Đây là tài liệu của các bạn sinh viện hiện tại đang học tại Đại học Bách Khoa TP HCM. Đồng thời cũng là giáo án của giảng viên tại Đại học Bách Khoa. Nó sẽ rất hữu ích cho công việc học tập của các Bạn. Chúc Bạn thành công.
Trang 1Chương 1: Giới hạn dãy số
Dãy có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất:
lim n & lim n
Trang 2Chương 1: Giới hạn dãy số Tóm tắt lý thuyết
3 Dãy VCB : gọi là dãy VCB lim n 0 n :
Trang 3Chương 1: Giới hạn dãy số Tóm tắt lý thuyết
Trang 4Chương 1: Giới hạn dãy số Tóm tắt lý thuyết
Trang 5Chương 1: Giới hạn dãy số Tóm tắt lý thuyết
n
p e
Trang 6Chương 1: Giới hạn dãy số
Trang 7Chương 1: Giới hạn dãy số
n n
4 lim
n n
Trang 8Chương 1: Giới hạn dãy số
n n
4 lim
n n
Trang 9Chương 1: Giới hạn dãy số
III Bài tập: Tính với: lim n
n u
1
1 58
22
n n
Trang 10Chương 1: Giới hạn dãy số
III Bài tập: Tính với: lim n
Trang 11Chương 1: Giới hạn dãy số
III Bài tập: Tính với: lim n
Trang 12Chương 2: Giới hạn và Liên tục
I Các hàm sơ cấp cơ bản:
Hàm số mũ: y = a x
MXĐ: (-∞,+∞), MGT: (0,+∞)
Điều kiện : a>0, a≠1
Khi 0<a<1: Hàm nghịch biến
Trang 13Chương 2: Giới hạn và Liên tục
a x
x x
a x
a x
x x
x
x a
Trang 14Chương 2: Giới hạn và Liên tục
Trang 15Chương 2: Giới hạn và Liên tục
Trang 16Chương 2: Giới hạn và Liên tục
Trang 17Chương 2: Giới hạn và Liên tục
II Hàm hợp – Hàm ngược – Hàm hyperbol:
Hàm hợp : Cho 2 hàm g X : Y f Y , : Z
Ta gọi hàm hợp của 2 hàm trên là h f g
Được xác định như sau : h X : Z h x , ( ) f g x ( ( ))
Lưu ý : Nói chung 2 hàm
không bằng nhau
,
f g g f
Trang 18Chương 2: Giới hạn và Liên tục
Như vậy : f(f -1 (y))=y và f -1 (f(x))=x
Ta có: MXĐ của hàm f -1 là MGT của hàm f và MGT của hàm f -1 là MXĐ của hàm f
hàm ngược của hàm, đựơc kí hiệu là y = f -1 (x),
Trang 19Chương 2: Giới hạn và Liên tục
II Hàm hợp – Hàm ngược – Hàm hyperbol:
cosh( )
x x
x
cosh( ) coth( )
sinh( )
x x
x
1/ ch2x – sh2x = 1 2/ sh(2x)=2shx.chx, ch(2x) = ch2x + sh2x 3/ ch(x+y) = chx.chy + shx.shy 4/ ch(x-y) = chx.chy - shx.shy 5/ sh(x+y) = shx.chy + shy.chx 6/ sh(x-y) = shx.chy - shy.chx Công thức liên hệ
Định nghĩa
Trang 20Chương 2: Giới hạn và Liên tục
II Hàm hợp – Hàm ngược – Hàm hyperbol:
Ví dụ: Tìm hàm ngược của các hàm sau
Trang 21Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và liên tục:
Trang 22Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và liên tục:
Cho x 0 là điểm tụ của MXĐ Df của hàm f(x)
Trang 23Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và liên tục:
Trang 24Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và liên tục:
Trang 25Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và liên tục:
Gh cơ bản thường gặp khi x→0
0
tan8) lim 1
x
x x
2 0
0
arcsin7) lim 1
x
x x
0
12) lim 1
0
sin1) lim 1
x
x x
2 0
Trang 26Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và liên tục:
Các dạng vô định:
0
7)
06) 0
3) 0
0 1)
0
Ví dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các giới hạn cơ bản 1
2 0
ln(cos )lim
x
x L
Trang 27Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và liên tục:
Trang 28Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và liên tục:
Định lý:
Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có giới hạn trái, giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau
Chú ý:
tồn tại giới hạn hàm (Ngoài cách dùng định nghĩa
bằng ngôn ngữ dãy)
2.Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hoặc hàm ghép
Trang 29Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và liên tục:
Ví dụ: Tính giới hạn
1 0
1 1
Trang 30Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và liên tục:
Hàm liên tục: Hàm y=f(x)
được gọi là liên tục tại
điểm x=a thuộc MXĐ
Hàm gián đoạn tại x=a nếu
nó không liên tục tại đó
Đồ thị của hàm y=f(x) gián
đọan tại x=3
Trang 31Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và liên tục:
Các hàm sơ cấp cơ bản là 5 lớp hàm sau
Hàm sơ cấp là các hàm tạo từ các hàm sơ cấp cơ bản với
4 phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) & phép hợp hàm
Định lý (về sự liên tục của các hàm sơ cấp):
Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm xác định của nó
Trang 32Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và liên tục:
Liên tục 1 phía: Thay giới hạn trong định nghĩa hàm liên tục bởi 2 giới hạn 1 phía, tương ứng ta có khái
niệm liên tục trái, liên tục phải
Định lý: Hàm liên tục tại x=a khi và chỉ khi nó liên tục trái và liên tục phải tại x=a
Tính chất hàm liên tục: Tổng, tích, thương và hợp các hàm liên tục lại là các hàm liên tục
Ví dụ: Tìm a để hàm
2
1, 1 ( )
Trang 33Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và VCB - VCL:
VCB: Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x→x 0 nếu
Trang 34Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và VCB - VCL :
( )
x x
x
k x
Trang 35Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và VCB - VCL :
Trang 36Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và VCB - VCL :
Qui tắc thay VCB tương đương với tích, thương
Qui tắc thay VCB tương đương với tổng nhiều VCB
Giả sử a≠0, b ≠0, α, β là các hằng số thực sao cho
Trang 37Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và VCB - VCL :
Ví dụ: So sánh các VCB sau khi x→0:
2 2
Ví dụ: Tìm a, b để α(x) tương đương với axb khi x→0
x
x L
Trang 38Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và VCB - VCL :
Ví dụ: Tính giới hạn
1
sin 2( 1)lim
x x
x L
Trang 39Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và VCB - VCL :
Ví dụ: Tính giới hạn
Ví dụ: Tính giới hạn
Khi thay VCB tương đương,
tử số thành 0 KHÔNG ĐƯỢC THAY
sin
1 ~
1 ~ sin ~
x x
Trang 40Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và VCB - VCL :
VCL: Hàm số A(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x→x 0 nếu
Trang 41Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn và VCB - VCL :
Qui tắc ngắt bỏ VCL
0
lim Tổng hữu hạn các VCL
Tổng hữu hạn các VCL
VCL bậ
cao nhất cao nhất
Trang 42Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn – Bài tập:
1
3 0
1
2 2
x x
a a
x
x x
x x
x x
1
5
2 0
1
2 sin0
0
tan sin
7 lim
1 cos
8 lim
1 arctan
x
x
x
x x x
e
x x
Trang 43Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn – Bài tập:
1
2 1
0
2 3 1
4
2 0
17 lim
18 lim 1 tan
2
n x
x
n x
20 lim
3 1
x x
x m
x m
x x
x x
x a
a x
x x e
a a
x m x
Trang 44Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn – Bài tập:
0
tan 2
x x
x
x
x x
x x
x x
Trang 45Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn – Bài tập:
Tính bậc của các VCB sau so với x, khi x0
3 3
4
2 5
8
3 2 9
3 10
tan sin arctan 8 2
Trang 46Chương 2: Giới hạn và Liên tục III Giới hạn – Bài tập:
x x
3
( )
tan( 1 2 1) ( )