) cos x  cos y x  y(x, y) Chứng minh tơng tự phần (i).

(iii) x y

y ln



3 <log3 x  log3 y< x y

x ln



3 ( 0 < x < y).

Vì 0 < x < y nên các biểu thức logarit đều có nghĩa và 0 <

y  x

1 1

Đặt f(x) = log3x Thì f(x) liên tục trên [x;y], khả vi trên (x;y) Theo định

lý Lagrange tồn tại c  (x; y) để:

f (c) = f y  f x  log y log x

1

3 (3.5)

Vì x < y  x y > 0 nên từ (3.5) suy ra:

y ln



3 <log3 x  log3 y< x y

x ln



3 

Nhận xét 3.2 Nếu hai hàm f(x) và h(x) đều liên tục trên [a; b], khả vi trên

(a; b) Theo định lý Lagrange tồn tại c1, c2  (a; b) để:

f (c1) = f b  f a 



 và h (c2) = h b  h a 



Một vấn đề đặt ra là khi nào thì c 1 = c 2 ? Định lý Cauchy sau đây khẳng

định điều đó.

3.4.3 Định lý Cauchy.

Định lý 3.9. Nếu hai hàm f(x), h(x) liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b) và h (x)  0 (x  (a; b)) Thì tồn tại c  (a; b) để:

 

 

   

   



Chứng minh Với giả thiết đ cho ta có ã cho có đạo hàm trên ( h(b) h(a) 0 vì nếu h(b) h(a) = 0

Thì hàm h(x) thoả m n định lý Rolle trên [ã cho có đạo hàm trên ( a; b], do đó tồn tại c  (a; b) để h (c) = 0 Điều này trái với giả thiết h (x)  0 (x  (a; b).

Đặt g(x) = f(x)     



 [h(x)  h(a)].

Vì f(x) và h(x) liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b) nên g(x) cũng liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b) và g(a) = g(b) = f(a) Vậy hàm g(x) thoả

m n định lý Rolle trên [ã cho có đạo hàm trên ( a; b] áp dụnh định lý Rolle cho hàm g(x) trên [a; b],

ta đợc: tồn tại c  (a; b) để g (c) = 0.

Mà g (x) = f  (x)     



 h (x).

 g (c) = 0  f  (c) =    



 h (c)  (đpcm)