BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ---PHƯƠNG PHÁP TÍNH – CHƯƠNG 6 GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG • TS.. NGUYỄN QUỐC LÂN 05/2006 SinhVienZone.Com... BÀI TOÁN LAPLACE 3– PHƯƠNG TRÌNH PAR
Trang 1BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-PHƯƠNG PHÁP TÍNH – CHƯƠNG 6 GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO
HÀM RIÊNG
• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2006)
SinhVienZone.Com
Trang 2NỘI DUNG
-
-1- BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN
2 – PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC BÀI TOÁN LAPLACE
3– PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC BÀI TOÁN TRUYỀN
NHIỆT SƠ ĐỒ HIỆN – ẨN
SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn
SinhVienZone.Com
Trang 3BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN
-
-Phương trình elliptic (tĩnh – static): f x y
y
u x
u
,
2
2 2
2
Phương trình parabolic (truyền nhiệt): 0
2
2 2
x
u a
t u
Xấp xỉ đạo hàm riêng:
t
t x u t
t x
u t
x t
,
t
x ,
t t
x ,
t
Phương trình hyperbolic (truyền sóng): 0
2
2 2 2
2
x
u a
t u
2 2
2
, ,
2
, ,
x
y x x
u y
x u y
x x
u y
x
x
u
x x
x
x
2
4 3
2 1
2
2 2
2
4
x
P u P
u P
u P
u P
u y
u x
3
P
4
P
SinhVienZone.Com
Trang 4BÀI TOÁN ELLIPTIC
-
-Toán tử Laplace :
Ptrình Poisson (f 0: Laplace) & điều kiện biên Dirichlet
) , ( ), , ( )
, (
, ), , ( )
, ( )
,
2
2
2 2
y x y
x g y
x u
R y
x y
x f y
x y
u y
x x
u u
2
2 2
2
,
y
u x
u u
y x u u
Giải bằng sai phân hữu hạn : Chia nhỏ Tính xấp xỉ giá trị nghiệm u tại các điểm chia
y x f
:
y x g
:
SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn
SinhVienZone.Com
Trang 5MINH HỌA Ý TƯỞNG
-
-Tính giá trị nghiệm u(x, y) của bài toán sau:
*
3 1
, 2
, 1
4 1
, 18 3
3 ,
3 1
, 16 8
, 4
4 1
, 2 1
,
:
3 1
, 4 1
, 4 2
2 2 2 2
2
2 2
2
y y
y y
u
x x
x x
u
y y
y y
u
x x
x x
u
y x
x y
y
u x
u u
Biên Kiện
Điều
tại các điểm chia bên trong miền đang xét với bước
chia cách đều x = y = 1
SinhVienZone.Com
Trang 6GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN ELLIPTIC
-
-Phân hoạch : Chia nhỏ bởi các đường thẳng // Ox, Oy
*
) ( 4 ) ( )
( )
( )
( )
(
2
4 3
2 1
h
P u P
u P
u P
u P
u P
u
x = y = h: Tạo lưới bước chia cách đều h Ký hiệu: P 1 , P 2 , P 3 , P 4
4 điểm kề P
Công thức xấp xỉ Laplacian u (công thức đạo hàm hướng tâm!)
Lần lượt thay P k (x, y) vào phương trình elliptic, dùng (*) & điều kiện biên (giá trị u trên biên) Hệ phương trình ẩn u k = u(P k )
x
y
P
1
P
2
P
3
P
4
P
SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn
SinhVienZone.Com
Trang 7VÍ DỤ
-
-Giải bài toán
1 0
, )
, 1 ( , 0 )
, 0 (
1 0
) 1 , ( , 0 )
0 , (
1 0
, 1 0
, 0
2 2
2 2
y y
y u
y u
x x
x u x
u
y x
y u
x u
bởi lưới bước chia cách đều h = 1/3 trên 2 trục Ox và Oy Lưới 4 nút ẩn 4 giá trị cần tìm Đánh số, tính giá trị biên:
1 2
u
2 1
u
3 4
u
Nút 4: u 2 u3 1 3 4u 4 0
1
3
P
4
P
0
3 1
3 2
3
1 2 3
0
0
SinhVienZone.Com
Trang 8KẾT QUẢ
-
-Hệ phương trình Au = b với
2208
0
1104
0
4429
0
2208
0
u
Chú ý: Phương trình Poisson u = f(x, y) ( Laplace: u = 0)
33 0 0
33 1
33 0
4 1 1 0
1 1
0
4 0
1
0 4
1
1 1
4
b A
1
3
P
4
P
0
3 1
3 2
3
0
0
y x
y
u x
u u
2
2 2
2
1
1 f P P
u
1 3
2 , 3
1 9
1
4 3
1 0
1 3
2
f
u u
u
SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn
SinhVienZone.Com
Trang 9PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
-
-Bài toán truyền nhiệt 1 chiều (đkiện biên + đk ban đầu)
Phân hoạch : Lưới theo x độ dài x , theo t độ dài t Các đường thẳng x = i x, t = k t
1 0
), ( )
0 , ( x u0 x x u
0 ,
1 0
), , ( )
, ( )
, (
2
2 2
t x
t x f t
x x
u a
t x t u
0 ,
0 )
, 1 ( )
, 0 ( t u t t u
Miền = (x,t) 0 x 1 , t 0
x
t
1
0
u
0
u
x
u 0
t
x
Xấp xỉ u/ t, u/ x & ĐK biên, đầu Giá trị u tại điểm chia
SinhVienZone.Com
Trang 10MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN TIẾN
-
-Xây dựng công thức tính u (1) (mức thời gian 1) theo u (0) với t
= 0.2, x = 0.5 bởi: Sai phân tiến theo t từ mốc thời gian 0
0 5
1
&
0 :
2 2
5 1 0
, 5
1 )
0 , (
; 0 ,
0 )
, 5 1 ( )
, 0 (
0 ,
5 1 0
, )
, ( )
, (
t x
x
x x
x x
u t
t u
t u
t x
xt t
x x
u t
x t
u
: Đầu Kiện Điều Biên
Kiện Điều
Tiến:
2 0
5
0 0
, 5 0
1 1
u t
u
2 2
2
5 0
0 5 0 2 5
0 0
, 5 0
x
u
5 0
2
.
0
5 1
x
t
0
u
0
x
5 0
0 5 0 )
0 , 5 0 ( )
0 , 5 0 (
2 2
x
u t
u
0 5
0
5 0 2
0
5 0
2
1 1
u
1 0
1 1
u
SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn
SinhVienZone.Com
Trang 11MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN LÙI
-
-Xây dựng công thức tính u (1) (mức thời gian 1) theo u (0) với t
= 0.2, x = 0.5 bởi: Sai phân lùi theo t từ mốc thời gian 1
0 5
1
&
0 :
2 2
5 1 0
, 5
1 )
0 , (
; 0 ,
0 )
, 5 1 ( )
, 0 (
0 ,
5 1 0
, )
, ( )
, (
t x
x
x x
x x
u t
t u
t u
t x
xt t
x x
u t
x t
u
: Đầu Kiện Điều Biên
Kiện Điều
5 0
2
.
0
5 1
x
t
0
u
0
x
5 0
2 0 5 0 )
2 0 , 5 0 ( )
2 0 , 5 0 (
2
2
u
u
1 0
2 5
0
2
1 1
1 2
1
1 u u u
2 0
5
0 2
0 , 5 0
1 1
u t
u
2
1 0
1 1
1 2 2
2
5 0
2 2
0 , 5
x u
Lùi:
SinhVienZone.Com