giải tích 1 lê xuân đại 1 đạo hàm va vi phân cua hàm một biến sinhvienzone com

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ HopitalỨng dụng của đạo hàm để tìm giới hạn dạngkhông xác định theo qui tắc L’ Hopital 7 dạng vô định trong giới hạn hàm số... Tìm giới h

Trang 1

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Trang 2

Bài toán máy bay rơi

Trong lĩnh vực hàng không, giả sử máy bay đangbay thì hết xăng, độ cao của máy bay khi hết xăngđược mô tả bởi phương trình

máy bay lúc hết xăng Thời gian từ lúc hết xăngcho đến khi máy bay đạt độ cao lớn nhất là 0, 3h

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 2 / 81 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Trang 3

SinhVienZone.Com

Trang 4

Thời gian từ lúc hết xăng cho đến khi máy bay đạt

độ cao lớn nhất là 0, 3h, có nghĩa là khi t = 0, 3thì v (0, 3) = 0

Trang 5

Định nghĩaCho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận của

lim

x →x0

f (x ) − f (x0)

và được ký hiệu là f 0(x0) hay y0(x0)

SinhVienZone.Com

Trang 7

Định lý

Trang 8

Ví dụHàm số y = f (x ) = |x | =

SinhVienZone.Com

Trang 9

Các quy tắc tính đạo hàm

Định lý

SinhVienZone.Com

Trang 10

Định lýNếu hàm số u = u(x ) và v = v (x ) có đạo hàm

thì tại điểm này hàm số y = u ± v = u(x ) ± v (x )

SinhVienZone.Com

Trang 11

thì tại điểm này hàm số y = u.v = u(x ).v (x )

luôn có đẳng thức

y0 = u0.v + u.v0 = u0(x0).v (x0) + u(x0).v0(x0).Chú ý Công thức trên cũng có thể mở rộng cho

u0.v ω + u.v0 .ω + + u.v ω0

SinhVienZone.Com

Trang 12

Trang 13

Đạo hàm của hàm hợp

Định lý

Trang 15

Đạo hàm của hàm ngược

Định lý

trên khoảng X ⊂ R xác định từ khoảng X ⊂ Rlên toàn khoảng Y ⊂ R và có đạo hàm hữu hạn

Trang 16

Ví dụTìm đạo hàm của hàm ngược của hàm

Trang 17

SinhVienZone.Com

Trang 18

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Trang 19

Trang 20

Trang 21

Trang 24

Trang 25

Định nghĩaCho hàm số u = u(x ) > 0 và v = v (x ) xác địnhtrên cùng 1 tập hợp X ⊂ R khi đó hàm số

Định lýNếu hàm số u = u(x ) > 0 và v = v (x ) tại một số

Trang 26

SinhVienZone.Com

Trang 27

Đạo hàm của hàm tham số

Định lýCho hàm số x = x (t), y = y (t) xác định trong lân

Trang 28

Ví dụCho hàm số y = f (x ) được xác định bởi công thức

Trang 29

Định nghĩa

Trang 30

Ví dụTìm đạo hàm cấp 2 của hàm ngược của hàm

Trang 31

Ví dụCho hàm số y = f (x ) xác định theo tham số

x = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ (0, 2π) Tìm

y00(x )

y0(x ) = y

0 t

y00(x ) = cot t

2

0 t

.t0(x ) = cot t

2

0 t

Trang 32

Định nghĩaĐạo hàm cấp n của hàm số f (x ) được tính theocông thức

f (n)(x ) = (f (n−1)(x ))0, n ∈ N

Tính chấtNếu f (x ) và g (x ) có đạo hàm cấp n thì

n và(c1f (x ) + c2g (x))(n) = c1f (n)(x) + c2g(n)(x)

SinhVienZone.Com

Trang 33

Công thức Leibnitz.

Nếu f (x ) và g (x ) có đạo hàm cấp n thì f (x ).g (x )cũng có đạo hàm cấp n và

Trang 35

1

Trang 36

Với α = −1, a = 1, b = ±2, ta có

1

Trang 37

Ví dụ

Theo công thức Leibnitz, ta có

(x2 cos 2x )(n) = Cn0x2(cos 2x )(n)++Cn1(x2)0(cos 2x )(n−1) + Cn2(x2)00(cos 2x )(n−2)Mặt khác

SinhVienZone.Com

Trang 38

Vậy (x2 cos 2x )(n) = 2n

x2 − n(n − 1)

4

cos2x + nπ

2

+2nnx sin

2x + nπ

Trang 41

SinhVienZone.Com

Trang 44

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital

Ứng dụng của đạo hàm để tìm giới hạn dạngkhông xác định theo qui tắc L’ Hopital

7 dạng vô định trong giới hạn hàm số

Trang 45

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital Tìm giới hạn dạng không xác định cơ bản

Tìm giới hạn dạng không xác định cơ bản 00

Định nghĩaGiả sử yêu cầu tính giới hạn lim

x →a

f (x )

g (x ) Nếu như lúcnày ta có đẳng thức lim

SinhVienZone.Com

Trang 46

Định lýCho thỏa mãn những điều kiện sau:

1 Hàm số f (x ) và g (x ) xác định trên nửa khoảng(a, b](a < b)

Trang 47

Trang 48

1 Hàm số f (x ) và g (x ) xác định trên nửa khoảng[c, +∞)

Trang 49

Trang 50

Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital Tìm giới hạn dạng không xác định theo qui tắc L’ Hopital

Tìm giới hạn dạng không xác định ∞∞ theo qui tắc L’

Hopital

Định nghĩaGiả sử yêu cầu tính giới hạn lim

x →a

f (x )

g (x ) Nếu nhưlim

Trang 51

1 Hàm số f (x ) và g (x ) xác định trên nửa khoảng(a, b](a < b)

Trang 52

I = lim

x →0

1 x

Trang 53

1 Hàm số f (x ) và g (x ) xác định trên nửa khoảng[c, +∞)

Trang 54

Ví dụTính giới hạn khi n ∈ N, a > 1

Trang 55

a Tìm giới hạn dạng không xác định 0.∞Định nghĩa

Giả sử yêu cầu tính giới hạn lim

SinhVienZone.Com

Trang 56

Ví dụTính giới hạn khi µ > 0

SinhVienZone.Com

Trang 57

b.Tìm giới hạn dạng không xác định ∞ − ∞Định nghĩa

Giả sử yêu cầu tính giới hạn lim

x →a(f (x ) − g (x )).Nếu như lim

không xác định ∞ − ∞Dạng không xác định này được chuyển về dạng

Trang 58

Chú ý Trên thực tế dạng không xác định này

Ví dụTính I = lim

Trang 59

c Tìm giới hạn dạng không xác định 1∞, 00Những dạng không xác định này đối với hàm số

xác định quen thuộc 0.∞ bằng cách logarit hóa

Trang 60

Xét đồ thị hàm số y = ex − 1 và các hàm đa thức:

SinhVienZone.Com

Trang 61

đa thức xấp xỉ với một hàm số cho trước?

SinhVienZone.Com

Trang 62

Công thức Taylor

trong lân cận này đạo hàm đến cấp n − 1, và chotồn tại f(n)(x0) Khi đó

Trang 63

Định lý

Trang 64

2k+1 + o(x2n+2);

SinhVienZone.Com

Trang 68

Ví dụTìm khai triển Maclaurint của

4

đến cấp n

π2

Trang 71

x44! + o(x

4 )

Trang 72

Ví dụ

2

1 + sin xđến cấp 6

Trang 75

Tính giới hạn bằng khai triển Maclaurint

Tìm giới hạn bằng khai triển Maclaurint đối với

0 khi thay VCB tương đương bị triệt tiêu.

phải là đa thức đến bậc thấp nhất củaVCB ở mẫu

SinhVienZone.Com

Trang 77

Ví dụ

Tính giới hạn I = lim

x →0

arctan x − arcsin xtan x − sin xGiải

Khai triển Maclaurint ở mẫu số trước để xácđịnh bậc VCB của mẫu số

Trang 79

Giải Khai triển Maclaurint ở mẫu số trước để xácđịnh bậc VCB của mẫu số

Trang 80

Khai triển biểu thức tử số đến cấp 3, ta có

Trang 81

SinhVienZone.Com

Trang 82

Ví dụ

Tính giới hạn I = lim

x →0

ecos x − e.√3 1 − 4x2 1

Trang 84

Các bước khảo sát hàm số y = f (x)

Tìm tập xác định

hàm bằng 0 hoặc không tồn tạiLập bảng biến thiên

Trang 85

Tiệm cận

Nếu lim

x →x0f (x ) = ∞ thì x = x0 là tiệm cận đứng Nếu lim

x →∞ f (x ) = y0 thì y = y0 là tiệm cận ngang Nếu lim

x →∞ (f (x ) − (ax + b)) = 0 thì y = ax + b là tiệm cận xiên Tìm a, b theo công thức a = lim

Trang 86

Khảo sát tính lồi, lõm, điểm uốn

Tìm tập xác địnhTìm f00(x )

bằng 0 hoặc không tồn tại

Nếu f 00 (x ) > 0 trong khoảng (a, b) nào đó thì đồ thị hàm số lõm

trong khoảng này.

Nếu f 00 (x ) < 0 trong khoảng (a, b) nào đó thì đồ thị hàm số lồi

trong khoảng này.

Nếu f 00 (xi) = 0 hoặc không tồn tại f00(xi) và đạo hàm đổi dấu khi qua x i thì hàm số có điểm uốn tại x i

SinhVienZone.Com

Trang 87

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

là −∞, b có thể là +∞) ⇒ Lập bảng biếnthiên ⇒ Kết luận

Tìm f0(x ) ⇒ tìm những điểm xi mà tại đó f0(xi) = 0

Loại những điểm x i ∈ [a, b] Tính giá trị của f (x) tại / những điểm x i ∈ [a, b]

So sánh f (a), f (b) và f (x i ) với xi ∈ [a, b] ⇒ GTLN, GTNN.

SinhVienZone.Com

Trang 89

SinhVienZone.Com

Trang 91

SinhVienZone.Com

Trang 92

Ví dụTìm tất cả các tiệm cận của đồ thị của hàm số

Trang 95

Ví dụTìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

y =

(x − 3)ex +1, x > −1 (x − 3)e−x−1, x < −1

@, x = −1

y0 = 0 ⇔ x = 2

⇒ f (−2) = −5e, f (4) = e 5 , f (2) = −e3, f (−1) = −4 Vậy GTLN = e5, GTNN = −e3.

SinhVienZone.Com

Trang 97

SinhVienZone.Com

Trang 98

Tiệm cận: lim

x →+∞

x3

ngang về phía phải

Không có tiệm cận đứng, tiệm cận xiên

SinhVienZone.Com

Trang 99

Ví dụ

1 − x3.Giải

Trang 100

SinhVienZone.Com

Trang 101

Hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cậnngang.

Vậy tiệm cận xiên là y = −x

SinhVienZone.Com

Trang 102

SinhVienZone.Com

Trang 103

Tính đạo hàm

syms x; diff (x ˆ2 + 2) ⇒ ans=2*x

diff(f,x,n) Ví dụ: syms x; diff (exp(x ˆ2 + 1), 4)

⇒ ans = 12 ∗ exp(x ˆ2 + 1) + 48 ∗ x ˆ2 ∗exp(x ˆ2 + 1) + 16 ∗ x ˆ4 ∗ exp(x ˆ2 + 1)

SinhVienZone.Com

Trang 104

Khai triển Taylor-Maclaurint

SinhVienZone.Com

Trang 105

Giải phương trình tìm điểm nghi ngờ, điểm cực trị, điểm uốn

SinhVienZone.Com

Trang 106

Vẽ đồ thị

Ví dụ: syms t; x=t;y=t ˆ2; ezplot(x,y,[0,2])

Trang 107

THANK YOU FOR ATTENTION

SinhVienZone.Com

Định dạng
Số trang	107
Dung lượng	1,9 MB