Toán cao cấp dành cho đào tạo bác sĩ đa khoa

Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột biểu diễn dưới dạng ñược gọi là ma trận cỡ m × n, trong ñó là phần tử nằm ở hàng i, cột j.. Ma trận tam giác là ma trận mà tất cả các phần tử ở phía

BỘ Y TẾ

TOÁN CAO CẤP

(DÙNG CHO ðÀO TẠO BÁC SĨ ðA KHOA)

MÃ SỐ: ð.01.X.01

Chỉ ñạo biên soạn:

VỤ KHOA HỌC VÀ ðÀO TẠO - BỘ Y TẾ

Chủ biên:

TS HOÀNG MINH HẰNG

Những người biên soạn:

TS HOÀNG MINH HẰNG ThS NGÔ BÍCH NGUYỆT

CN CAO CHU TOÀN

Thư ký biên soạn:

Thực hiện một số ựiều của Luật Giáo dục, Bộ Giáo dục & đào tạo và Bộ Y tế ựã ban hành chương trình

khung ựào tạo Bác sĩ ựa khoa Bộ Y tế tổ chức biên soạn tài liệu dạy - học các môn cơ sở và chuyên

môn theo chương trình trên nhằm từng bước xây dựng bộ sách ựạt chuẩn chuyên môn trong công tác ựào tạo nhân lựcy tế

ẹBản quyền thuộc Bộ Y tế (Vụ Khoa học và đào tạo)

Sách TOÁN CAO CẤP ñược biên soạn dựa vào chương trình giáo dục của Trường ðại học Y Hà Nội

trên cơ sở chương trình khung ñã ñược phê duyệt Sách ñược các tác giả TS Hoàng Minh Hằng, ThS Ngô Bích Nguyệt, CN Cao Chu Toàn biên soạn theo phương châm: kiến thức cơ bản, hệ thống; nội dung chính xác, khoa học, cập nhật các tiến bộ khoa học, kỹ thuật hiện ñại và thực tiễn Việt Nam

Sách TOÁN CAO CẤP ñã ñược Hội ñồng chuyên môn thẩm ñịnh sách và tài liệu dạy - học chuyên

ngành Bác sĩ ña khoa của Bộ Y tế thẩm ñịnh năm 2007 Bộ Y tế quyết ñịnh ban hành là tài liệu dạy - học ñạt chuẩn chuyên môn của ngành trong giai ñoạn hiện nay Trong thời gian từ 3 ñến 5 năm, sách phải ñược chỉnh lý, bổ sung và cập nhật

Bộ Y tế xin chân thành cảm ơn các tác giả và Hội ñồng chuyên môn thẩm ñịnh ñã giúp hoàn thành cuốn sách; Cảm ơn ThS Nguyễn Phan Dũng, TS Chu Văn Thọ ñã ñọc và phản biện ñể cuốn sách sớm hoàn thành kịp thời phục vụ cho công tác ñào tạo nhân lực y tế

Lần ñầu xuất bản sách khó tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi mong nhận ñược ý kiến ñóng góp của ñồng nghiệp, các bạn sinh viên và các ñộc giả ñể lần xuất bản sau sách ñược hoàn thiện hơn

VỤ KHOA HỌC VÀ ðÀO TẠO - BỘ Y TẾ

Lời nói ñầu

Toán học là môn khoa học tự nhiên có mặt trong rất nhiều lĩnh vực khoa học, bao gồm cả trong lĩnh vực nghiên cứu sinh, y học

Trong khuôn khổ chuyên ngành y, bộ môn Toán − Trường ðại học Y Hà Nội ñã giảng dạy Toán cao cấp trong nhiều năm cho sinh viên với mong muốn cung cấp các kiến thức cơ bản, cơ

sở Toán thống kê cho các nghiên cứu ứng dụng sau này

Cuốn sách bao gồm các kiến thức về ñại số, giải tích và một số bài toán ứng dụng trong sinh, y học với thời lượng 45 tiết

Cuốn sách là tài liệu dành cho sinh viên trường y và sinh viên các chuyên ngành ứng dụng sinh, y học khác và có thể làm tài liệu tham khảo cho các cán bộ giảng dạy và nghiên cứu trong lĩnh vực sinh, y học

Trong quá trình biên soạn chúng tôi ñã nhận ñược nhiều ý kiến quý báu của CN ðỗ Như Cương, TS ðặng ðức Hậu nguyên Trưởng bộ môn Toán − Trường ðại học Y Hà Nội Ngoài

ra, chúng tôi cũng nhận ñược sự ñóng góp ý kiến và giúp ñỡ về kỹ thuật vi tính của các ñồng nghiệp trong bộ môn Tuy nhiên cuốn sách khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tôi mong nhận ñược các ý kiến ñóng góp của bạn ñọc và ñồng nghiệp

CÁC TÁC GIẢ

Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột biểu diễn dưới dạng

ñược gọi là ma trận cỡ m × n, trong ñó là phần tử nằm ở hàng i, cột j

Ví dụ:

MỤC TIÊU

Học xong bài này sinh viên có khả năng:

1 Trình bày ñược ñịnh nghĩa ma trận và khái niệm các dạng ma trận

2 Thực hiện ñược các phép toán trên ma trận

Khi m = n thì A ñược gọi là ma trận vuông cấp n

Ma trận A và B ñược gọi là hai ma trận ñối nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử cùng vị trí có

giá trị ñối nhau

Ma trận ñối của A ñược ký hiệu là −A Ta có:

ðường thẳng ñi qua các phần tử gọi là ñường chéo chính của ma trận A

Các phần tử aij với i = j gọi là phần tử chéo.

Ma trận tam giác là ma trận mà tất cả các phần tử ở phía trên hoặc phía dưới của ñường chéo chính

ñều bằng không Có hai loại ma trận tam giác là ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới

2 4

= − − 

a b B

c d

là ma trận tam giác trên

là ma trận tam giác dưới

1 4 5

= −  và k = 2

2 2 2 3 2 1 4 6 2kA

− Ta có tích A.B nhưng chưa chắc có tích B.A Tức là muốn nhân A với B

(A bên trái, B bên phải) thì số cột của A bằng số hàng của B, còn muốn nhân B

với A (B bên trái, A bên phải) thì số cột của B bằng số hàng của A

− Nếu A, B ñều là ma trận vuông cùng cấp thì bao giờ cũng có tích A.B hoặc B.A nhưng chưa chắc A.B bằng B.A

1) A(B + C) = A.B + A.C;

2) (B + C)A = B.A + C.A;

Ví dụ 2: Cho

2.4 Phép chuyển vị

2.4.1 ðịnh nghĩa

Cho ma trận A = [aij]m×n, khi ta ñổi hàng thành cột hoặc cột thành hàng ta ñược ma trận mới gọi là

ma trận chuyển vị của A Ký hiệu là At, ma trận At có cỡ n×m

Bài 2 ðỊNH THỨC

Học xong bài này sinh viên có khả năng:

1. Trình bày ñược khái niệm về ñịnh thức và các tính chất của ñịnh thức.

2. Thực hiện ñược các phương pháp tính ñịnh thức.

3. Trình bày ñược mối liên hệ giữa ñịnh thức và ma trận.

3) A là ma trận cấp n: thì

(1.2.1)

Chú ý: là các phần tử nằm ở hàng 1 của ma trận A

Ta còn dùng   (hai gạch ñứng ñặt ở hai bên) ñể ký hiệu một ñịnh thức

ðịnh thức của ma trận vuông cấp n gọi là ñịnh thức cấp n

Từ bây giờ quy ước thay vì dùng det(A) ta dùng ký hiệu Dn cho ñịnh thức cấp n

Nhận thấy: det(A) = 1; det(B) = -23; det(A.B) = -23

Vậy: det(A.B) = det(A).det(B)

Nhận thấy:

− Nếu n = 2 thì (1.2.2) là ñúng

− Giả sử (1.2.2) ñúng với ma trận cấp n - 1, ta cần chứng minh nó ñúng với ma trận cấp n

Thật vậy, tiếp tục biểu diễn các ñịnh thức của các ma trận M21, M31, Mn1 theo công thức ñịnh nghĩa (1.2.1) ta sẽ có công thức (1.2.1) trùng với công thức (1.2.2), tức là ta có ñiều phải chứng minh

Hệ quả 2.1 Mọi tính chất khi phát biểu về hàng của ñịnh thức thì luôn ñúng khi phát biểu về cột và

Ví dụ 2: Cho ñịnh thức Dn, ñịnh thức thay ñổi như thế nào nếu ta viết các hàng theo thứ tự ngược lại?

Giải: Ta thực hiện ñổi chỗ hàng 1 với hàng 2, rồi hàng 2 mới với hàng 3, với hàng n Như vậy có

Khi có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì ñịnh thức bằng không

Thật vậy giả sử ñịnh thức D có hai hàng như nhau, khi ñổi chỗ hai hàng như nhau ñó ta có: D = - D

−

'

n D

×

' 6

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0D

− Nếu x = 0 ta có hàng 1 = hàng 2 ⇒ ñịnh thức = 0

− Nếu x = 1 ta có hàng 1 = hàng 3 ⇒ ñịnh thức = 0

− Nếu x = n - 2 ta có hàng 1 = hàng n ⇒ ñịnh thức = 0

Vậy x = 0; x = 1; x = 2; ; x = n – 2 là nghiệm của phương trình

Bạn ñọc tự chứng minh ngoài tất cả các nghiệm trên thì phương trình không có nghiệm nào khác

(công thức khai triển ñịnh thức theo cột thứ j)

Khai triển theo cột 3 ta có:

= 3(- 3) - 6(- 22) + 9.13 = 240

Hoặc áp dụng khai triển theo hàng 2 ta có

i 1 i1 i1 i2 i2 in in

det(A) ( 1)= − + a det(M ) a det(M ) a det(M ) − + ±

det(A) ( 1)= − + a det(M ) a det(M ) a det(M ) − + ± 

Vắ dụ 2: Tắnh

2.5 Tắnh chất 5

Khi có một hàng (hay một cột) có tất cả các phần tử bằng không thì ựịnh thức bằng không

đó là hệ quả của công thức (1.2.3) hoặc (1.2.4)

2.6 Tắnh chất 6

Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k thì ựược ựịnh thức mới bằng ựịnh thức cũ nhân với k

đó là hệ quả của công thức (1.2.3) hoặc (1.2.4)

Hệ quả 2.6: Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có thừa số chung ta có thể ựưa thừa số

chung ựó ra ngoài dấu ựịnh thức

Vắ dụ 3: Không khai triển ựịnh thức chứng minh rằng:

Giải: Xét vế trái, nhân cột 2 với yz, nhân cột 3 với xz, nhân cột 4 với xy, ta ñược:

ðưa thừa số chung của hàng 1, hàng 2, hàng 3, hàng 4 ra ngoài dấu ñịnh thức, ta ñược

Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì ñịnh thức có thể phân tích thành tổng của hai ñịnh thức

Ví dụ 1: Biến ñổi ñịnh thức sau:

Ta nhận ñược một ñịnh thức có dạng ñơn giản hơn

Giải: Nhân cột 1 với (-1) cộng vào cột 2; nhân cột 1 với (-1) cộng vào cột 3; nhân cột 1 với (-1) cộng

Ví dụ 4: Không khai triển, tính ñịnh thức

Giải: Cộng cột 2 và 3 vào cột ñầu, ta ñược

2.11 Tính chất 11 (Về các ñịnh thức có dạng tam giác)

ðịnh thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo

Thật vậy, dựa vào khai triển hàng 1 (hay cột 1) ta tiếp tục khai triển theo hàng 1 (hay cột 1) của ñịnh thức cấp con nhỏ dần

3 MA TRẬN NGHỊCH ðẢO

3.1 ðịnh nghĩa

Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho AB = BA = I thì ta nói A

khả ñảo (A có ma trận nghịch ñảo) và B gọi là ma trận nghịch ñảo của A

Ký hiệu ma trận nghịch ñảo của A là A-1, ta có:

Từ ñịnh nghĩa suy ra, nếu A khả ñảo thì A-1 khả ñảo và ma trận nghịch ñảo của A-1 là A

3.2 Các ñịnh lý

3.2.1 ðịnh lý 1

Nếu A là ma trận vuông có ma trận nghịch ñảo A -1 thì det(A) ≠ 0.

Chứng minh: Thật vậy, vì AA-1 = I ⇒ det(AA-1) = 1 ⇒ det(A)det(A-1) = 1

⇒ det(A) ≠ 0 và det(A-1) ≠ 0

3.2.2 ðịnh lý 2

Ma trận nghịch ñảo A -1 của ma trận A nếu có thì chỉ có một mà thôi.

Chứng minh: Thật vậy, giả sử B và C ñều là ma trận nghịch ñảo của A, tức là ta có:

Suy ra

4 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ðỊNH THỨC

4.1 Tính ñịnh thức theo công thức ñịnh nghĩa

− Nếu a = c = 0 thì phương trình vô nghiệm

− Nếu a = 0; c ≠ 0 thì phương trình có một nghiệm x =

− Nếu a ≠ 0; c = 0 thì phương trình có một nghiệm x =

− Nếu a ≠ 0; c ≠ 0 thì phương trình có hai nghiệm x = và x =

1c1a1c

1a

− Nhân các phần tử của một hàng (hay cột) với một số k (k ≠ 0)

− Cộng tổ hợp tuyến tính vào hàng khác (hay cột khác)

− ðổi chỗ hai hàng (hay hai cột)

sin cos 2 cos

sin cos 2 cos

Ví dụ 3: Tính ñịnh thức:

Giải: Nhân hàng 1 với (-1) sau ñó cộng vào hàng 2, 3, , n, ta ñược:

Rút (a1 - x) ở cột 1 làm thừa số chung:

Tương tự rút thừa số chung của cột 2, 3, , n:

Cộng tổ hợp tuyến tính các cột vào cột 1, sau ñó áp dụng tính chất 11:

1 2

Ví dụ 4: Tính ñịnh thức:

Giải: Nhân hàng 2 với (-1), sau ñó cộng vào các hàng còn lại, ta có:

Khai triển theo hàng 1 và áp dụng tính chất 11:

4.3 Phương pháp truy hồi

Ví dụ 1: Tính ñịnh thức:

n 1

1 1

2 2

3 3

D x(a x)(a x) (a x) x(a x) (a x)(a x)

x(a x)(a x) (a x) (a x)(a x) (a x)

ðưa thừa số chung của từng cột ra ngoài dấu ñịnh thức:

Khai triển theo cột 1 và rút (x - 1) ở cột cuối ra làm thừa số chung, ta ñược:

A. − Nếu a 0; c 0; b tùy ý thì phương trình có nghiệm hoặc ;

− Nếu a 0; c = 0; b tùy ý thì phương trình có nghiệm ;

− Nếu a = 0; c 0; b tùy ý thì phương trình có nghiệm ;

− Nếu a = 0; c = 0; b tùy ý thì phương trình vô nghiệm

B Nếu a = 0 thì phương trình có một nghiệm

C Nếu c = 0 thì phương trình có một nghiệm

A A-1 = B A-1 =

C A-1 = D Kết quả khác

Bài 3

Ma trận vuông cấp p (p là số nguyên dương; p ≤ min(m, n)) suy từ ma trận A bằng cách bỏ ñi m - p

hàng và n - p cột gọi là ma trận con cấp p của A

ðịnh thức của ma trận con vuông cấp p của A gọi là ñịnh thức con cấp p của A

MỤC TIÊU

Học xong bài này sinh viên có khả năng:

1 Tìm ñược hạng của ma trận bằng các phương pháp

2 Trình bày ñược các dạng hệ phương trình thường gặp như hệ phương trình tuyến tính tổng quát, hệ

ph ương trình Cramer, hệ phương trình thuần nhất

3 Trình bày ñược ñiều kiện ñể hệ phương trình ñã cho có nghiệm, vô số nghiệm hay vô nghiệm

4 Giải ñược các hệ phương trình nêu trên

Ta có ma trận con cấp 3, ma trận con cấp 2, ma trận con cấp 1

Các ma trận con cấp 3 là:

115

Tuy nhiên người ta thường tìm cách khác

Chú ý: Ta luôn có ρ(At) = ρ(A)

1.3 Phương pháp tìm hạng của ma trận

1.3.1 Các phép biến ñổi sơ cấp của ma trận

ðịnh nghĩa: Các phép biến ñổi sau ñây về ma trận ñược gọi là các phép biến ñổi sơ cấp về hàng

(hay cột) của ma trận:

− Nhân tất cả các phần tử của một hàng (một cột) với một số khác không;

− ðổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau;

− Cộng vào một hàng (một cột) các phần tử tương ứng của hàng khác (cột khác)

ðịnh lý: Các phép biến ñổi sơ cấp về hàng (về cột) không làm thay ñổi hạng của ma trận

1.3.2 Ma trận bậc thang

ðịnh nghĩa: Ma trận bậc thang là ma trận có tính chất sau:

- Các hàng khác không (hàng khác không là hàng có phần tử khác không) luôn ở trên các hàng không (hàng không là hàng có tất cả các phần tử bằng không)

- Với hai hàng khác không liền kề thì phần tử khác không ở hàng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không ñầu tiên ở hàng trên

Khi thực hiện một số phép biến ñổi sơ cấp có thể ñưa ma trận bất kỳ về ma trận bậc thang

ðịnh lý: Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng khác không của nó

Áp dụng các phép biến ñổi sơ cấp, ta biến ñổi ma trận ñã cho về ma trận dạng bậc thang ñể tìm hạng của ma trận ñó:

Giải: Ta có: det(A) = -1 ≠ 0, có thể tìm ma trận nghịch ñảo theo cách 2 (bằng phương pháp biến ñổi

sơ cấp của ma trận) hay còn gọi là phương pháp Gauss−Jordan:

2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2.1 ðịnh nghĩa hệ phương trình tuyến tính

Hệ m phương trình bậc nhất, n ẩn có dạng

ñược gọi là hệ phương trình tuyến tính

Trong hệ phương trình trên:

x1, x2, , xn là các ẩn số;

aij là hệ số ở phương trình i của ẩn xj, i = , j = ;

bi là hệ số vế phải của phương trình thứ i, i =

Dạng ma trận của hệ phương trình là: AX = B, trong ñó:

ñược gọi là hệ Cramer nếu det(A) ≠ 0

Dạng ma trận của hệ phương trình là: AX = B, trong ñó:

A = [aij](n); X = [xj]n×1; B = [bi] n×1

2.3 ðịnh nghĩa hệ phương trình thuần nhất

Hệ m phương trình bậc nhất, n ẩn có dạng

ñược gọi là hệ phương trình thuần nhất

Dạng ma trận của hệ phương trình là: AX = O, trong ñó:

hay biểu diễn dưới dạng ma trận: AX = B, trong ñó

A = [aij]m×n; X = [xj]n×1; B = [bi] m×1

Gọi là ma trận:

ñược gọi là ma trận ñầy ñủ hay ma trận bổ sung

ðiều kiện cần và ñủ ñể hệ phương trình AX = B có nghiệm là: ρ(A) = ρ( )

− Nếu ρ(A) = ρ( ) = n hệ xác ñịnh (có nghiệm duy nhất)

− Nếu ρ(A) = ρ( ) = k < n hệ vô ñịnh (có vô số nghiệm)

− Nếu ρ(A) ≠ ρ( ) hệ vô nghiệm

Chứng minh:

Xét hạng của ma trận :

− Giả sử a11 ≠ 0 (nếu a11 ≠ 0 ta thực hiện các phép biến ñổi sơ cấp về hàng của ma trận hoặc phép ñổi chỗ hai cột của ma trận A kèm theo ñổi thứ tự ẩn thì ñược một hệ mới tương ñương hệ ñã cho) Lấy hàng 1 nhân với (- ), sau ñó cộng vào hàng 2, ta ñược hàng 2 mới

Lấy hàng 1 nhân với (- ), sau ñó cộng vào hàng 3, ta ñược hàng 3 mới

Tiếp tục như trên ñến hàng thứ m, ta có:

AA

A

A

21 11

aa

31 11

aa

• Nếu ρ(A) = ρ( ) = ρ( ) = n, khi ñó (1.3.4) sẽ tương ñương với hệ sau:

Giải từ dưới lên ta ñược ñúng một nghiệm: x1, x2, , xn.

Vậy hệ xác ñịnh hay có nghiệm duy nhất

33 3n 3 33

+ + + +

+ + +

3k 3n 3 33

k

k k

0 x 0 x 0 x

+ + + + 0 xk 0 xn bkk*

Phương trình thứ k ở hệ phương trình trên sẽ vô nghiệm Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Áp dụng ñịnh lý này, người ta thường biến ñổi ma trận bổ sung về dạng ma trận bậc thang ñể giải

và biện luận hệ phương trình

Khi b = 3 thì ρ(A) = ρ( ) = 2, hệ vô số nghiệm

Khi b ≠ 3 thì ρ(A) = 2 và ρ( ) = 3, hệ vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình:

2x y 3z 14x 2y az 32x y 4z 4 10x 5y 6z 10

− Nếu a ≠ 1 thì ρ(A) = 2 ≠ ρ( ) = 3, hệ vô nghiệm

Hệ vô nghiệm còn ñược nhận thấy dễ hơn khi biểu diễn hệ phương trình ñã cho dưới dạng sau:

− Nếu a = 1 thì ρ(A) = ρ( ) = 2, hệ phương trình có vô số nghiệm