chuỗi lũy thừa chuoi_luy_thua

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

N ỘI DUNG

1 C HUỖI LŨY THỪA

2 T ÍNH TỔNG CỦA CHUỖI

mọi X ∈ (−|r0|, |r0|) và hội tụ đều trên mọi

đoạn [−r,r], với r ∈ (0,|r0|). Nếu chuỗi lũy

thừa +∞ P

n=1

a n X n phân kỳ tại điểm X = r0 6= 0 thì

nó phân kỳ với mọi X thỏa|X| > |r0|.

D ẤU HIỆU D’ A LEMBERT

Khi đó bán kính hội tụ R = 1

ρ

D ẤU HIỆU C AUCHY

D ẤU HIỆU C AUCHY

C ÁC BƯỚC KHẢO SÁT MIỀN HỘI TỤ CỦA CHUỖI LŨY THỪA

1 Bước 1: Tìm bán kính hội tụ

2 Bước 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số tại

những điểm biên x − x0 = R và x − x0 = −R.

Ở đây, chúng ta chỉ sử dụng tiêu chuẩn

so sánh, điều kiện cần, chuỗi đan dấu, hội tụ tuyệt đối Tiêu chuẩn D’Alambert

và Cauchy không sử dụng được vì C, D

bằng 1.

Bán kính hội tụ R = 1

ρ = 1.

Theo dấu hiệu Cauchy-Hadamard, ta có

5 ta có+∞

¶.

Ta có a n =

µ

n + 1 2n + 1

¶n

X n là

R = 1

ρ = 2.

Tại X = 2 ta có +∞ P

n=1

µ

n + 1 2n + 1

¶n

2 n = +∞ P

n=1

µ 2n + 2 2n + 1

1 Tổng của chuỗi lũy thừa là một hàm liên tục trên miền hội tụ của nó.

2 Trong khoảng hôi tụ, đạo hàm của tổng bằng tổng của các đạo hàm

Công thức khai triển Taylor

f (x) =

∞ X

n=0

f (n) (0)

n! x

n

V Í DỤ 1.4

Tìm khai triển Maclaurin của hàm f (x) = e x

và miền hội tụ của chuỗi Maclaurin thu

e x = +∞ P

n=0

x n n! với MHT R.

cos(x) = +∞ P

n=0

(−1) n x 2n (2n)! với MHT R.

cosh(x) = +∞ P

n=0

x 2n (2n)! với MHT R.

sinh(x) = +∞ P

n=0

x 2n+1 (2n + 1)! với MHT R.

T ÍNH TỔNG CỦA CHUỖI BẰNG CÁCH TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CÁC TỔNG RIÊNG

1 2

n

X

k=1

µ 1

µ 1

2 − 1

n + 2

¶

S Ử DỤNG KHAI TRIỂN T AYLOR -M ACLAURIN

3 3! + + 2

n n! +

Khi x = 2 ta có e 2 = +∞ P

n=0

2 n

n! .

với MHT R.

Chuỗi đã cho có thể viết lại dưới dạng

S Ử DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CỦA CHUỖI

Tại x = −1 ta có +∞ P

n=1 n.(−1) n phân kỳ theo điều kiện cần vì không tồn tại giới hạn của dãy b n = n.(−1) n

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE