bài giảng hình họa giao với mặt cong

tài liệu đắc lực trong quá trình tự học bộ môn hình họa họa hình trong các ngành kĩ thuật, cơ khí, xây dựng, thiết kế, kiến trúc. Tài liệu được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa, dễ hiểu, đầy đủ, chính xác. Bạn có thể tìm đọc trọn bộ bài giảng với từ khóa Hình họa đại cương

Trang 1

Ch ng 7

Giao v i m t cong

I Giao c a m t ph ng và m t cong

¬ Giao c a m t ph ng và m t cong

• Giao c a m t ph ng và m t cong là t p h p nh ng đi m

v a thu c m t ph ng v a thu c m t cong Nói chung đó

là nh ng đ ng cong ph ngcùng b c v i m t cong

• tìm giao, ta tìm m t s đi m thu c giao r i n i l i Chú

ý các đi m đ c bi t c a giao: g n, xa nh t, cao, th p nh t, các đi m ranh gi i th y khu t

tìm m t đi m thu c giao:

ph tr :

– D ng m t ph ng ph tr c t đ ng th i c m t ph ng

và m t cong

– Tìm các giao ph gi a m t ph ng ph tr v i m t

ph ng và m t cong

– Tìm giao đi m c a các giao tuy n ph

tìm m t đi m thu c giao:

toán liên thu c đ tìm hình chi u còn l i

• Trong tr ng h p t ng quát ta c ng có th dùng phép

bi n đ i hình chi u đ m t ph ng tr thành m t ph ng chi u, lúc đó bài toán đ a v tr ng h p bi t m t hình chi u c a giao

D ng c a giao

• Giao m t ph ng và nón:

hypecbol

giao là parabol

D ng c a giao

• Giao m t ph ng và tr :

đ ng sinh th ng

Trang 2

D ng c a giao

• Giao m t ph ng và c u: giao tuy n luôn là vòng tròn.

Ví d 1:

V giao tuy n c a m t

ph ng chi u đ ng A v i nón tròn xoay đinh S

Gi i:

1 A 1 S

S2 2 c

c1 x

Gi i:

• Mp song song v i ch m t

đ ng sinh ⇒giao là

parabol

• Mp chi u đ ng ⇒ bi t

tr c hình chi u đ ng c a

giao

• Tìm hình chi u b ng ⇒

tìm m t s đi m r i n i l i

giao là th y trên m t hình

chi u n u nó thu c ph n

th y c a m t cong trên

hình chi u đó

1 A

A1

2

A

1

E

≡

F 1

2

C

B 2 2

E

F 2

1 S

S2 2 c

c1 x

Ví d 2:

ph ng A (uA, vA) v i tr tròn xoay chi u b ng

Gi i:

x

Gi i:

Giao là m t ellipse

• AB là m t tr c ellipse

• CD là tr c th hai

• R, R’ là đi m ranh gi i

th y khu t trên hình chi u

đ ng

• B,A c ng là các đi m cao,

th p nh t c a giao

Xét th y khu t cho giao:

• Cung R1A1R’1: th y

• Cung R1B1R’1: khu t

v

2

A

B 2

A 1

1

B

C 1 D 1

2

C

D 2

1

R

R' 1

x

Ví d 3:

ph ng chi u đ ng A v i

m t c u

A1

O2 x

Trang 3

Gi i:

Giao là vòng tròn, hình

chi u b ng là ellipse

• A2B2là m t tr c ellipse

• C2D2là tr c dài ellipse

• R2, R’2là ranh gi i th y

khu t trên hình chi u b ng

Xét th y khu t cho giao:

• R2A2R’2: khu t

• R2A2R’2: th y

1

O

A1

1 B

≡R'1

R1 1

C D≡ 1

2

R

R'2

2

C2

2 D

O2 x

Ch ng 7

II Giao c a đ ng th ng và m t cong

¬ Giao c a đ ng th ng và m t cong

• Giao c a đ ng th ng và m t cong là t p h p nh ng

đi m v a thu c đ ng th ng v a thu c m t cong

• Nói chung, đ ng th ng s c t m t cong b c m t i m giao

đi m

Tr ng h p bi t m t hình chi u c a giao

• N u đ ng th ng là đ ng th ng chi u ho c m t cong là

m t tr chi u ta s bi t tr c m t hình chi u c a giao

• Áp d ng bài toán liên thu c đ tìm hình chi u còn l i

Ví d 1:

Tìm giao c a đ ng th ng

chi u đ ng d và nón

Gi i:

x

1

c

c2

2

S

S1

d1

2

d

Ví d 1:

Tìm giao c a đ ng th ng chi u đ ng d và nón

Gi i:

G i M N là các giao đi m

• M, N ∈ d ⇒ M1, N1≡ d1

• M, N ∈ nón ⇒ M2, N2

Xét th y khu t cho đ ng

th ng

x

1

c

c2

2

S

S1

d1

2

d

≡M N1≡ 1

M 2 N

Trang 4

Ví d 1:

chi u đ ng d và nón

Gi i:

G i M N là các giao đi m

• M, N ∈ d ⇒ M1, N1≡ d1

• M, N ∈ nón ⇒ M2, N2

th ng

x

1

c

c2

2

S

S1

d1

2

d

≡M N1≡ 1

M2

2 N

Ví d 2:

d và tr chi u b ng

Gi i:

1

d

d2 x

Ví d 2:

d và tr chi u b ng

Gi i:

G i M và N là các giao đi m

• Tr chi u b ng ⇒ M2, N2

• ⇒ M1, N1∈ d1

th ng

1

d

d2

M1

1

N

N2

2

M x

Ví d 2:

d và tr chi u b ng

Gi i:

G i M và N là các giao đi m

• Tr chi u b ng ⇒ M2, N2

• ⇒ M1, N1∈ d1

th ng

1

d

d2

M1

1

N

N2

2

M x

Tr ng h p t ng quát

• Dùng ph ng pháp m t ph ng ph tr :

– Qua đ ng th ng d ng m t ph tr σ

– Tìm giao ph

– Tìm giao đi m c a đ ng th ng và giao ph

• N u m t cong lànón hay tr , m t ph ng ph tr nên là

m t ph ng ch a đ ng th ng và qua đ nh nón hay song

song v i đ ng sinh th ng c a tr

Ví d 1:

d và nón

Gi i:

1

S

S2

x

1

d

d2

Trang 5

Ví d 1:

Tìm giao c a đ ng th ng d

và nón

Gi i:

• Tìm IJ = mp(S,d) ∩ mp đáy

• K, L = IJ ∩ đ ng chu n

⇒ SK, SL = (S,d) ∩ nón

• M, N = SK, SL ∩ d

M, N là các giao đi m c n tìm

1

S

S2

x

1

d

d2

I1

1

J

A1

J2

2

I

2

A

2

1

N

M 1

N 2 M2

Ví d 1:

và nón

Gi i:

• Tìm IJ = mp(S,d) ∩ mp đáy

• K, L = IJ ∩ đ ng chu n

⇒ SK, SL = (S,d) ∩ nón

• M, N = SK, SL ∩ d

M, N là các giao đi m c n tìm

1

S

S2

x

1

d

d2

I1

1

J

A1

J2

2

I

2

A

2

1

N

M 1

N 2 M2

Ví d 1:

và m t c u

Gi i:

O2 x

1 d

d2

1 O

Gi i:

Dùng ph ng pháp mp ph

tr :

• D ng mp ph tr σ chi u

đ ng ch a đ ng th ng

• Giao ph là vòng tròn v

O2 x

1 d

d2

1 O

≡σ1

v 1

Gi i:

tr :

• Tìm giao c a d và giao ph

̇ Thay mp hình chi u đ mp

ch a v là mp m t

̇ Tìm giao đi m trong h th ng

m i

̇ Tr v k t qu

th ng

O2 x

1 d

d2

1 O

x

≡σ 1

v 1

2

A

A 1

2

B 1

M' 2

2 N'

1 M

N 1

2 N

M 2

B' 2

Gi i:

tr :

• Tìm giao c a d và giao ph

̇ Thay mp hình chi u đ mp

ch a v là mp m t

̇ Tìm giao đi m trong h th ng

m i

̇ Tr v k t qu

th ng

O2 x

1 d

d2

1 O

x

≡σ 1

v 1

2

A

A 1

2

B 1

M' 2

2 N'

1 M

N 1

2 N

M 2

B' 2

2

v'

Trang 6

Ch ng 7

III Giao đa di n và m t cong

¬ Giao đa di n và m t cong

• Giao đa di n và m t cong là t p h p nh ng đi m v a thu c đa di n v a thu c m t cong

• Nói chung đó là các đ ng cong ph ng n i v i nhau

Ví d 1:

V giao c a l ng tr chi u

đ ng (abc) và nón tròn

xuay đ nh S

Gi i:

1

S

S2

x

1

c1

2

c

Gi i:

• (ab) ∩ nón là vòng tròn ⇒

đi m n i A, B

1

S

S2

x

1

c1

2

c

≡A1≡B1

2

A

B 2

Gi i:

đi m n i A, B

• (bc) ∩ nón là hai đ ng

sinh th ng ⇒ đi m n i C,D

1

S

S2

x

1

c1

c

≡A1≡B1

2

A

B 2

≡D1 1

C

≡

C 2 2

D

Gi i:

đi m n i A, B

• (bc) ∩ nón là hai đ ng sinh th ng ⇒ đi m n i C,D

• (ca) ∩ nón là cung ellipse

1

S

S2

x

1

c1

c

≡A1≡B1

2

A

B 2

≡D1 1

C

≡

C 2 2

D

Trang 7

Gi i:

Xét th y khu t cho giao

• Giao là th y trên m t hình

chi u n u nó thu c ph n

th y c a c đa di n và m t

cong trên hình chi u đó

• Ng c l i là khu t

1

S

S2

x

1

c1

2

c

≡A1≡B1

2

A

B 2

≡D1 1

C

≡

C 2 2

D

Gi i:

Xét th y khu t cho hai m t

1

S

S2

x

1

c1

2

c

≡A1≡B1

2

A

B 2

≡D1 1

C

≡

C 2 2

D

Ví d 2:

V giao c a l ng tr chi u

đ ng (abc) và nón tròn

xoay đ nh S

Gi i:

x B 1 ≡ A 1

1

S

S 2

C 1

2

C

A 2

2

B

Gi i:

tuy n là cung ellipse

Vì tr chi u đ ng nên ta bi t

tr c hình chi u đ ng c a giao

Tìm hình chi u b ng: tìm m t

s đi m c a giao r i n i l i

Cung 124262: th y Cung 125262: khu t

x B 1 ≡ A 1

1

S

S 2

C 1

2

C

A 2

2

B

1

2 1

3 1

2

3

1 2 22

4 1

2

4

1

5

5 2

6 1

6 2

Gi i:

tuy n là cung ellipse

Vì tr chi u đ ng nên ta bi t

tr c hình chi u đ ng c a

giao

Tìm hình chi u b ng: tìm m t

s đi m c a giao r i n i l i

Cung 124262: th y

Cung 125262: khu t

đ ng th ng

x B 1 ≡ A 1

1

S

S 2

C 1

2

C

A 2

B

1

2 1

3 1

2

3

1 2 22

4 1

2

4

1

5

5 2

6 1

6 2

Gi i:

Xét th y khu t cho hai m t

x B 1 ≡ A 1

1

S

S2

C 1

2

C

A2

B

1

2 1

3 1

2

3

1 2 2 2

4 1

2

4

1

5

5 2

6 1

6 2

Trang 8

Ch ng 7

III Giao đa di n và m t cong

IV Giao hai m t cong

¬ Giao hai m t cong

• Giao hai m t cong là t p h p nh ng đi m thu c c hai

m t cong

• Nói chung, giao hai m t cong có b c l n l t m và n là

m t đ ng cong có b c m x n

• Tìm giao: tìm g n đúng b ng cách xác đ nh m t s đi m thu c giao r i n i l i

Chú ý các đi m g n, xa nh t, cao, th p nh t, các đi m ranh gi i th y khu t

Có th v thêm ti p tuy n c a giao t i m t s v trí

Ví d :

V giao c a tr tròn xoay

chi u đ ng và nón tròn

xoay

Gi i:

1

S

S 2

Gi i:

• Giao là đ ng cong b c 4

• Tr chi u đ ng nên ta bi t

tr c hình chi u đ ng c a giao

• Tìm hình chi u b ng: tìm

m t s đi m c a giao

b ng cách g n đi m vào

m t nón

• N i giao: l n theo v t c a các đi m trên c hai hình chi u

1

S

S 2

A 1

1

B

2

A B 2

1

C D 1

C 2

2

D

1

F

1

2

E

F 2

1

H

≡

G 1

2

G

H 2

1

I ≡1

I 2

2

J

Gi i:

• M t đo n giao là th y trên

m t hình chi u n u nó

thu c ph n th y c a c hai

m t trên hình chi u đó

• Ng c l i là khu t

Trên hình chi u b ng:

• C2A2D2: th y

• C2B2D2: khu t

1

S

S 2

A 1

1

B

2

A B 2

1

C D 1

C 2

2

D

1

F

1

2

E

F

1

H

≡

G 1

2

G

H 2

1

I ≡1

I 2

Gi i:

Xét th y khu t cho hai m t cong

1

S

S 2

A 1

1

B

2

A B 2

1

C D 1

C 2

2

D

1

F

1

2

E

F

1

H

≡

G 1

2

G

H 2

1

I ≡1

I 2

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	443,7 KB