Chương 4. Tích phân bất định pdf

Nguyên hàm và định nghĩa tích phân bất định.. Nếu fx có nguyên hàm trên a;b thì nó có vô số nguyên hàm trên a; b và hai nguyên hàm khác nhau của fx trên a;b sai khác nhau một hằng số.. N

Ch ơng 4 Tích phân bất định

4.1 Nguyên hàm và định nghĩa tích phân bất định.

4.1.1 Nguyên hàm.

Trong chơng này ta luôn giả thiết a, b là các số thực, a < b

Định nhĩa 4.1. Hàm F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên (a;b), nếu:

F (x) = f(x) (x  (a;b)).

Ví dụ 4.1

(i) f(x) = x có các nguyên hàm F(x) = x

2

2

, (x) = x

2

2

4 trên (;) Vì:

F (x) = x = f(x);  (x) = x = f(x) (x  (;)).

(ii) f(x) = x1 có nguyên hàm F(x) = ln x trên (;)\0 vì:

F (x) = x1 = f(x) ) (x  (;)\0).

Định lý 4.1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) Khi đó,

(i) Với C là một hằng số tuỳ ý thì F(x)  C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b).

(ii) Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a;b) đều có dạng F(x)  K với K

là một hằng số nào đó.

Chứng minh (i) Với C là một hằng số tuỳ ý thì [F(x)  C] = F (x) = f(x) (x (a;b)) Vậy F(x)  C là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b).

(ii) Giả sử (x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) nghĩa

là  (x) = f(x) (x  (a;b)).

 [F(x)  (x)] = F (x)   (x) = f(x)  f(x) = 0 (x  (a;b)).

 F(x)  (x) = K (x  (a;b)) với K là một hằng số nào đó.(đpcm)

ý nghĩa của định lý Nếu f(x) có nguyên hàm trên (a;b) thì nó có vô số

nguyên hàm trên (a; b) và hai nguyên hàm khác nhau của f(x) trên (a;b) sai khác nhau một hằng số.

Định lý 4.2 Nếu f(x) liên tục trên (a;b) thì nó có nguyên hàm trên (a; b) Chú thích (i) Định nghĩa 4.1 và các định lý 4.1, 4.2 còn đúng khi thay (a; b) bằng [a; b] Vì vậy nó vẫn đúng khi thay (a; b) bằng X là hợp của các tập có dạng (a; b) và [c; d] với a, b, c, d, là các số thực bất kỳ.

(ii) Trong chơng này, ta chỉ xét đến nguyên hàm của các hàm liên tục Nếu hàm đợc cho cụ thể và có các điểm gián đoạn, thì ta chỉ khảo

sát nguyên hàm của nó trên các khoảng mà nó liên tục Vì vậy, khi đã

thừa nhận định lý 4.2 thì mỗi khi tính nguyên hàm của một hàm nào đó

ta không cần xét sự tồn tại nguyên hàm của nó nữa

4.1.2 Định nghĩa tích phân bất định.

Định nghĩa 4.2 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) Thì biểu thức F(x)  C với C là một hằng số tuỳ ý, đợc gọi là tích phân bất

định của hàm f(x) trên (a;b) và ký hiệu là:

 

f x dx

Trong đó,  đợc gọi là dấu tích phân; f(x) đợc gọi là hàm số dới dấu tích phân; f(x)dx đợc gọi là biểu thức dới dấu tích phân; x là biến số lấy tích phân Vậy:

 

f x dx

 = F(x)  C.

Ví dụ 4.2 (i) xdx = x

2

2

 C; (ii) cos xdx =  sin x  C.

4.1.3 Tính chất của tích phân bất định.

Tính chất 4.1. Nếu f(x) có nguyên hàm trên (a;b) thì:

f x dx  f x

df x dx  f x dx (x  (a;b)).

Tính chất 4.2 Nếu F(x) là hàm khả vi trên (a;b) thì:

 

d F x 

 = F(x)  C (x  (a;b)).

Tính chất 4.3. Nếu f(x), h(x) có nguyên hàm trên (a;b) thì:

kf x dxk f x dx

  với k là hằng số tuỳ ý.

4.1.4 Bảng tích phân cơ bản.

Nhận xét 4.1 Từ định nghĩa 4.2 ta thấy muốn tính f x dx  trên (a;b) chỉ cần tìm một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) rồi cộng với C Từ đó ta

có bảng tích phân cơ bản sau:(với a > 0 )

dx ln x C

 x

 



 



1

1 (  1)

x

ln a

 (0 < a  1) e dx x e x C

sin xdx  cos xC cos xdx sin xC

dx tgx C

cos x  

 2 dx cot gx C

sin x  

dx

arctgx C arc cot gx C



dx

arcsin x C arccos x C x



1

dx arctg x C

1

dx arcsin x C

a



dx ln x x a C









1

VÝ dô 4.3 TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

a)  3x2 2x 5dx ; b) x dx

x



sin x cos x

 2 2 ; d) tgxdx

Gi¶i a)  3x2 2x 5dx 3x dx2 2xdx 5dx x3 x2  5xC

 

x



2

2

1

1

c) dx sin x cos x dx

sin x cos x sin x cos x





= dx dx tgx cot gx C

cos x  sin x   

d) tgxdx sin x dx d cos x ln cos x C

cos x cos x

VÝ dô 4.4 TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

a) sin kxdx , cos kxdx(víi k lµ h»ng sè kh¸c 0);

b) dx x



3 2 ; c) dx

sin xcos x

 4 4 ; d)

dx

x x 

4

Giải a) sin kxdx sin kxdkx cos kx C

cos kxdx cos kxdkx sin kx C

b)

 

x

d

c)

cos x

2

1

1

2

=

d)

dx

2

2 2

4

=

= x dx  x   d x    dx  x  x    xC

Ví dụ 4.5 Tính f x dx  với f(x) là hàm hữu tỷ theo x





4

Giải f(x) là hàm hữu tỷ theo x nghĩa là f(x) =  

 

n

m

P x trong đó Pn(x) và

Pm(x) (m,n nguyên dơng) lần lợt là các đa thức bậc n, m theo x

Pm(x) là đa thức bậc m theo x nên nó đợc phân tích thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai vô nghiệm Vì vậy, để tính ticha phân trên ngời ta tách hàm f(x) (theo phơng pháp hệ số bất định)

thành tổng của các biểu thức có dạng

 k

A

x x0 và

 p

Bx C

ax bx c



B, C, x0 , k, p là các hằng số thoả m n: a > 0; k và p nguyên, không âm.ã

Sau đó tách tích phân đ cho thành tổng của các tích phân.ã

áp dụng tính: I = x x x dx





4

Ta có: x4 + x = x(x 1)(x2x  1) nên

f(x) = x x x





4

2 2

2

1 2

x



2

2

1

.

4.2 Các phơng pháp tính tích phân bất định

Trong thực tế, nếu chỉ sử dụng bảng tích phân cơ bản và tính chất của tích phân bất định để giải bài toán tính tích phân bất định, thì trong nhiều trờng hợp không giải đợc Để khắc phục điều đó, sau đây chúng ta

đa ra hai phơng pháp tính tích phân bất định

4.2.1 Phơng pháp đổi biến số.

Giả sử cần tính tích phân f x dx  (x  [a; b]).

Nếu đặt x =  (t) trong đó  (t) tăng (hoặc giảm), khả vi trên [; ],

 (t) liên tục trên [; ]; có miền giá trị [a; b]; và  (t)  0 ( t  (; )).

Thì:

(công thức này gọi là công thức đổi biến số tính tích phân).

Chứng minh Với mỗi x  [a; b] ta có:    

x

f x dx  f x

(4.1)

Mặt khác, vì  (t) tăng (hoặc giảm), khả vi liên tục trên [; ];  (t)

 0 ( t  (; )) và có miền giá trị [a; b] Do đó, tồn tại duy nhất hàm

ngợc t = t(x) tăng (hoặc giảm), khả vi liên tục trên [a; b], có miền giá trị

[; ] và: dx =  (t)dt, t (x) =

   

x t  t

 f  t . t dtx  f  t  t dtt t x

    x        

t

x



1

(4.2)

Từ (4.1) và (4.2.) suy ra điều phải chứng minh.

Chú ý 4.1 (i) Kết quả trên vẫn đúng khi thay [a; b] và [; ] tơng ứng thay

bằng (a; b) và (; ).

(ii ) Khi sử dụng phơng pháp đổi biến số (đặt x =  (t)) để tính tích phân,

ta phải kiểm tra đầy đủ các điều kiện của hàm  (t).

Ví dụ 4.6 Tính các tích phân sau: a)  9 x dx2 , b)  x2 4dx

Giải a)  9 x dx2 Hàm f(x) =  x2

9 xác định trên [3;3]

Đặt x = 3 sin t =  (t) t  [  

2; 

2]

  (t) tăng trên [  

2; 

2],  (t) = 3cost  0, liên tục trên (  

2;



2), có miền giá trị [3;3]

Vì t  [  

2; 

2]  x2   sin t2  cos t  cos t

dt

 9 x dx2 9cos tdt2 9 1cos t dt2  9t  9sin t2 C

= arcsin x sin arcsin x C

2

b)  x2 4dx

Hàm f(x) = x 2

4 xác định trên (;)

Đặt x = 2 tg t =  (t) (t (  

2; 

2))   (t) tăng trên(  

2; 

2), 

(t) =

cos t2

2

 0, liên tục trên (  

2; 

2), có miền giá trị (;)

 dx = dt

cos t2

2

cos t cos t

2; 

2)) Vậy:

  dt dt

cos t cos t

2

cos t d sin t dt

cos t   sin t

2

4

d sin t d sin t

d sin t



2

1

2

d sin t sin t





1

sin t

sin t sin t sin t



 tg t sin t ln tg t  sin t

=  x sin arctg x ln x   sin arctg x C.

Chú ý 4.2 Nếu tích phân có dạng      

f 1 t 1 t dt , ta có thể đặt t =

(x) Trong đó,  (x) tăng (hoặc giảm), khả vi trên [a; b],  (x) liên tục

trên [a; b]; có miền giá trị [; ]; và  (x)  0 ( t  (a; b)) thì:

f x dx  f  t    t dt

Kết quả trên vẫn đúng khi thay [a; b] và [; ] tơng ứng bằng (a; b)

và (; ).

Ví dụ 4.7 Tính các tích phân sau: a)  3x 519dx, b)   x 3 x dx

Giải a)  3x 519dx Hàm f(x) = (3x  5))19 xác định trên (;)

Đặt t = 3x  5) =  (x) Thì  (x) xác định, tăng trên (;);  (x) =

3 ( 0) liên tục trên (;); có miền giá trị (;) Vậy

 x  dx  t dt  t C   x  C

b)   x  3 x dx Hàm f(x) = x  3 x xác định trên [0;).

Đặt t = x6 =  (x) Thì  (x) xác định, tăng [0;);  (x) =

x

6 5

1

0) liên tục trên (0;); có miền gía trị [0;) Vậy:

2 6 9  3 6 8 

Ví dụ 4.8 Tính các tích phân sau:

x

2 37 , b) dx

x x 

 3, c)

x

dx

e 



3, d)



arcsin 2xdx2

1 4x

Giải a) dx

x

2 3 7 Hàm f(x) =

x

 3 

1

2 7 xác định trên (;)\15).

Đặt t = 2 37 x=  (x) với x  15)

Thì  (x) xác định, tăng trên (;)\15);  (x) =

 x2 3

1

liên tục trên (;)\15); có miền giá trị (;)\0 Vậy :

x



2

2 3

2

=32 37 x2  24 12 7 3 x 12ln2 37x C

x x 

 3 Hàm f(x) =

x x 

1

3 xác định trên (3;).

Đặt t = x  3 =  (x) Thì  (x) xác định, tăng trên (3;);  (x) =

x 

1

2 3( 0) liên tục trên (3;); có miền giá trị (0;) Vậy:

   



2

c)

x

dx

e 



3 Hàm f(x) =

x

e 

1

3 xác định trên (;)

Đặt t = e  3 =  (x) x

Thì  (x) xác định, tăng trên (;);  (x) =

x

x

e

e 

( 0) liên tục trên (3;); có miền giá trị ( 3 ;) Vậy:

 

x

2

2

d) arcsin xdx

x



1 4 Hàm f(x) = arcsin x

x

2

1 4 xác định trên (1

2 ;1

2 )

Đặt t = arcsin2x=  (x) Thì  (x) xác định, tăng trên (1

2;1

2 ); (x) =

x

2

1 4 ( 0) liên tục trên (1

2;1

2 ); có miền giá trị (1;1)

 dx = 1

cos t   sin t2   x2

arcsin xdx

tdt t C arcsin x C x



4.2.2 Phơng pháp tích phân từng phần.

Nếu u(x), v(x) là các hàm khả vi trên miền X thì:

d(uv) = udv  vdu.

Lấy tích phân bất định hai vế của đẳng thức trên ta có:

u x dv x u x v x  v x du x

(Công thức trên đợc gọi là công thức tích phân từng phần).

Ví dụ 4.9 Tính các tích phân sau:

a) xe dx2x , b) e nx sin mxdx (n, m  0), c) x sin xdx2 , d)

arc sin xdx

Giải

a) xe dx2x Hàm f(x) = xe2x xác định trên (;)

Đặt u(x) = x  u (x) = 1 (x  (;));

v (x) = e2x  v(x) = 1

2 e2x (x  (;))

 xe dx2x 1xe2x  1e dx2x 1xe2x  1e d x2x 2 1xe2x  1 e2x C

b) e nx sin mxdx (n, m  0) Hàm f(x) = enxsin mx xác định trên (;)

Đặt u(x) = sin mx  u (x) = mcos mx (x  (;));

v (x) = enx  v(x) =

n

1

enx (x  (;))

e sin mxdx e sin mx e cos mxdx

Đặt u1(x) = cos mx  u1 (x) = msin mx (x  (;));

v1 (x) = enx  v1(x) =

n

1

enx (x  (;))

e sin mxdx e sin mx e cos mx e sin mxdx

= e nx sin mx m e nx cos mx

n

2

2

nx

e sin mxdx

e nx sin mxdx= n nx m nx

n2 m2  n2 m2 

x sin xdx  x  cos x dx  xdx x cos xdx  x  x cos xdx

Đặt u(x) = x  u (x) = 1 (x  (;));

v (x) = cos 2x  v(x) = 1

2 sin 2x (x  (;))



x sin xdx  x  x sin x  sin xdx  x  x sin x cos xC

d) arc sin xdx Hàm f(x) = arcsin x xác định trên (

2 ;

2)

Đặt u(x) = arcsin x  u (x) =

x

 2

1 1

(x  (

2; 

2 ));

v (x) = 1  v(x) = x (x  (

2; 

2 ))

 ar sin xdx x arcsin x xdx x arcsin x  x  d x 

x





1

2

1

2 1

= x arcsin x 1 x2 C

Ví dụ 4.10 Tính các tích phân sau:

a) xdx

sin x

 2 , b) x sin mxdx2 (m  0), c)  a2  x dx2 (a > 0), d)

 

dx x



2

Giải a) xdx

sin x

 2 Hàm f(x) = x

sin x2 xác định trên (0; )

Đặt u(x) = x  u (x) = 1 (x  (0; ));

v (x) =

sin x2

1  v(x) = cotg x (x  (0; ))

x cot gx cot gxdx x cot gx dx x cot gx

x cot gx ln sin x C

b) x sin mxdx2 (m  0) Hàm f(x) = x2 sin mx xác định trên (;)

Đặt u(x) = x2  u (x) = 2x (x  (;));

v (x) = sin mx  v(x) = 

m

1 cos mx (x  (;))

 x sin mxdx x cos mx x cos mxdx

Đặt u1(x) = x  u1 (x) = 1 (x  (;));

v1 (x) = cos mx  v1(x) =

m

1 sin mx (x  (;))

x cos mx x sin mx cos mx C

c)  a2 x dx2 (a > 0) Hàm f(x) = a2 x2 xác định trên (;)

Đặt u(x) = a2 x2  u (x) = x

a2  x2 (x  (;));

v (x) = 1  v(x) = x (x  (;)).

dx



 I = 1x a2  x2 1a ln x2  a2 x2 C

d) Đặt I =

 

dx x



2

 

dx x



2

Ta có: I =

dx J

1

Đặt u(x) = x  u (x) = 1 (x  (;));

v (x) =

 

x x

 2 3

1  v(x) =

 x 



 2 2

1

4 1 (x  (;)).



   

J





2

1 4

 

x

J x



 2 2

3 4

J =

x



1

1

Đặt u1(x) = x  u1 (x) = 1 (x  (;));

v1 (x) =

 

x x

 2 2

1  v1(x) =

 x 



 2

1

2 1 (x  (;)).

 I =

 

arctgx C x

x



8

8 8

4.2.3 Tích phân của một số lớp hàm.

Thông qua các ví dụ từ 4.3 đến 4.10 chúng ta có đợc phơng pháp tính tích phân có dạng:

  mx n

P x e dx

 ; P x sin mxdx n  ; P x cos mxdx n  e nx sin mxdx; P x arcsin xdx n  ; P x arccos xdx n  e nx cos mxdx;  a2 x dx2 ;  x2  a dx2

f x,cxd dx

 ; f x, x , x dx k n  trong đó f(x,t) là hàm hữu tỷ theo x và theo t, Pn(x) là đa thức bậc n theo x; n, k là các số nguyên dơng; a là hằng số dơng; c, d, m là hằng số khác

0 Sau đây chúng ta đa ra phơng pháp tính tích phân của một số lớp hàm quan trọng khác

1 Tính I =

dx



 2 (a, b, c n, m, k là các hằng số; a, m, k

Ta có: d(ax2  bx  c) = (2ax  b)dx ; mx  n = m

a

2 (2ax  b)  n  mb

a

2

Vậy:

 k

mx n

dx

ax bx c



d ax bx c

n

2

Tích phân thứ nhất đ có dạng cơ bản, tính tích phân thứ hai bằngã

cách đặt t = x  b

a

2

Ví dụ 4.11. Tính các tích phân sau:



 2



Giải a)

d x

d x x





2

2

1 1

= ln x2  x1  8 arctg2x 1C





 

2

5  2 2 5  3 arcsin x  1

2  C

sinx và cosx).

Đặt t = tg x

2 = h(x) Thì h(x) xác định, tăng trên   ; 

 4 4, h (x) =

x

cos2

1

2

2

( 0) liên tục trên   ; 

 4 4, có miền giá trị (;)

Ta có: sinx = t ,cos x t ,dx dt



2

Do đó, ta chuyển đợc việc tích phân của hàm hữu tỷ theo sinx và cosx về việc tính một tích phân của hàm hữu tỷ theo t

Ví dụ 4.12. Tính các tích phân sau:

a) I = dx

sin x 

2 1, b) J = dx

cos x

Giải Đặt t = tgx

2 = h(x) Thì h(x) xác định, tăng trên   ; 

 4 4, h (x) =

x

cos2

1

2

2

( 0) liên tục trên   ; 

 4 4, có miền giá trị (;)

Ta có: sinx = t ,

t

 2

2

t





2

2

1 1

Khi đó:

 

 

d t

x tg

x tg

 



 

2



Chú ý 4.3 Trên đây chúng ta đã đa ra phơng pháp chung để tính các tích phân của các hàm hữu tỷ theo sin x và cos x Tuy nhiên, trong một

số trờng hợp đặc biệt ta lại có các phơng pháp khác hiệu quả hơn Chẳng hạn:

(i) Nếu hàm f(sin x, cos x) là hàm chẵn theo sin x và lẻ theo cos x thì đặt:

t = cos x.

(ii) Nếu hàm f(sin x, cos x) là hàm chẵn theo cos x và lẻ theo sin x thì

đặt:

t = sin x.

(iii) Nếu hàm f(sin x, cos x) là hàm chẵn theo cả cos x và sin x thì sử dụng công thức hạ bậc: 2sin2 x = 1  cos 2x, 2cos 2 x = 1  cos 2x

(iiii) Nếu hàm f(sin x, cos x) là hàm lẻ theo cos x và sin x thì đặt: t = sin2 x.

Ví dụ 4.13 Tính các tích phân sau:

a) sin xdx3 , b) sin x cos xdx2 3 , c) sin x cos xdx2 4 , d) sinx cos xdx3

Giải a) sin xdx 3 Đặt t = cosx  dt =  sinxdx

 sin xdx3   1 t2dt  t 1t3 C  cos x1cos x3 C

b) sin x cos xdx2 3 Đặt t = sinx  dt = cosxdx

 sin x cos xdx2 3 t21 t2dt 1t3  1t5 C 1sin x3  1sin x5 C

c) sin x cos xdx2 4 1 1 cos x2  1cos x2 2dx 1 1cos x sin2  22xdx

=  cos x   cos x dx    cos x cos x cos x cos x dx 

=    cos x dx   cos x cos x dx

= 1  1 sin x2  1 sin x4  1 sin x6 C

d) sinx cos xdx3 1sin x cos xdx2 2 1sin x2 1cos x dx.2 

Đặt t = cos2x  dt = 2 sin2xdx