Phép chiếu trong không gian hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN TRẦN THỊ THU PHÉP CHIẾU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCChuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS... Đồng thờ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRẦN THỊ THU

PHÉP CHIẾU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCChuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2012

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy

đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận củamình Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích vàcác thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủnhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này.Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian,

do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nênkhông tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kính mongnhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2012.

Sinh viên

Trần Thị Thu

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập vànghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong

khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Văn Bằng.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài

“Phép chiếu trong không gian Hilbert” không có sự trùng lặp với kết quả

của các đề tài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2012.

Sinh viên

Trần Thị Thu

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức mở đầu 3

1.1 Không gian Banach 3

1.2 Không gian Hilbert 7

Chương 2 Phép chiếu trong không gian Hilbert 10

2.1 Phép chiếu lên tập lồi đóng 10

2.2 Định lí Stampacchia và Lax-milgram 20

2.3 Tổng Hilbert, cơ sở trực giao 24

Kết luận 29

Tài liệu tham khảo 30

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Trong toán học, không gian Hilbert là một dạng tổng quát hóa của khônggian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều Các không gianHilbert được đặt tên theo David Hilbert, người nghiên cứu chúng để phục vụcho việc nghiên cứu phương trình tích phân Đó là một không gian có tích

vô hướng, nghĩa là trong đó có khái niệm về khoảng cách và góc (đặc biệt

là khái niệm trực giao hay vuông góc) Tính chất này là cần thiết khi nghiêncứu, sử dụng giới hạn dãy Các không gian Hilbert cho phép sử dụng trựcgiác hình học vào một số không gian hàm vô hạn chiều

Nếu S là một tập con của không gian Hilbert H, ta định nghĩa tập các vectơtrực giao với S là

S⊥ = {x ∈ H : (x, s) = 0, ∀s ∈ S}

S⊥ là một không gian con đóng của H và do đó là một không gian Hilbert.Nếu V là một không gian con đóng của H, thì V⊥ được gọi là phần bùtrực giao của V Ta biết rằng mỗi x trong H đều được biểu diễn duy nhất:

x= v + w, (xem định lí 2.2) với v thuộc V và w thuộc V⊥ Do đó, H là mộttổng trực tiếp của V và V⊥ Toán tử tuyến tính PV : H → H, x 7→ v được gọi

là phép chiếu trực giao trong H lên không gian V

Phép chiếu trực giao trong không gian Hilbert này đóng vai trò vô cùngquan trọng trong giải tích hàm nói riêng và toán học nói chung, và đã đượcnghiên cứu trong chương trình đại học Việc mở rộng phép chiếu này lênmột tập lồi đóng nói chung là một kết quả có nhiều ứng dụng trong các lĩnhvực khác nhau của Toán học Vì vậy dưới góc độ một sinh viên sư phạmchuyên ngành Toán và trong khuôn khổ của bài khoá luận tốt nghiệp, đồng

thời được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Trần Văn Bằng em đã chọn đề

tài “Phép chiếu trong không gian Hilbert”.

Trong khóa luận này em chỉ nghiên cứu không gian Hilbert thực vì vậy tất

cả các không gian tuyến tính, định chuẩn, Hilbert đều được hiểu là khônggian thực

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.

Tìm hiểu về phép chiếu trong không gian Hilbert

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Không gian Hilbert: các khái niệm và tính chất cơ bản; phép chiếu lênkhông gian con đóng; phép chiếu lên tập lồi đóng

4 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu tổng quan

5 Cấu trúc khóa luận.

Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luậngồm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Phép chiếu trong không gian Hilbert

Chương 1

Kiến thức mở đầu

1.1 Không gian Banach.

Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính

định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên tập số thực R cùng với ánh xạ

từ X vào tập số thực R, kí hiệu là ||.|| và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề

sau:

i) ∀u ∈ X : ||u|| ≥ 0, ||u|| = 0 ↔ u = θ (θ − phần tử không)

ii) ∀u ∈ X , ∀α ∈ R : ||αu|| = |α|||u||

iii) ∀u, v ∈ X : ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

Số ||u|| được gọi là chuẩn của vector u Các tiên đề i), ii), iii) được gọi là

các tiên tiên đề về chuẩn

Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (un) trong không gian định chuẩn X gọi là hội

Mệnh đề 1.1 Nếu dãy un → u thì dãy ||un|| → ||u|| Nói cách khác ||.|| làhàm giá trị thực liên tục.

Mệnh đề 1.2 Nếu dãy un → u thì dãy ||un|| bị chặn

Mệnh đề 1.3 Nếu dãy un → u ; dãy vn → v và dãy αn→ α thì các dãy

un+ vn→ u + v và αnun→ αu khi n → ∞

Định nghĩa 1.3 Dãy (un) trong không gian định chuẩn X là dãy cơ bản nếu

lim

n,m→∞||un− um|| = 0

Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach

nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.1 Cho không gian vector k chiều Rk,

trong đó Rk = {u = (u1, u2, un) : uj ∈ R} Đối với u = (u1, un) bất kìthuộc Rk, ta đặt ||u|| =

n=1|un|2 Ta chứng minh được l2 là không gian Banach

Ví dụ 1.3 Cho không gian vector L[a,b] Đối với u(t) ∈ L[a,b],

ta đặt ||u|| =

q

R b

a |u(t)|dt Ta chứng minh được L[a,b]là không gian Banach

Định nghĩa 1.5 Cho không gian định chuẩn X , dãy (un) ⊂ X Ta gọi chuỗi

là biểu thức dạng : u1+ u2+ + un+ , kí hiệu là ∑∞

n=1un.Mỗi phần tử un được gọi là số hạng của chuỗi Biểu thức

trong không gian định chuẩn X thì chuỗi ∑∞

n=1un gọi là hội tụ và S được gọi

là tổng của chuỗi đó và ta viết :

Mệnh đề 1.5 (Tiêu chuẩn Cauchy) Trong không gian định chuẩn X chuỗi

∑∞n=1un hội tụ khi và chỉ khi (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗)(∀n > n0)(∀p ∈ N∗) ta có

||un+1+ un+2+ + un+p|| < ε

Định lý 1.1 Không gian định chuẩn là không gian Banach khi và chỉ khi

trong X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ

Định nghĩa 1.7 Không gian tuyến tính con X0 6= /0 của không gian định

chuẩn X gọi là không gian định chuẩn con của X nếu X0 là không gian định

chuẩn với chuẩn cảm sinh trên X Nếu X0 đồng thời là tập đóng trong X thì

X0 gọi là không gian con đóng của không gian X

Định nghĩa 1.8 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên R Ánh xạ A từ

không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn:

i) ∀u, v ∈ X thì A(u + v) = Au + Av

ii) ∀u ∈ X, ∀α ∈ R : Aαu = αAu

Viết gọn lại ta có A(αu + β v) = αAu + β Av, ∀u, v ∈ X , ∀α, β ∈ R

Định nghĩa 1.9 Cho không gian định chuẩn X và Y, toán tử tuyến tính A từ

X → Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại C > 0 sao cho ||Au|| ≤ C||u||, ∀u ∈ X Hằng số C nhỏ nhất gọi là chuẩn của toán tử A, kí hiệu ||A||.

Định lý 1.2 (Ba mệnh đề tương đương) Cho A là toán tử tuyến tính từ

không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau đây

là tương đương:

i) A liên tục

ii) A liên tục tại x0 nào đó thuộc X

iii) A bị chặn

Định lý 1.3 (Định lí tính chuẩn của toán tử) Cho A là toán tử tuyến tính từ

không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu A bị chặn thì

||A|| = sup||u||≤1||Au|| hay ||A|| = sup||u||=1||Au||

Định nghĩa 1.10 Cho không gian định chuẩn X trên R Ta gọi không gian

L(X , R) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp

(không gian đối ngẫu) của X và kí hiệu là X∗

Định nghĩa 1.11 Không gian liên hợp của không gian X∗ được gọi là không

gian liên hợp thứ haicủa X và kí hiệu là X∗∗

Định nghĩa 1.12 Cho X là không gian định chuẩn Nếu M ∈ X là một

không gian con tuyến tính thì ta đặt

M⊥ = { f ∈ X∗; h f , xi = 0, ∀x ∈ M} Nếu N ⊂ X∗ là một không gian con tuyến tính thì ta đặt

N⊥ = {x ∈ X ; h f , xi = 0, ∀ f ∈ N} Chú ý rằng theo định nghĩa N⊥ là một tập hợp con của X chứ không phảicủa X∗∗ Rõ ràng M⊥ (tương ứng N⊥) là không gian tuyến tính đóng của X∗(tương ứng của X ) Ta nói M⊥ (tương ứng N⊥) là không gian trực giao với

M (tương ứng N)

Định lý 1.4 Tồn tại phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn X

vào không gian liên hợp thứ hai của X∗∗ của không gian X

Định nghĩa 1.13 Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ nếu

X = X∗∗

Định lý 1.5 Không gian con đóng của không gian phản xạ là không gian

phản xạ

1.2 Không gian Hilbert.

Định nghĩa 1.14 Cho H là một không gian vector Một tích vô hướng (u, v)

là một dạng song tuyến tính trên H × H với giá trị thực (nghĩa là một ánh xạ

đi từ H × H vào R là tuyến tính theo từng biến) thỏa mãn:

(u, v) = (v, u), ∀u, v ∈ H, (đối xứng),(u, u) ≥ 0, ∀u ∈ H, (xác định dương),(u, u) 6= 0, ∀u 6= 0, (xác định)

Mệnh đề 1.6 i) Với mọi u, v ∈ H và α ∈ R ta có: (αu, v) = α(u, v).

ii) (∀u ∈ H) ta có: (θ , u) = 0

iii) (∀u, v, w ∈ H) ta có: (u + v, w) = (u, w) + (v, w)

iv) (∀u, v, w ∈ H) ta có: (u, v + w) = (u, v) + (u, w)

Định lý 1.6 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Cho không gian Hilbert H

ta có bất đẳng thức:

|(u, v)| ≤ (u, u)12.(v, v)12, ∀u, v ∈ H

Nhờ bất đẳng thức Cauchy-Shwarz ta suy ra:

|u| = (u, u)12

là một chuẩn và thường kí hiệu là |.| (thay vì ||.||) Ta gọi đó là chuẩn sinh

bởi tích vô hướng (Ta có thể dễ dàng thấy |.| thỏa mãn các tiên đề i), ii) vềchuẩn, ta chỉ cần kiểm tra tiên đề iii) Thật vậy

|u + v|2 = (u + v, u + v) = |u|2+ (u, v) + (v, u) + |v|2 ≤ |u|2+ 2|u||v| + |v|2,

Định nghĩa 1.15 Một không gian Hilbert là không gian vector H được

trang bị một tích vô hướng sao cho H luôn là không gian đủ với chuẩn |.|.Sau đây H luôn được kí hiệu cho không gian Hilbert

Ví dụ 1.4 L2(Ω) với tích vô hướng (u, v) = R

Định nghĩa 1.16 Cho E là một không gian vector trên R Tập con A ⊂ E

được gọi là tập lồi nếu

tu+ (1 − t)v ∈ A, ∀u, v ∈ A, ∀t ∈ [0; 1]

Định nghĩa 1.17 Không gian Banach E được gọi là tập lồi đều nếu

(∀ε > 0)(∃δ > 0) thỏa mãn (x, y ∈ E, ||x|| ≤ 1, ||y|| ≤ 1và||x − y|| > ε)thì

||x+ y

2 || < 1 − δ

Định lý 1.7 (Định lí Milman-Pettis) Mọi không gian lồi đều đều phản xạ.

Mệnh đề 1.7 Mọi không gian Hilbert H là tập lồi đều và do đó nó phản xạ.

Chứng minh. Giả sử ε > 0 và u, v ∈ H thỏa mãn |u| ≤ 1, |v| ≤ 1 và |u − v| >

4 )12 > 0

Định nghĩa 1.18 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian

Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào X

gọi là tuyến tính liên hợp với toán tử A, nếu

(Au, v) = (u, Bv), ∀u ∈ X, ∀y ∈ Y, kí hiệu A∗ = B

Định nghĩa 1.19 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert

H vào chính nó là tự liên hợp nếu

(Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ H

Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.

Chương 2

Phép chiếu trong không

gian Hilbert

2.1 Phép chiếu lên tập lồi đóng.

Định nghĩa 2.1 Cho không gian Hilbert H, hai phần tử u, v ∈ H gọi là trực

giao, kí hiệu u ⊥ v nếu (u, v) = 0

Định nghĩa 2.2 Cho không gian Hilbert H và tập con A ⊂ H, A 6= /0 Phần

tử u ∈ H gọi là trực giao với tập A nếu u ⊥ v, ∀v ∈ A, kí hiệu u ⊥ A

Thật vậy, nhờ các tính chất của tích vô hướng

v) Cho A là tập con trù mật khắp nơi trong H Khi đó nếu u ∈ H và u ⊥ A thì

u= θ Thật vậy, giả sử x ∈ H và x ⊥ A Do A là tập trù mật khắp nơi trongkhông gian H nên tồn tại dãy phần tử (xn) ⊂ A hội tụ tới x trong không gian

H Áp dụng tính chất iv) ta được x ⊥ x, do đó x = θ

Định lý 2.1 (Định lí Pitago) Nếu u, v ∈ H và u ⊥ v thì

||u + v||2 = ||u||2+ ||v||2

Chứng minh. Từ công thức ||u||2 = (u, u) và theo giả thiết ta có:

||u + v||2 = (u + v, u + v) = ||u||2+ (u, v) + (v, u) + ||v||2

Định nghĩa 2.3 Cho không gian Hilbert H và không gian con E ⊂ H Tập

con F ⊂ H gồm các phần tử của không gian H trực giao với E gọi là phần

bù trực giaocủa E trên H và kí hiệu là F = E⊥

Nhận xét 2.1 Từ tính chất iv) của tích vô hướng ta có F là một không gian

con của H

Định nghĩa 2.4 Cho E là không gian vector trên R.

Một hàm ϕ : E → (−∞, +∞] là hàm lồi nếu

ϕ (tu + (1 − t)v) ≤ tϕ (u) + (1 − t)ϕ (v), ∀u, v ∈ E, ∀t ∈ [0; 1]

Bổ đề 2.1 Lấy E là một không gian Banach phản xạ và A ⊂ E 6= /0 là tập

lồi, đóng Nếu hàm ϕ : A → (−∞; +∞) lồi, liên tục sao cho ϕ(x) 6≡ +∞ và

lim

x∈A,||x||→∞ϕ (x) = ±∞ (không có giả thiết này nếu A bị chặn)

thì ϕ đạt min trên A (nghĩa là tồn tại x0 ∈ A : ϕ(x0) = minAϕ ).

Định lý 2.2 (Hình chiếu lên không gian con đóng) Cho không gian Hilbert

H và H0 là không gian con của H Khi đó phần tử bất kì x ∈ H biểu diễnmột cách duy nhất dưới dạng:

||x − y|| = lim

n→∞||x − un|| = d

(y − y0) + (z − z0) = 0, y − y0 ∈ H0, z − z0 ∈ H0⊥.

Áp dụng định lí Pitago, ta được ||y − y0||2+ ||z − z0||2 = 0 ↔ y = y0, z = z0nghĩa là biểu diễn là duy nhất

Tổng quát hóa định lí trên ta có:

Định lý 2.3 (Hình chiếu lên tập lồi đóng) Cho K ⊂ H là tập lồi đóng, khác

rỗng Khi đó với mọi f ∈ H đều tồn tại duy nhất phần tử u ∈ K sao cho

Nhận xét 2.2 Phần tử u như trên được gọi là hình chiếu của f lên Kvà

được kí hiệu bởi

u= PKf

Bất đẳng thức (2.2) nói rằng tích vô hướng của ~u f với ~uv bất kì (v ∈ K) là

≤ 0, nghĩa là góc θ xác định bởi hai véc tơ trên là ≥ π

2

Chứng minh. a) Sự tồn tại Ta sẽ trình bày hai cách chứng minh:

1) Hàm ϕ(v) = | f − v| là lồi, liên tục và lim|v|→∞ϕ (v) = +∞ Theo bổ đề

2.1 thì ϕ đạt giá trị nhỏ nhất trên K vì H là không gian phản xạ.

2) Chứng minh thứ hai thì chúng ta không thể sử dụng tính chất về không gian phản xạ, lồi đều, mà lập luận trực tiếp Gọi (vn) là dãy cực tiểu của

lim

m,n→∞|vn− vm| = 0

Do đó (vn) hội tụ tới gới hạn u ∈ K với d = | f − u|

b) (2.1) tương đương với (2.2)

Giả sử u ∈ K thỏa mãn (2.1) và w ∈ K Ta có v = (1 − t)u + tw,t ∈ [0, 1] và

do đó

| f − u| ≤ | f − [(1 − t)u + tw]| = |( f − u) − t(w − u)|

Nên

| f − u|2 ≤ | f − u|2− 2t( f − u, w − u) + t2|w − u|2

Từ đây suy ra

2( f − u, w − u) ≤ t|w − u|2, ∀t ∈ (0, 1]

Cho t 7→ 0 ta thu được (2.2)

Giả sử có phần tử u thỏa mãn (2.2) khi đó ta có

Nhận xét 2.3 Sự tương đương của bài toán cực tiểu (2.1) với bất đẳng

thức (2.2) đã được biết trong trường hợp hàm số biến số thực Cụ thể: giả sử

F : R → R là hàm khả vi và u ∈ [0, 1] là một điểm mà tại đó F đạt min trên[0, 1] Khi đó hoặc {u ∈ (0, 1) và F0(u) = 0}, hoặc {u = 0 và F0(u) ≥ 0}hoặc {u = 1 và F0(u) ≤ 0} Ba trường hợp trên được tóm lại là {u ∈ [0, 1] và

F0(u)(v − u) ≥ 0; ∀v ∈ [0, 1]}

Nhận xét 2.4 Cho K ⊂ E là một tập lồi đóng 6= /0 trong không gian Banach

lồi đều E Khi đó với mỗi f ∈ E thì tồn tại duy nhất phần tử u ∈ E thỏa mãn:

Chứng minh. Đặt u1 = PKf1 và u2= PKf2 Ta có

( f1− u1, v − u1) ≤ 0, ∀v ∈ K, (2.5)( f2− u2, v − u2) ≤ 0, ∀v ∈ K (2.6)Chọn v = u2 trong (2.5) và v = u1 trong (2.6) rồi cộng các bất đẳng thức tathu được |u1− u2|2 ≤ ( f1− f2, u1− u2) Từ đó suy ra |u1− u2| ≤ | f1− f2|.Suy ra

|PKf1− PKf2| ≤ | f1− f2|, ∀ f1, f2 ∈ H

Hệ quả 2.1 Giả sử M ⊂ H là một không gian con tuyến tính đóng, f ∈ H

khi đó u = PMf được đặc trưng bởi

u∈ M và ( f − u, v) = 0, ∀v ∈ M (2.7)Hơn nữa PM là toán tử tuyến tính và được gọi là phép chiếu trực giao.

Hơn thế nữa rõ ràng PM là tuyến tính

Với mỗi f ∈ H thì ánh xạ u 7→ ( f , u) là một phiếm hàm tuyến tính liêntục trên H Hơn thế nữa định lí sau đây chỉ ra rằng mọi phiếm hàm tuyếntính liên tục trên H đều có dạng như vậy: