chuỗi hàm chuoi_ham

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

N ỘI DUNG

1 S Ự HỘI TỤ THEO ĐIỂM CỦA DÃY HÀM , CHUỖI HÀM

2 S Ự HỘI TỤ ĐỀU CỦA DÃY HÀM , CHUỖI HÀM

Đ ỊNH NGHĨA 1.1

Cho U = {u(x)},x ∈ X là tập hợp các hàm số xác định trên X Ánh xạ

N 7−→ U

n 7−→ u n (x) được gọi là dãy hàm Kí hiệu n u n (x) o +∞

n=1 , x ∈ X.

Đ ỊNH NGHĨA 1.6

Chuỗi hàm +∞ P

n=1

u n (x) được gọi là hội tụ tại

điểm x 0 ∈ X, nếu như chuỗi số +∞ P

tất cả những điểm x ∈ X sao cho chuỗi hàm

Đ IỀU KIỆN C AUCHY VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM

Đ ỊNH NGHĨA 1.10

Chuỗi +∞ P

n=1

u n (x) được gọi là hội tụ tuyệt đối

trên M , nếu với mọi x ∈ M, chuỗi +∞ P

n=1 |u n (x)|hội tụ.

Với mọi x ∈ (0,1], chuỗi

nên phân kỳ theo điều kiện cần.

chuỗi đã cho phân kỳ.

Khi x = 0 chuỗi đã cho trở thành +∞ P

Khi e x < 1 ⇔ x < 0, chuỗi đã cho hội tụ tuyệt

đối.

Khi e x > 1 ⇔ x > 0, chuỗi đã cho phân kỳ.

Khi x = 0 chuỗi đã cho trở thành +∞ P

n=1

số này phân kỳ.

Khi sử dụng sự hội tụ theo điểm lấy giới hạn thì tính liên tục của hàm không được bảo đảm.

Đ ỊNH NGHĨA 2.1

Dãy hàm n u n (x) o +∞

n=1 , x ∈ X được gọi là hội tụ đều đến hàm u(x) trên tập M , nếu như với mọi ∀ε > 0, tồn tại ∃N = N(ε) > 0, (chỉ phụ thuộc vào ε ) sao cho với mọi

∀n > N(ε), ∀x ∈ M luôn có bất đẳng thức

|u n (x) − u(x)| < ε.

C HÚ Ý

o +∞

n=1 , x ∈ X hội tụ đều trên

trên M đến u(x). Có nghĩa là, với moi x ∈ M,

Đ ỊNH LÝ 2.1

Để dãy hàm n u n (x) o +∞

n=1 , x ∈ X hội tụ đều trên

M đến u(x) , điều kiện cần và đủ là

lim

n→+∞ sup

x∈M |u n (x) − u(x)| = 0.

V Í DỤ 2.2

Xét dãy hàm n x n o +∞

n=1 , x ∈ [0,1) Với mọi x ∈ [0,1) ta có

lim

n→+∞ x n = 0 nên dãy hàm hội tụ theo điểm về hàm

u(x) ≡ 0 trên [0, 1) Dãy hàm này hội tụ đều về hàm

u(x) ≡ 0 trên [0, q], với q ∈ (0,1) vì

Đ IỀU KIỆN CẦN ĐỂ CHUỖI HÀM HỘI TỤ ĐỀU

Chú ý. Để chứng minh chuỗi hàm không

trị x ∈ M sao cho lim

n→+∞ u n (x) 6= 0.

Chuỗi đã cho không hội tụ đều trên tập

T IÊU CHUẨN W EIERSTRASS

D ẤU HIỆU D IRICHLET

D ẤU HIỆU A BEL

â 0 trên[0, +∞)

x n + 1 hội tụ đều trên [0, +∞)

theo dấu hiệu Abel và

u n (x) cũng là hàm liên tục trên M.

Chú ý. Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm chỉ là

điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần, có nghĩa

là tổng của chuỗi các hàm liên tục hội tụ không đều

vẫn có thể là hàm liên tục.

V Í DỤ 2.11

Chuỗi hàm 1 + +∞ P

n=1

(x n − x n−1 ), x ∈ (0,1) có tổng S(x) ≡ 0 là hàm liên tục trên (0, 1) Tuy nhiên, chuỗi hàm này không hội tụ đều trên

(0, 1) Vì với mọi x ∈ (0,1) dãy tổng riêng của chuỗi hàm n S n (x) o +∞

n=1 , S n (x) = x n hội tụ theo điểm về hàm S(x) ≡ 0 Tuy nhiên,

lim

n→+∞ sup

x∈(0,1) |S n (x) − S(x)| = 1 6= 0.

Đ ỊNH LÝ 2.8

Cho dãy các tổng riêng n S n (x) o +∞

n=1 hội tụ đều trên M đến hàm S(x) và các hàm S n (x), n ∈ N liên tục trên M Khi đó S(x) cũng là hàm liên tục trên M, có nghĩa là

lim

x→x 0 S(x) = S(x 0 ), x 0 ∈ M.

V Í DỤ 2.12

Tìm tập xác định của hàm số f (x) và khảo sát tính liên tục của nó với

1 Chuỗi hội tụ nếu C(x) = |x| < 1

3 Nếu x = ±1 thì lim

n→+∞

µ

x + 1 n

Khi |x| É r < 1 thì chuỗi hàm +∞ P

n=1

µ

x + 1 n

¶ n

hội tụ theo tiêu chuẩn

(−1,1)

T ÍCH PHÂN CỦA CHUỖI HỘI TỤ ĐỀU THEO TỪNG SỐ HẠNG

V Í DỤ 2.13

Chứng minh rằng, hàm f (x) = +∞ P

n=1

cos 2 nx n(n + 1)

liên tục trên R và tính

Z 2π 0

n(n + 1) hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ

đều trên R Do đó, hàm tổng f (x) cũng liên tục trên R.

Đ ẠO HÀM CỦA CHUỖI HỘI TỤ ĐỀU THEO TỪNG SỐ

ĐẠO HÀM CỦA CHUỖI HỘI TỤ ĐỀU THEO

V Í DỤ 2.14

Tìm tập xác định của hàm số f (x) và khảo sát tính khả vi của nó, với f (x) = +∞ P

n=1 (−1) n n

(n + x) 2 hội

hàm có thể lấy đạo hàm theo từng số hạng.

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE