Luận văn sư phạm Toán tử chiếu trong không gian Hilbert

Trong quá trình phát triển, giải tích đã tích lũy được một nội dung hết sức phong phú những phương pháp và kết quả mẫu mực,tổng quát của Giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành To

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích là một ngành toán học được xây dựng vào nửa thế kỷ XX

và đến nay vẫn được xem như một ngành toán học cổ điển Trong quá trình phát triển, giải tích đã tích lũy được một nội dung hết sức phong phú những phương pháp và kết quả mẫu mực,tổng quát của Giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành Toán học có liên quan và sử dụng đến công cụ Giải tích và không gian véctơ Chính vì điều đó đã mở ra phạm vi nghiên cứu rộng lớn cho các ngành Toán học

Với những lí do đó và được sự định hướng của thầy hướng dẫn em

đã chọn đề tài “Toán tử chiếu trong không gian Hilbert” là khóa luận tốt nghiệp Đại học của mình

Khóa luận được chia làm hai chương:

Trong chương 1 chúng tôi đưa ra những kiến thức về tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện;không gian định chuẩn; không gian Hilbert; sự hội tụ yếu của dãy trong không gian Hilbert; toán tử tuyến tính

Trong chương 2, phần đầu chúng tôi đưa ra định lý hình chiếu lên không gian con đóng, tiếp theo chúng tôi trình bày nội dung chính của khóa luận, đó là toán tử chiếu trong không gian Hilbert và phép chiếu của toán tử tuyến tính lên một số tập hợp đặc biệt

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian Hilbert, toán tử chiếu trong không gian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về toán tử chiếu trong không gian Hilbert

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Giải tích hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, so sánh, tổng hợp, đánh giá

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện

Định nghĩa(tập lồi): Giả sửX là không gian tuyến tính, ฀ là tập số thực.Tập A X được gọi là lồi, nếu:

Định nghĩa (tập lồi đa diện): Tập M  ฀ được gọi là tập lồi đa diện k

nếu M được biểu diễn dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của ฀k

Giả sử X là không gian véctơ trên trường K , là một chuẩn trên

X Khi đó cặp X, được gọi là không gian định chuẩn

X, là không gian định chuẩn thực hay phức nếu K là trường thực hay phức

Ví dụ Không gian ฀3 với chuẩn:

Kí hiệu:limnxn  x hay xn xkhi n 

Dãy  xn trong không gian định chuẩn X,  gọi là dãy cơ bản ( hay dãy Cauchy) nếu

,

lim n m 0

n m x x Không gian định chuẩnX là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ

Ví dụ C là tập các hàm liên tục trên  a b,  a b,

  a b ,

C là không gian Banach với chuẩn:

1.3 Không gian Hilbert

1.3.1.Định nghĩa tích vô hướng

Cho X là không gian véctơ trên trường K (thực hoặc phức).Ánh

xạ g: X X  K x y, ( , ) g x y( , )được gọi là một tích vô hướng trên

X nếu thỏa mãn các tiên đề sau:

1.3.3.Định nghĩa không gian Hilbert

Giả sử .,. là một tích vô hướng trên X Khi đó:

1 H là không gian tuyến tính trên trường P ;

2 H được trang bị một tích vô hướng , ;

3 H là không gian Banach với chuẩn

 , ,

x  x x  x H Nếu K  ฀ (hoặc฀ ) thì không Hilbert tương ứng là không gian thực (hoặc phức)

Ví dụ.X  ฀ với tích vô hướng: n



  thìl là không gian Hilbert 2

Định nghĩa (Không gian con của không gian Hilbert)

Mọi không gian véctơ con đóng của không gian Hilbert gọi là không gian Hilbert con

 các phần tử đôi một trực giao trong không gian

Hilbert H hội tụ khi và chỉ khi chuỗi 2

Ta chứng minh dược F là không gian con đóng của H và H có biểu diễn:Nếu E là phần bù trực giao của F và F là phần bù trực giao của E thì ta có tổng trực giao

Định nghĩa 1.3.5.1.2

Tích vô hướng x e, n , n 1 ta gọi là hệ số Fourier của phần tử x

đối với hệ trực chuẩn  en n1

Định nghĩa

Hệ trực chuẩn en n1 trong không gian Hilbert được gọi là một cơ

sở trực chuẩn nếu trong H không tồn tại véctơ khác không nào trực giao với hệ đó

Định lý

Cho en n1 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H Khi

đó 5 mệnh đề sau là tương đương:

a) Hệ  en n1 là cơ sở trực chuẩn của H

b) Mọix H đều có biểu diễn

e) Bao tuyến tính của hệ  en n1 trù mật khắp nơi trong H (nghĩa

là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kì các phần tử thuộc hệ e trù mật khắp nơi trong không gian H )

Định lý Riesz dưới đây áp dụng định lý về hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert

1.3.5.3 Định lý F.Riesz (dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

( ) , ,

f x  x a  x H Với a là một phần tử nào đó thuộc H xác định duy nhất theo f và

f  a

Chú ý: Nhờ định lý trên ta có thể đồng nhất H với * H hay không gian Hilbert là không gian tự liên hợp Vậy không gian Hilbet là không gian phản xạ vì H H * H**

1.4 Sự hội tụ yếu của dãy trong không gian Hilbert

nên lim ,n e yn    0, y H

Do đó dãy  en hội tụ yếu tới phần tử Nhưng hiển nhiên dãy

 en không hội tụ mạnh tới phần tử, vì

1.4.3 Định lý 1.4.3

Cho không gian Hilbert H Dãy điểm  xn Hhội tụ yếu khi và chỉ khi dãy đó thỏa mãn các điều kiện:

1) Dãy điểm  xn bị chặn theo chuẩn trong không gian H ;

2) Dãy số x yn, , n 1,2,  hội tụ với mỗi y thuộc tập trù mật khắp nơi trong không gian H

Nếu Y K thì A là phiếm hàm tuyến tính

Ađược gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu  c 0 sao cho:

clà một cận trên của toán tử A

Số c0 nhỏ nhất thỏa mãn gọi là chuẩn của toán tử A.Kí hiệu: A

Để ngắn gọn ta gọi toán tử tuyến tính là toán tử

1.5.2 Ví dụ

Toán tử đồng nhất và toán tử không là các toán tử tuyến tính Toán tử đồng nhất I biến mọi phần tử thành chính nó, tức là

Ix x với mọi x E

Toán tử không biến mọi phần tử của E thành véctơ không

Toán tử không được kí hiệu là 0

Dễ thấy toán tử đồng nhất và toán tử không là bị chặn và ta có

1, 0 0

Phép nhân vô hướng I là một toán tử, toán tử này nhân mọi

phần tử với vô hướng ,tức là  I x x

1.5.3 Phiếm hàm song tuyến tính

Định nghĩa (hàm song tuyến tính)

Một hàm song tuyến tính  trên một không gian véctơ phức là một : E E  ฀ thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1)  x1 x y2, x y1, x y2, 

2)x y, 1y2x y, 1x y, 2

với ,  là các vô hướng bất kì và x x x y y y, , , , ,1 2 1 2E

Dễ thấy tất cả các hàm song tuyến tính trên E lập thành một không gian véctơ

Ví dụ Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính

1.5.4 Một số toán tử trong không gian Hilbert

1.5.4.1 Toán tử liên hợp

Định nghĩa (toán tử liên hợp)

Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H Toán

tử A H*: H được xác định bởi

*

Gọi là toán tử liên hợp của A

Nhận xét: Do A là liên tục nên x y,  Ax y, là phiếm hàm song tuyến tính Theo định lý 1.6.3.1, tồn tại duy nhất toán tử A để *

Ax y  x Ay Do đó, toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục

A luôn tồn tại và cũng là toán tử tuyến tính liên tục

Các tính chất sau được suy ra từ định nghĩa trên:

Định nghĩa (toán tử tự liên hợp)

Nếu A A * thì A gọi là toán tử tự liên hợp

Nói cách khác nếu A là toán tử tự liên hợp thì

Ax y  x Ay x y H Tính chất

1) Cho  là một hàm song tuyến tính bị chặn trong H Alà toán

tử trong H :x y,  x Ay, , ,x y H

khi đó A là tự liên hợp khi và chỉ khi  là đối xứng

2) Cho A là toán tử bị chặn trong không gian hilbert H Toán tử

3) Tích của hai toán tử tự liên hợp là một toán tử tự liên hợp khi

và chỉ khi hai toán tử đó là giao hoán

4) Mọi toán tử bị chặn T trong không gian hilbert H đều tồn tại duy nhất các toán tử tự liên hợp A v B sao cho: à

1.5.4.3 Toán tử khả nghịch

Định nghĩa (toán tử nghịch đảo)

Alà một toán tử xác định trong không gian véctơ con của E Một toán tử B xác định trên  A gọi là nghịch đảo của A nếu

 

,BAx x x D A   và ABx x x  ,  A Một toán tử mà có toán tử nghịch đảo thì được gọi là khả nghịch Nghịch đảo của A kí hiệu là A 1

Nếu một toán tử có nghịch đảo thì nghịch đảo đó là duy nhất Thật vậy: Giả sử B B là các nghịch đảo của 1, 2 A,ta có:

B B I B AB  IB BTính chất

1) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính 2) Một toán tử A là khả nghịch khi và chỉ khi Ax 0 dẫn đến

1.5.4.4 Toán tử trực giao

Định nghĩa (toán tử trực giao)

Một toán tử bị chặn T gọi là toán tử trực giao nếu nó giao hoán với toán tử liên hợp của nó, tức là

* *

Chú ý: T trực giao khi và chỉ khi T trực giao *

Mọi toán tử tựliên hợp là trực giao

Các định lý sau giúp ta thấy rằng có những toán tử trực giao mà không tự liên hợp

3) Nếu f là toán tử trực giao thì n n,

T  T  ฀n 4) Một toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert H là đẳng cự khi và chỉ khiT T I*  trong H

1.5.4.5 Toán tử dương

Định nghĩa (toán tử dương)

Một toán tử A gọi là dương nếu nó tự liên hợp và Ax x,   0, x H

Ví dụ Cho K là hàm dương liên tục xác định trên    a b,  a b, Toán tử tích phân L a b2  ,  xác định bởi:

1) Với mọi toán tử bị chặn A trong H toán A A v AA là dương * à *

2) Nếu A là toán tử dương khả nghịch thì nghịch đảo của nó A 1

Định nghĩa (Toán tử compact)

Một toán tử A trong không gian Hilbert H gọi là toán tử compact nếu với mỗi dãy bị chặn  xn trong H , dãy Axncó một dãy con hội tụ

Ví dụ Mọi toán tử trong không gian có số chiều vô hạn là toán tử

compact

Thật vậy:

Nếu A là một toán tử trong ฀N thì nó la bịchặn

Do đó  xn là dãy bị chặn thì Axn là dãy bị chặn trong ฀ N Theo định lý Bolzano-Weierstrass, Axncó một dãy con hội tụ

Chương 2 TOÁN TỬ CHIẾU TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

2.1 Định lý (về hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert)

Giả sử H0 là không gian con đóng của không gian Hilbert H Khi

đó với mỗi phần tử xcủaH đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

x y z  trong đó y H z H 0,  0.Khi đó ta nói y là hình chiếu của xlên H0

Theo định nghĩa inf, tồn tại dãy  un H0 sao cho limn x u n d Khi

đó dãy  un là dãy cơ bản trong H0 Thật vậy, áp dụng đẳng thức hình bình hành ta có: m n, 1

Giả sử  v H0 sao cho z v,     c 0 v 0 v v, 0 Đặt

0

.,

2

2

2 2

v vc

Bằng cách ứng với véctơx H với hình chiếu ucủa nó lên H0, ta được một ánh xạ

:

Có miền giá trị ( )P H 0 Ánh xạ P thường được gọi là phép chiếu, hay toán tử chiếu (trực giao) của không gian H lên không gian con đóng H0H

Nhận xét: Nếu u H thì Pu u khi và chỉ khi u H 0 Hơn nữa từ (2.1) ta có:

v x u x Pu     I P x Vậy I  P là toán tử chiếu lên không gian con đóng H0

Hiển nhiên rằng ánh xạ P là tuyến tính Trong đẳng thức (2.1), vì

Thật vậy, từ giả thiết ta có

Vậy y là hình chiếu của x lên H 0.

Cho tương ứng véctơx฀2 với hình chiếu y của nó lên H ta lập 0được ánh xạ:

Ví dụ 2

Cho dãy  e là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert vô hạn nchiềuH,H là không gian con sinh bởi các véctơn e e1, , , ,2 e n n  1,2,  Khi đó

là dãy toán tử chiếu của x H lên không gian con đóng H và n  Pn hội

tụ điểm đến toán tử đồng nhất I trên H nhưng không hội tụ theo chuẩn Thật vậy:

+) Pn là dãy toán tử chiếu của x H lên không gian con đóng

Vậy y là hình chiếu của n xlên H n

Do đó,với mỗi n 1,2, , toán tử

là toán tử chiếu x lên không gian H , hay n  Pn là dãy toán tử chiếu x

lên không gian con đóng H n

+) Dãy toán tử chiếu  Pn hội tụ đến toán tử đồng nhất I vì:

Suy ra  Pn không hội tụ theo chuẩn

2.4 Tính chất và phép toán của toán tử chiếu

Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử P là toán tử chiếu lên không gian con đóngH Lấy 0 x y H,  tùy ý, giả sử

x u v  , y r s u r H v s H  ( ,  ; ,  ) Thế thì Px y,  u r s,   u r,  u v r ,  x Py,

Suy raP* P Hơn nữa

 

2

P x P Px  Pu u Px  Vậy P P2 

Điều kiện đủ: Giả sử các điều kiện 1) và 2) được thỏa mãn Trước hết, ta hãy chứng minh rằng không gian véctơ conH0  ( )P của H là đóng Thật vậy, giả sử u H 0 và  un H0 là một dãy hội tụ đến u Vì

VậyH0 N Hơn nữa, với mọi x H x Px ,  I P x Px Qx   

Với Px H Qx N 0,  đẳng thức chứng tỏ rằngH H 0N vàP là toán tử chiếu lên H0, Q là toán tử chiếu lên N H 0

Như vậy, giữa tập hợp tất cả các không gian con đóng của H và tập hợp tất cả các toán tử chiếu trongH , có một song ánh.Vì thế, có thể đoán nhận rằng mối liên hệ hình học giữa hai không gian con đóng của

H phải được phản ánh bởi mối liên hệ đại số giữa hai toán tử chiếu lên các không gian con ấy Đó là nội dung của các định lý sau đây

2.4.2 Định lý 2.4.2

Giả sử P và 1 P là hai toán tử chiếu của không gian Hilbert H lần 2lượt trên hai không gian con đóng H và 1 H Các mệnh đề sau đây là 2tương đương:

Vậy theo định lí 2.4.1 P P1 2 là một toán tử chiếu, thì theo (2.1)

ta thấy rằng PP P P1 2 2 10

Nhân P về bên trái với cả hai vế thì được 1

PP PP P Lại nhân P về bên trái với cả hai vế, rồi chia cho 2 thì được 1

PP P  Các đẳng thức này chứng tỏ rằng

PP P P Bởi vì

Giả sử P và 1 P là hai toán tử chiếu lần lượt lên hai không gian 2con đóng H và 1 H Các mệnh đề sau đây là tương đương: 2

a) H1 H2;

b) PP P1 2 1 hoặc P P P2 1 1

) ).

c b Nếu PP là một toán tử chiếu, thì nó phải là tự liên hợp, 1 2tức là

P P PP P P P P P        P P P P P

Vì vậy ta có ii)

Ví dụ Giả sử H là một không gian Hilbert khả ly vô hạn chiều và

e n n; 1,2 là một cơ sở trực chuẩn đếm được của H Với mỗi

Tuy nhiên với , ,m n m n chẳng hạn n m p  ( p nguyên dương), ta có

Định lý (hình chiếu lên tập lồi đóng)

Cho K H là tập lồi đóng, khác rỗng Khi đó với mọi f H đều

Nhận xét: Phần tử u như trên được gọi là hình chiếu của f lên K

và được kí hiệu bởi

K

u P fChứng minh

a) Sự tồn tại

Hàm  v  f v là lồi, liên tục và limv  v

   Theo bổ đề trên thì  đạt giá trị nhỏ nhất trên K vì H là không gian phản xạ

b) Chứng minh (2.1) tương đương (2.2)

Cho t  ta thu được (2.2) 0

Giả sử có phần tử u thỏa mãn (2.2) khi đó ta có

 f u v u 1,  10,  v K, (2.3)

 f u v u 2,  20,  v K, (2.4) Trong (2.3) ta chọn v u 2 và trong (2.4) ta chọn v u 1 và cộng các bất đẳng thức tương ứng ta đượcu u1 2 20 Chứng tỏ u u1 2 Mệnh đề 2.5.1

Giả sử K H là một tập lồi đóng khác rỗng, khi đó P không Ktăng khoảng cách nghĩa là:

1 2 1 2, 1 2

suy ra u u1 2  f1 f2 Vậy P f P fK 1 K 2  f1 f2 , f f1, 2H

Hệ quả 2.5.1

Giả sử M H là một không gian con tuyến tính đóng, f H khi

đó u P f M được đặc trưng bởi

Định lý (định lý biểu diễn Riesz-Fréchet)

Với bất kì H* đều tồn tại f H sao cho

,u  f u, ,  u H và f   H *

Chứng minh

Xét ánh xạ T H: H* Xác định như sau: với f bất kì thuộc H , ánh xạ u  f u,  là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H Nó là một phần tử của H ,ta kí hiệu phần tử đó là Tf thì *

Nếu I không hữu hạn ta có thể lấy hữu hạn ,cùng bổ đề 2.5.2.2 ta

có điều phải chứng minh

 x y,  x y, ,

i) u 0 và  0, trong trường hợp này C H P , C Id

ii)u  và 0  0 trong trường hợp nàyC  

iii)u  trong trường hợp này C   và 0

i) và ii) hiển nhiên

iii): Đặt  ; trong mệnh đề (2.4.5) ta được điều cần chứng minh

i) u 0, và 1 0 2 trong trường hợp nàyC H P Id , C 

ii) u0 và 10 hoặc 2 0 trong trường hợp này C   iii) u0 và  1  2 trong trường hợp này  C

iv) u0 trong trường hợp này  C và

i),ii),iii) hiển nhiên

iv) Đặt  1 2,  ta được điều cần chứng minh