P1C7 đạo hàm và vi phân www toantuyensinh com

Béai 2 Mich các định của hàm có uray... Đạo hàm hàm số cho ta'kết quả... Đạo hàm của hàm số.. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh để sau.. Trong các mệnh đề sau mệnh để nào đúng... Đạo hầu bậ

| d) Dao hem cia ham lug thita y = x" (a eR, x >0)

Li

a

y=x" =y' =ax”

y=u" =y =ơu"'u(x)

10 Đao hàm cấp cao:

Ham sé: y= f(x) cé dao ham la y’ =f (x) Him so y' =f (x) có dao ham thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số: y = f(x)

Kí hiệu: ƒ”(x)= [y9

Tương tự: tr [x]] =f" (x)

Kí hiệu đạo hàm cap n f'"!(x) của hàm số: y = ƒ(x) là:

f)=[f"")]

11 VI phân:

Cho hãm số: y = ƒ(x) có đạo hàm tại xạ Gọi số gia đối số tại xạ là AA x

}

thì tích f’(x,).Ax gọi là vi phân ca‘ham s6 tai x = Xp

Ki hi@u: ‘df(x,)=f' (x, )Ax

Néu f(x)=x > df(x)=d(x)= Ax

Thay kí hiệu Ax boi dx

Vay df (x)= f!(x)d(x)

B Bai tap mau

I Bài tập có lời giải

I

Bài 1 Miền xác định của hàm sỐ: y=¬ ; ` ch—

A (0; +20) B R/{I} C R/{0} D (1; +0)

Giải

Đáp án C R/{0} vì điều kiện ƒ(x) xác định: e`'—1zØ (1)

Giải điều kiện: e` =l #0 ©e` #e” © x 0= MXĐ =R` Í0}

10

Béai 2 Mich các định của hàm có uray -

As Dee(-1 1) BD - |kxIk € Z (2 số nguyên)

CD JÁ3EIKCZ(Z40ndaens DD 2 kal keZ(Z songuyen)|

Giei,

DwinC D=jkinlne 2(2Z số euven jf vi

cox 120 cosn © 1 vows sx =hin hed

Biab 3 Cho tame sa yo P(N) 08 + =3, Trong các tập sau đây đâu là

THIÊN chị THỊ của HE so

Ä.z(=LUW B@G=[L»ez]l tvG-|3xø] D.G=R

Gia

Divan C G = [2 +x)

Biai 4 Tim mien gid tri cua ham sa: y = x -

x

A.G=R/{0l B.G=(L+z) © G=R D.G=(0,+)

Gia

Đá» án C.@G=R

Xé phương trình: y =x - Weg x= yx -1=0

X

Phương trình luôn luôn có nghiệm vy eR (Viac <0)

Vậy G =R

Biai 5.Tim mién giá trị: f(x) = ao)

A.G=(-I+z) B.G=(L+z) CG=(-L+l) D.G=R

Dio in C Vi G=(-L+1)vi f(x) <— có nghiệm

E6 +] ‘

©yc'+y=e`-|<>e (I-y)=y+l©e'=} 78

ly

II

2210 (y+I)(1-y)>0 2-1 <y<l

a

Bài 6 Tìm miền giá trị hàm số y = f(x) =x* - 2x +2 Trong cdc tap !hop

sau day, ta> hop nao 14 mién gid trị của f(x)

A [-1,1] B [I,+=] C [-1, +29] D [2,+20]

Đáp án B vi gid tri cha f(x) đạt cực tiểu tại x = 1, y= 1 Vay G= [1, +000]

Bài 7 Để xét hàm y = ƒ(x) = |x| có đạo hàm tại x = 0 hay không Một !học

sinh làm như sau:

k Tinh Aytaix =0: Ay = f(0+Ax)- (0) =|Ax|

Il Lập tỉ số: AY a

Ax |Ax|

II Tính lim AY lim [ax] =

Ax 30 Ax Ax>0 AX

IV Kết luận: f’(0)=1

Lập luận sai từ bước nào

Giải

Sai từ bước III

lim LÊ - tim =Ê% ~ —|

Ax+0 Ax At2>0 AX

Vay lim oe không tồn tại

Ax-0 AX

Bai 8 Lập phương trình tiếp tuyến với (C): x‘ -2x +1 tai M(O, 1):

A y=2x4+1 Bo y=-2x-1 C y=-2x41 D y=2x-1

Giải

Chọn C y =-2x +1 vi y/ (x) =3x* -2=> y' (0) =3.0-2=-2

Phương trình tiếp tuyến tại MÍO L) là: y =-2(x 20) #Deply = -2x4/1

X Bàii 9 “ho hàm số: y =-—-, Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng

l x|

A “(O)=1 B f(x) khéng c6 dao ham tai x = 0

‘Gia

Day in C f'(0)=1

Vì A sai: /(0)=0

D sii vi:

lim f(x)= lim —— =0=/(0)

Ta sát J`” eae

lim f(x)= lim ia 0=/(0)

Vậy hàm số liên tục tại x = 0

Tint dao ham tai x = 0

0+ Ax)-f(0

Ari- m 01 wae +a)-ƒ/{ Ì_ tim ẤN BẾI xàe (1~|Ax]Ax AX — =

0+Ax)-/{0

£0 )= lim _ /(0+ Ax)=/(0)- lim ——Š_——-1

Vậy /(0)=//(0)=/40' )}=1 = Bsai

Baii 10 Cho hàm số: y =xÌ`+2x” —x~2tiếp tuyến tại điểm M(1 ,0) có

(Giải

!Đápán C vì tiếp tuyến tại M có phương trình: y(x)=3x+4x—I1—y (I)=6

'Vậyphương trình tiếp tuyến: y = 6(x -1) © y =6x—6

Bàii 11.Cho ham số: y = (x — I)(x ~ 2)(x — 3) Đạo hàm hàm số cho ta'kết quả

Gigi

13

A y =3x*-12x 411

Phuong dn 1: Ta nhan thay y = x*- 6x7 + }1x.- 6 oy! = 3x7 - 12x +111

Phương án 2: y =(x -1)(x -2)(x -3)

=y'=(x~2)(x~3)+(x~1)[x~2+ x - 3]

= x7 —S5xX464x7 -3x424x° -4x 43 =3x7 - 12x41]

Bài 12 Cho hàm số: y = sin(cos” x) Đạo hàm của hàm số

A y! = sin x cos(cos? x) B y’ = 2cosxsin x cos(cos? x}

€ y' =-sin2x cos(cosỶ x) D y =sin2xcosx cos(cos” x)

Giải

Đáp án C y/ =—sin2x cos(cos" x} vi dp dung dao ham ham hop

a

y= sin(cos” x)= y'= cos(cos" x)(cos x) = cos(cos” X}.2cos x.(CCOS x

=y'= ~sin 2x.cos(cos” x]

Bài 13 Cho hầm số: y = x(2x +1)” tính ƒ(0)

A./(0)=0 B./(0)=1 C./(0)=l0 D /'(0)=20

Đáp án B ƒ (0) =1

y=x(2x+1)"=y' =(2x+1)” +x.10(2x +1)”.2

=(2x +1)" +20x (2x +1)’ = y/ (0) =f (0)=1

ax+b

a+b

Bài 14 Cho hàm số: y = với (a+b z0) tính ƒ (0) có kết quả

a+b

Giải

Dip én B f’ (0) =—

Vì: y= " x+ -=>y' (x)= > y'0) =

14

Beai 15 Trong ede menh de sau menh de nao dung

|

SH XN

C.lcoslx+e~ (| =xmnlxe< | D.(sn2x) =cos2x } 1 ¬" 1 3j

Giar

Đáp ín B (cotgx) =—(I+cotg x} vì (cotgx) =-—,— =-(I+cotg’x]

Sin” x

Bàii 16 Tìm mệnh đề sai trong các mệnh để sau

Giui

Đáp án B (10° ) = 10° lg 10 vì (a`) =a‘ Ina = (10° ) =10`ln10

Bài 17 Trong các mệnh đề sau mệnh để nào đúng

Ai (lgx) a! B (In2x) ae € [m(x')| == D (x"?) =x" Inx

‘Gia

grange fF và cự š 2 to 2,

Điáp án C | In(x )} 7 i {n(x )] 2x \

Baii 18 Cho ham so: y = f(x) = xe Tinh f" (1)

iA Fis 2e f (1) =3e Cc fi (jade D f' (I=

(Giiai

Dp dn B f (1) =3e

y= f(x)=xe => y =f (x)se" (x1)

apy =f (xpee'(x+2) Sy" (I) =f" (I) =3e

Baii 19 Cho ham sé: y = f(x) =sinx Đạo hàm bậc n chaham s6ila:

15

T

C /*&)==sn[x+nŠ]) D f* (x) =cos(x + n2nz)

Gidi

Đáp án B f" (x) = sin( x + H vì dùng phương pháp quy nạp toán hnọc

ta có: f'(x)=cosx = sin +5] đúng

Giả sử đúng với một số k nào đó ƒ" (x) = sn + k3]

Ta chứng minh: ƒ*” (x) = sol x +(k+ 05]

That vay:

#*⁄@)J = ` + ¬ = sin(x -kš +2) = sin| x +(e 03] - mm (3

2

Bài 20 Cho hàm số: y = xe" Đạo hầu bậc n của hàm số

A./"(x)=xe` B./'(x)=2nxe' C./" (x) =(x+n)e" _D "(x) =x+nne*

Giải

Đáp án C f" (x) =(x +n)e*

Dùng quy náp toán học ta có:

ƒ#'{x)=(x+l)e` đúng

Giả sử đúng: ƒ”'(x)=(x+n—I)e"

/'{x)=(x+n-I}e"+e` =e*°(x+n)

IL Bai tap tu giai

Dang 1: Tap xác định - tập giá trị hàm số

Bài 21 Cho hàm số y = ƒ(x) = 7 Tâp xác định của hàm số

A D=R\{-11} B D=R\{I} C.D=R\{I} D D=R\{0}

Bài 22 Tập xác định của hàm số: y = V3-x + ¥x+8/ 1a:

A.D=R B D=[-8,3] C D=(-s;3| D:D=(—=s8|L[3++s

l6

tài 23 Tân xác định của hiưm số: Ý = dla

gr]

Biài 24 Tập xác định của ham so y ——*log,(x”—=2x+]}

C B=sÍ-ø; 1]U[: 3U: +a) D.D = (-*: 1)U (2: 3)U(3; + &)

=

Biài 2Š lập xác định của ham so: y = )— — gỗ trÌx

A D=(-«:-2)U(-2.2)U(2.+%) B.D=(->:~2)U(2.+<)

Dang 2: Tim mién gid tri cua ham so y = f(x)

Xét phương trình /{(x)- y =0 Xem y tham số và tìm điều kiện tham số |

y đẻ phương trình có nghiệm = Tập giá trị của hàm số

Xét trực tiếp y = /(x) (dùng bát dàng thức, hoặc dùng phương pháp tìm _glá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số) |

Biai 26 Ham s6: y = x + ` có miền giá trị:

x

A R\(-2;2) B R\[-2:2 Cc R\{ D R\ {0}

Bai 27 Ham sé: y = x - i có miền giá tị:

x

A R\[-2;2] B R \(-2;2) Cc R\O D.R

Sổ š &, 2x-1 ae een

Baai 28 Ham sé: y = —————— có miền giá trị:

x +2x4]

A.R=G B.G<l CG=RXNÍ D.G>lI

2+ c0sX

Bài 29 Hàm số: y = ——~ — có miền giá trị:

SINX + €OsX +2

A o-|! XU Di go —_= Fei

¡_ ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI

TRUNG TAM THONG TINSTHU VIEN

17

c G=[-5-vi9;-5+ V19] D.G=R

ae 7 ,- iWnxt2 , og

Bài 30 Hàm số: y = có miện giá trị

A.G=R B.G=R\{I} C.G=R\{e} D G=R\{e, 1}

Dang 3: Quy tắc tình đạo hàm; đạo hàm của hàm số tại diém x = x0

Phương pháp giải: Tính f(x.) =f’ (x)= f' (xo)

f'(x3)= lim ƒ{xs+A)-ƒ)

Ax0ˆ AX

Bai 31 Dao ham ham sty: =, rong các mệnh để sau, mệnh đẻ nào đúng

x

A.ZØ()=2 B/(-)=2 C/()=-2 D/(-I)=-2

Bài 32 Hàm số : y = : 3 | Tính đạo hàm hàm số tại x = 0:

x

A f'(0)=-1 B f/(0)=1 C.//(0)=0 — D.kếtquả khác

Bài 33 Hàm số: y = |x - 2007| Trong các mệnh để sau mệnh đề nào đúng

C ƒ(x) không có đạo hàm tại x = 2007 D /'(2007)=-—I

x

Bài 34 Tính đạo hàm của y = (x? + 1)

B y’ =( +1) [Inf 01) =

x +1

3

3 2x"

A.yí = In(x? ml

x +1

Bài 35 Cho f(x) = x(x —1)(x~2)( )(x - 2007) Tính // (0)

A f'(0)=0 B f' (0) II 1c f' (0) = -2007! / Ds #' (0) = 2007!

18

6H N :

Baai 3š Xét tính khá vi cua ham so | \ Các mệnh để sau,

{0 nếu x =0

meénh Jé nao dung

€ ƒ(x) không có đạo hàm tại x = 0 D./(0)=-I

Bui 3° Cho ham so: y = SSS inn f (x)

x4]

*+2x41

A f' (x)= 2x41 Bf (pat Se

(x41)

Baai 30, Trong các hàm số sau hàm số nào đạo hàm của hàm số: y =vx” +l

Bài 36 Trong các hàm số sau, hàm số nào là đạo hàm của hàm số: y =3`.4

C.v=3'+4' D y =2* In2+3* In3

Baai 4( Trong cdc hàm số sau, hàm số nào là đạo hàm của y = Ìncosx

`

A.v=tanx B.y=-tanx C y =cotgx D y = -cotgx

Bài 4L Trong các hàm số sau hàm số nào thoả mãn hệ thie: y’ = 2y

A.yv=x ` By=2e' C.y=e”" D y=sin2x

‘Dare 4: Dao ham cip cao; vi phan

Bài 42 Tính ƒ” (0) cua ham so: f(x) =(x +1)

1

19

Bài 43 Cho ham sé: f(x) = x'—3x7 +9x +2 7= %

A.6 B.3 C.0 "

Bai 44, Cho ham s6: y = e** Tinh f" (x): ad

fr(x)=2"e* B ft(x)=2 eC f"(x)=2e" D f"(x

Bai 45 Cho ham s6: y = cosx Dao ham ƒ" ):

A f"(x)=cos{ x+n2) —B, f°(x)=-sin{ x +0]

C ƒˆ(x)= cos(x + nr) D f" (x) = -sin(x + nt)

Bài 46 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

A f(x) <a! (x)= f(x) <a(x) B /(x)= g(x)= /(x)=g (x)

C./(x)=g(x)=/(x)=s(x) D f(x) > 8! (x) = F(x) > g(x)

Bai 47 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai: y = xe*

Avy’ =yte" By’ =y-2e Cy” sy+3e° Dy’ ty! =

Bai 48, Choham s6’y=f(x)=4 x“! **9 tinh Pw:

Bài 49 Cho hàm số y = f(x) = x” + 3x” + 3x T—2 Điểm uốn đồ thị (C) ccủa

ham sé la:

A, U(-1,-2) B U(-1,-3) C.U(-I0) D.U(-I-l)

Bai 50 Cho ham sé y =e”* Tinh y" =f! (x):

A F(x) =2%e* B f(x) = 2%e* C f(x) = 2%e** D f(x) =2"e2™

HI Hướng dẫn trả lời `

Bài 21 | Bai 22 [Bai 23[Bai 24[Bai 25|Bài 26 |Bài 27 [Bài 28|Bài 29]Bài -30

Bài 31 | Bài 32 |Bài 33|Bài 34|Bài 35|Bài 36|Bài 37|Bài 38|Bài 39 |Bài -40

Bai 4i Bai 42 Bài 43 Bài 44 Bài 45|Bài 46 Bài 47 7ÌBài 48| Bài 49 |Bài £50

20