giải tích 2 lê xuân đại đạo hàm riêng va vi phân sinhvienzone com

Lê Xuân Đại BK TPHCM CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP... Lê Xuân Đại BK TPHCM CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP... Lê Xuân Đại BK TPHCM CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP...

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP HCM — 2011

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 1 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Đạo hàm riêng Tìm đạo hàm riêng

tại điểm (x0, y0) ∈ G theo biến x Đạo hàm riêng này được ký hiệu là

Đạo hàm riêng Tìm đạo hàm riêng

tại điểm (x0, y0) ∈ G theo biến x Đạo hàm riêng này được ký hiệu là

Đạo hàm riêng Tìm đạo hàm riêng

tại điểm (x0, y0) ∈ G theo biến x Đạo hàm riêng này được ký hiệu là

Đạo hàm riêng Tìm đạo hàm riêng

tại điểm (x0, y0) ∈ G theo biến x Đạo hàm riêng này được ký hiệu là

Đạo hàm riêng Tìm đạo hàm riêng

tại điểm (x0, y0) ∈ G theo biến x Đạo hàm riêng này được ký hiệu là

Cho hàm số f : G ⊂ R2 → R xác định trên tập mở G ⊂ R2 và(x0, y0) ∈ G

Định nghĩa

Số lim

h 1 →0

f (x 0 +h 1 ,y 0 )−f (x 0 ,y 0 )

tại điểm (x0, y0) ∈ G theo biến x Đạo hàm riêng này được ký hiệu là

Định lý

Nếu hàm f (x , y ) xác định trong một ε−lân cận của điểm (x0, y0) có cácđạo hàm riêng fx0, fy0 liên tục tại điểm (x0, y0) thì hàm f (x , y ) khả vi tại(x0, y0)

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 3 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Định lý

Nếu hàm f (x , y ) xác định trong một ε−lân cận của điểm (x0, y0) có cácđạo hàm riêng fx0, fy0 liên tục tại điểm (x0, y0) thì hàm f (x , y ) khả vi tại(x0, y0)

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 3 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Vi phân Định nghĩa vi phân

f (x0+∆x , y0+∆y )−f (x0, y0) = ∆f (x0, y0) = A1∆x +A2∆y +α1∆x +α2∆y ,

ở đây A1, A2 ∈ R còn α1, α2 → 0 khi ∆x, ∆y → 0

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 4 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Cho hàm số f : G ⊂ R2 → R xác định trên tập mở G ⊂ R2 và(x0, y0) ∈ G là 1 điểm cố định Cho x số gia ∆x , y số gia ∆y sao chođiểm (x0+ ∆x , y0+ ∆y ) ∈ G Lập hiệu f (x0+ ∆x , y0+ ∆y ) − f (x0, y0).Hiệu này được gọi là số gia toàn phần của hàm số f (x , y ) tại điểm (x0, y0)

và được kí kiệu là ∆f (x0, y0)

Định nghĩa

Hàm số f (x , y ) được gọi là khả vi tại điểm (x0, y0) ∈ G , nếu như số giatoàn phần của nó f (x0+ ∆x , y0+ ∆y ) − f (x0, y0) tại điểm (x0, y0) đượcbiểu diễn dưới dạng

f (x0+∆x , y0+∆y )−f (x0, y0) = ∆f (x0, y0) = A1∆x +A2∆y +α1∆x +α2∆y ,

ở đây A1, A2 ∈ R còn α1, α2 → 0 khi ∆x, ∆y → 0

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 4 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Cho hàm số f : G ⊂ R2 → R xác định trên tập mở G ⊂ R2 và(x0, y0) ∈ G là 1 điểm cố định Cho x số gia ∆x , y số gia ∆y sao chođiểm (x0+ ∆x , y0+ ∆y ) ∈ G Lập hiệu f (x0+ ∆x , y0+ ∆y ) − f (x0, y0).Hiệu này được gọi là số gia toàn phần của hàm số f (x , y ) tại điểm (x0, y0)

và được kí kiệu là ∆f (x0, y0)

Định nghĩa

Hàm số f (x , y ) được gọi là khả vi tại điểm (x0, y0) ∈ G , nếu như số giatoàn phần của nó f (x0+ ∆x , y0+ ∆y ) − f (x0, y0) tại điểm (x0, y0) đượcbiểu diễn dưới dạng

f (x0+∆x , y0+∆y )−f (x0, y0) = ∆f (x0, y0) = A1∆x +A2∆y +α1∆x +α2∆y ,

ở đây A1, A2 ∈ R còn α1, α2 → 0 khi ∆x, ∆y → 0

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 4 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Vi phân Định nghĩa vi phân

f (x0+∆x , y0+∆y )−f (x0, y0) = fx0(x0, y0)∆x +fy0(x0, y0)∆y +α1∆x +α2∆y

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 5 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

f (x0+∆x , y0+∆y )−f (x0, y0) = fx0(x0, y0)∆x +fy0(x0, y0)∆y +α1∆x +α2∆y

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 5 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Vi phân Dùng vi phân để tính gần đúng giá trị của biểu thức

Ví dụ

Dùng vi phân để tính gần đúng giá trị của biểu thức p3

1, 022+ 0, 052.Lấy hàm f (x , y ) =p3

Đạo hàm riêng cấp hai là đạo hàm của đạo hàm riêng Với hàm hai biến

Đạo hàm và vi phân cấp cao Đạo hàm riêng cấp cao

2sin(xy )) = −2x sin(xy ) − x2y cos(xy )

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 8 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

2sin(xy )) = −2x sin(xy ) − x2y cos(xy ).

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 8 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Đạo hàm và vi phân của hàm hợp Đạo hàm của hàm hợp

Định lý

Cho hàm số z = f (x , y ) có đạo hàm riêng liên tục trong một miền mở G ,

x = x (t), y = y (t) (t ∈ (a, b)) là các hàm khả vi sao cho (x (t), y (t)) ∈ G Khi đó đạo hàm của hàm số z theo t được tính theo công thức

Đạo hàm và vi phân của hàm hợp Đạo hàm của hàm hợp

Định lý

Cho hàm số z = f (x , y ) có đạo hàm riêng liên tục trong một miền mở G ,

x = x (t), y = y (t) (t ∈ (a, b)) là các hàm khả vi sao cho (x (t), y (t)) ∈ G Khi đó đạo hàm của hàm số z theo t được tính theo công thức

Định lý

Cho hàm số z = f (x , y ) có đạo hàm riêng liên tục trong một miền mở G ,

x = x (t), y = y (t) (t ∈ (a, b)) là các hàm khả vi sao cho (x (t), y (t)) ∈ G Khi đó đạo hàm của hàm số z theo t được tính theo công thức

Đạo hàm và vi phân của hàm hợp Đạo hàm của hàm hợp

Đạo hàm và vi phân của hàm hợp Đạo hàm của hàm hợp

Đạo hàm và vi phân của hàm hợp Đạo hàm của hàm hợp

Đạo hàm và vi phân của hàm hợp Đạo hàm của hàm hợp

Đạo hàm và vi phân của hàm hợp Đạo hàm của hàm hợp

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

Định lý

Cho hàm F (x , y ) thỏa mãn các điều kiện:

1 xác định và liên tục trong lân cận Bε(x0, y0);

yx0 = −F

0 x

F0 y

(Fy0 6= 0)

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 12 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

Định lý

Cho hàm F (x , y ) thỏa mãn các điều kiện:

1 xác định và liên tục trong lân cận Bε(x0, y0);

yx0 = −F

0 x

F0 y

(Fy0 6= 0)

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 12 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

Định lý

Cho hàm F (x , y ) thỏa mãn các điều kiện:

1 xác định và liên tục trong lân cận Bε(x0, y0);

yx0 = −F

0 x

F0 y

(Fy0 6= 0)

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 12 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

Định lý

Cho hàm F (x , y ) thỏa mãn các điều kiện:

1 xác định và liên tục trong lân cận Bε(x0, y0);

yx0 = −F

0 x

F0 y

(Fy0 6= 0)

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 12 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Định lý

Cho hàm F (x , y ) thỏa mãn các điều kiện:

1 xác định và liên tục trong lân cận Bε(x0, y0);

yx0 = −F

0 x

F0 y

(Fy0 6= 0)

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 12 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

F0 y

= −y cos x + sin(x − y )sin x − sin(x − y ) .

F0 y

= −y cos x + sin(x − y )sin x − sin(x − y ) .

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 15 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 15 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 15 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 15 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn Sự tồn tại hàm ẩn và đạo hàm của hàm ẩn

Rn= O(ρn) với ρ =p(∆x)2+ (∆y )2.

Nếu công thức Taylor khai triển tại điểm (0, 0) thì được gọi là công thứcMaclaurint

Giả sử hàm f (x , y ) có đạo hàm riêng đến cấp (n + 1) trong một miền mởchứa điểm (x0, y0) Khi đó

f (x , y ) = f (x0, y0)+1

1!df (x0, y0)+

12!d

Giả sử hàm f (x , y ) có đạo hàm riêng đến cấp (n + 1) trong một miền mởchứa điểm (x0, y0) Khi đó

f (x , y ) = f (x0, y0)+1

1!df (x0, y0)+

12!d

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 19 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 19 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 19 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Công thức Taylor và ứng dụng

Chú ý Tìm khai triển Taylor bằng công thức rất mất thời gian, nên trong

đa số trường hợp ta sử dụng cách sau:

1 Đặt X = x − x0, Y = y − y0

2 Tìm khai triển Maclaurint của hàm f (X , Y ) bằng việc khai triểnMaclaurint của hàm một biến

3 Đổi f (X , Y ) sang f (x , y )

4 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần của các bậc của x − x0, y − y0

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 20 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Công thức Taylor và ứng dụng

Chú ý Tìm khai triển Taylor bằng công thức rất mất thời gian, nên trong

đa số trường hợp ta sử dụng cách sau:

1 Đặt X = x − x0, Y = y − y0

2 Tìm khai triển Maclaurint của hàm f (X , Y ) bằng việc khai triểnMaclaurint của hàm một biến

3 Đổi f (X , Y ) sang f (x , y )

4 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần của các bậc của x − x0, y − y0

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 20 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Công thức Taylor và ứng dụng

Chú ý Tìm khai triển Taylor bằng công thức rất mất thời gian, nên trong

đa số trường hợp ta sử dụng cách sau:

1 Đặt X = x − x0, Y = y − y0

2 Tìm khai triển Maclaurint của hàm f (X , Y ) bằng việc khai triểnMaclaurint của hàm một biến

3 Đổi f (X , Y ) sang f (x , y )

4 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần của các bậc của x − x0, y − y0

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 20 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Chú ý Tìm khai triển Taylor bằng công thức rất mất thời gian, nên trong

đa số trường hợp ta sử dụng cách sau:

1 Đặt X = x − x0, Y = y − y0

2 Tìm khai triển Maclaurint của hàm f (X , Y ) bằng việc khai triểnMaclaurint của hàm một biến

3 Đổi f (X , Y ) sang f (x , y )

4 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần của các bậc của x − x0, y − y0

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 20 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Chú ý Tìm khai triển Taylor bằng công thức rất mất thời gian, nên trong

đa số trường hợp ta sử dụng cách sau:

1 Đặt X = x − x0, Y = y − y0

2 Tìm khai triển Maclaurint của hàm f (X , Y ) bằng việc khai triểnMaclaurint của hàm một biến

3 Đổi f (X , Y ) sang f (x , y )

4 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần của các bậc của x − x0, y − y0

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 20 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

ta còn có thể dùng khai triển Maclaurint của hàm một biến.

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 21 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

ta còn có thể dùng khai triển Maclaurint của hàm một biến.

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 21 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Khai triển Maclaurint đến số hạng bậc 2 của hàm f (x , y ) = ex cos y

Giải Ngoài phương pháp tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 tại điểm (0, 0)

ta còn có thể dùng khai triển Maclaurint của hàm một biến

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 21 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

ta còn có thể dùng khai triển Maclaurint của hàm một biến.

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 21 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Nếu ∆ > 0, A < 0 thì hàm đạt cực đại tại (x i , y i ).

Nếu ∆ < 0 thì hàm không đạt cực trị tại (x i , y i ).

Nếu ∆ = 0 thì ta phải xét bằng định nghĩa ∆f = f (x , y ) − f (x i , y i )

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 23 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Cực trị của hàm nhiều biến Cực trị tự do

Tìm cực trị tự do của hàm hai biến f (x , y ) = x3+ 3xy2− 39x − 36y + 1

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 24 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Cực trị của hàm nhiều biến Cực trị tự do

Tìm cực trị tự do của hàm hai biến f (x , y ) = x3+ 3xy2− 39x − 36y + 1

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 24 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Cực trị của hàm nhiều biến Cực trị tự do

Tìm cực trị tự do của hàm hai biến f (x , y ) = x3+ 3xy2− 39x − 36y + 1

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 24 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Tìm cực trị tự do của hàm hai biến f (x , y ) = x3+ 3xy2− 39x − 36y + 1

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 24 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Cực trị của hàm nhiều biến Cực trị tự do

Tìm cực trị tự do của hàm hai biến f (x , y ) = x2+ y2− 32 ln xy

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 25 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Cực trị của hàm nhiều biến Cực trị tự do

Tìm cực trị tự do của hàm hai biến f (x , y ) = x2+ y2− 32 ln xy

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 25 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Cực trị của hàm nhiều biến Cực trị tự do

Tìm cực trị tự do của hàm hai biến f (x , y ) = x2+ y2− 32 ln xy

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 25 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Tìm cực trị tự do của hàm hai biến f (x , y ) = x2+ y2− 32 ln xy

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2011 25 / 1

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com