TOÁN CAO CẤP - ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

1 ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0

 (a,b) Nếu tồn tại

0

0 x

)x(f)

x(

flim

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

- Đạo hàm bên phải:

- Đạo hàm bên trái:

x

ylim

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:

Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:

• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’

• u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u

• u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và

2

'

v

u'vv

'

uv

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Đạo hàm của hàm số ngược:

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và

có hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x):

)]

y(f

['f

1)

x('f

1)

y()'f

x(loga 

x

1)'

x(ln 

1)'

1)'

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Đạo hàm cấp cao :

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1 Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2 Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)

2

2 2

2

dx

f

d

,dx

yd

Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x)

n

n d f

,yd

k ) k n (

k n

) n

)uv( trong đó u(0) = u, v(0) = v

Ví dụ: Cho y = x (  R, x > 0), y = kex, tìm y(n)

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

2 VI PHÂN

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy

= y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm

số f

Vi phân của tổng, tích, thương:

d(u + v) = du + dvd(u.v) = vdu + udv

2

v

udv

vduv

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp

n của hàm số f

b

)a(f)b(

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả

vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại

c  (a,b) sao cho

)c('g

)c(

'f)

a(g)

b(g

)a(f)b(

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì x  D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho:

1

n 0

) 1 n

( n

0 0

) n (

2 0

0 0

0 0

)xx

()!

1n

(

)c(

f)

xx

(

!n

)x(

f

)

xx

(

!2

)x(

"

f)

xx

(

!1

)x(

'f)

x(f)

x(f

) 1 n

(

)!

1n

(

)c(

f)

x(

R    

Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang

k 0 0

k

!k

)x(

f)

x(

P

Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức

Maclaurin

1 n

) 1 n

( n

) n

(

)!

1n

(

)c(

fx

!n

)0(

f

x

!2

)0(

"

fx

!1

)0('

f)

0(f)

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn

Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x

 (a,b)

0)

x(glim)

x(f

lim

a x

a

L)

x('g

)x(

'flim)

x('g

)x(

'flim

a x

a

Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:

0)

x(glim)

x(f

x(f

lim

a x

a x

x(f

lim

x x

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)

3x

4x

27

xlim 2 3

xsin

xlim 



x1

arctgx2

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

2 Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /

Ví dụ:

xlnx

lim 5

0

x  

)4/x(tg)x4

cos

1(

lim

2 /

xlim x





x 1

2 1

xlim x 



x ln

1 1

xlim (cot gx)



C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

CỰC TRỊ

Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0))

Chiều biến thiên của hàm số:

Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):

1 Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Điều kiện cần của cực trị:

Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0

và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0

Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị

Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f:

a) Không tồn tại f’(x)b) f’(x) = 0

Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0

được gọi là điểm dừng của f

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Điều kiện đủ của cực trị:

Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0

a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0

b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0

c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0

Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:

1 Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai

đầu mút

C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:

f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4]

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

dân, hãy tính mỗi ngày bán

bao nhiêu tô thì có lời với giá

bán 5.000đ/tô và chi phí như

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế:

đổi của sản lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị

• Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp

và cho nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau:

L5

Q 

• Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị.

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

• Tối đa hóa lợi nhuận:

Hàm chi phí: TC = TC(x)Hàm cầu: x = QD = f(P)Giả sử thị trường độc quyền:

)TCTR

(

d0

dxd

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

cấp thông tin:

Định phí: FC = 600Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6xHàm cầu: x = -7/8 P + 100Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tốt đa